Преобразование координат при переходе бесконечно малое

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции u q, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что мы понимаем под словом изменение функции. Раньше, когда мы преобразовывали величину u q, р) к новым переменным, мы вместо q а р подставляли в и выражения q(Q, Р) и p(Q, Р). Таким путем мы получали зависимость и от новых переменных. При этом функциональная зависимость и от Q а Р оказывается в общем случае не такой, как зависимость и от q к р. Однако численное значение и, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как u q, р) есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать изменение функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины и в результате замены аргумента <7 на Q и аргумента р на Р. Функциональная зависимость и от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем и, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию u(q, р) переменные Q и Я вместо q и р, переходим от значения [c.287]

Резюме. Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это преобразование координат может мыслиться геометрически как отображение -мерного пространства самого на себя. Отображение не сохраняет углов и расстояний. Прямые линии преобразуются в кривые, однако в бесконечно малой области, в окрестности некоторой точки, отображение выпрямляется прямые линии переходят в прямые, параллельные — в параллельные, и сохраняется отношение объемов. [c.38]

Как было показано в предыдущем параграфе, если мы в каждой инерцнальной системе координат пользуемся неподвижными линейками и часами и применяем указанные выше методы синхронизации часов, то переход от координат х, у, z н времени t, описывающих событие в системе К, к координатам х, у, г и времени t, описывающим то же событие в системе К, выражается преобразованиями Лорентца. В простейшем случае, когда оси х и х совпадают, а оси у и у, г и г параллельны друг другу и система К движется относительно вдоль оси X со скоростью V, преобразования Лорентца для перехода от системы К к системе К имеют вид (9.39). Преобразования же, соответствующие обратному переходу от К к К, имеют вид (9.40). Из преобразований Лорентца вытекают формулы преобразования скоростей и ускорений при переходе от одной системы координат к другой. Чтобы написать формулы преобразования скоростей, нужно найти соотношения между бесконечно малыми приращениями координат и времени в двух системах К К Так, например, для того чтобы от скорости и в системе К перейти к скорости и в системе К, нужно продифференцировать выражения (9.40) [c.282]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений q t) и p t) они приобретают значения, равные q t- -di) и p t- -di). Следовательно, изменение состояния системы за время dt можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за время от to до t можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от qito), р((о) к q(t), p t) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от t. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...