Все значения К являются вещественными и различными

Далее будет показано, что эти значения К являются вещественными, различными и приводят к разным функциям Ь. [c.99]

Все значения К являются вещественными и различными [c.111]

Свойства главных векторов и главных значений. Из алгебры известно, что для симметричной матрицы все три корня характеристического уравнения являются вещественными числами. В данном случае это означает, что симметричный тензор имеет три вещественных главных значения, среди них могут быть равные. Заметим, что главные векторы, отвечающие различным главным значениям, взаимно-ортогональны. В самом деле, пусть главные векторы и соответствуют [c.28]

Выражение (38.9) определяет прошедшую звуковую волну как суперпозицию плоских волн, распространяющихся под различными углами к оси z. Эти волны можно назвать пространственными спектрами. Член с номером я = О (нулевой спектр) определяет волну, распространяющуюся в направлении падения. Спектры, для которых os 0 являются вещественными величинами, представляют собой однородные плоские волны спектры, соответствующие мнимым значениям os 0 , дают неоднородные волны, сосредоточенные вблизи пластины. Если длина пролета меньше длины звуковой волны, то при нормальном падении (0 = ф = 0) все члены, кроме слагаемого с номером п = О, дают неоднородные волны. Если же длина пролета меньше половины длины звуковой волны, то это утверждение справедливо при любом угле падения. [c.292]

Отсюда следует, что собственные значения вещественны и положительны, а соответствующие им собственные векторы взаимно ортогональны. Физическая интерпретация этого факта состоит в том, что для заданного направления распространения волны, определяемого вектором ри существует три фазовые скорости Сь Си, ст, причем векторы перемещений, соответствующие различным фазовым скоростям, ортогональны. Таким образом, в противоположность случаю изотропии перемещения не являются ни чисто продольными, ни чисто поперечными. [c.362]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

Bee три корня уравнения (11.1.13) вещественны. Действительно, по математической классификации задача (11.1.11) является задачей па собственные значения для системы линейных уравнений, матрица которой в силу парности касательных напряжений — симметрическая. А собственные значения симметрической матрицы, являющиеся корнями ее характеристического (векового) уравнения (11.1.13), всегда вещественны. Каждому из них соответствует собственный вектор, являющийся в нашем случае решением систем (11.1.11) и определяющий единичный вектор нормали к главной площадке. Если корни различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и поэтому три главные площадки взаимно перпендикулярны. [c.333]

Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций или распределений . Обобщенные функции могут быть определены различными способами, например как пределы последовательностей достаточно регулярных функций, подобно тому как вещественные числа являются пределами последовательностей рациональных чисел. Поэтому можно сказать, что обобщенная функция g z) есть последовательность gm z) т— 1, 2, 3,. ..) обычных функций в том же смысле, в каком вещественное число а есть последовательность, например, рациональных чисел am , получаемых усечением десятичного представления а на т-й значащей цифре. Аналогично тому как при расчетах никогда не оперируют с иррациональным числом, а используют только его рациональные приближения, вместо значений, принимаемых обобщенной функцией , всегда имеют дело с последовательностью аппроксимирующих ее функций. И так же, как мы рассматриваем и [c.13]

Для приложений важным является вопрос о том, как связаны между собой различные масштабные уровни функции. Описание таких связей требует введения новых понятий, которых нет в классическом анализе. Приведем пример. Пусть у = f (ж) — обычная функция, заданная на вещественном уровне. Расположим ее значения в точках 1/п в виде последовательности [c.690]

Таким образом, в породах совершенно различного состава и происхождения могут наблюдаться одинаковые или близкие значения % и v . В то же время в одной и той же породе скорости волн в зависимости от пористости, трещиноватости, характера заполнителя и действующих напряжений могут изменяться в очень широких пределах. Например, в гранитах значение Vp может составлять всего 1,5 км/с, а в известняках даже 1,0 км/с (см. табл. 1). Кроме того, скорости волн в породах одного и того же состава могут заметно меняться также в зависимости от их возраста. В этом случае основным фактором, определяющим их упругие свойства, по-видимому, являются напряжения, действовавшие в процессе геологической истории. Это, однако, не исключает возможности разделения пород по их вещественному составу по значениям скоростей упругих волн в благоприятных условиях. Так, в пределах ограниченного участка исследований, характеризующегося общими 14 [c.14]

На рис. 32 (разд. 11.22) средняя кривая является графиком вещественных частей. Это —кривая ослабления, вычисленная Гольдбергом для х от О до 30. Оба рисунка можно сравнить с соответствующими рисунками для т- (рис. 31 и 32, нижняя кривая). Бросающееся в глаза сходство основных особенностей видно уже из рис. 32. Вопрос, привлекавший внимание многих авторов, состоит в нахождении простой приближенной формулы, которая давала бы почти точные значения ослабления при различных значениях т (например, от 1,20 до 1,60) и при всех х, ббльших примерно 5, где строгие расчеты становятся громоздкими. [c.307]

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье описывает механизм явления перераспределения тепла в вещественной среде (оно по существу является математической моделью этого механизма). Поэтому полученное дифференциальное уравнение представляет собой наиболее общую связь между существенными для явления величинами и характеризует свойства, присущие всем явлениям данного класса (класса явлений теплопроводности). Таким образом, все явления (независимо от их индивидуальных признаков), в основе которых леж ит один и тот же механизм перераспределения тепла, описываются эти>л общим уравнением. Именно по этой причине в дифференциально>1 уравнении нет никаких сведений о конкретных значениях отдельных величин, характерных для какого-либо единичного явления. Перемен-ные, входящие в состав уравнения, могут принимать самые различные V0 значения, каждое из которых отвечает какому-то единичному явленщр. 0 Соответственно этому при интегрировании любого дифференциаль- [c.17]

Уравнения (20), (21) и (24) являются эквивалентными формами уравнения волновых нормалей Френеля. Это уравнение квадратично относительно что легко показать, умножив (24) на произведение знаменателей. Таким образом, каждому направлению s соответствуют две фазовые скорости v . (Два значения соответствующие любому значению v , считаются одним, так как отрицательное значение, очевидно, принадлежит противоположному направлению распространения —s.) Для каждого из двух значений из уравнений (23) можно определить отношения j, Е- соответствующие о-гнотения, содержащие вектор D, можно затем получить из (14.1.12). Так как эти отношения вещественны, поля Е и D линейно по.ыризованы. Таким образом, мы получили важный результат, а именно структура анизотропной среды допускает рш пространение в любом данном направлении двух монохроматических плоских волн, линейно поляризованных в двух разных направлениях и обладающих различными скоростями. Позднее будет показано, чю два направления вектора электрического смещения D, соо1ветствующие данному направлению распространения S, перпендикулярны друг к другу. [c.619]

Таким образом, относительное движение вихрей может быть описано гамильтоновой системой со скобкой Ли—Пуассона (1.10), зависящей от параметров — интенсивностей вихрей. Эта система и является приведенной, причем, для действительного понижения порядка системы, необходимо ограничить структуру (1.14) на симплектический лист. Ажоритм такого ограничения приведен нами в 5. Вещественная форма алгебр Ли, отвечающих данным скобкам при различных значениях интенсивностей определяет, топологию симплектических листов и следовательно динамику приведенной системы. [c.34]

Напомним, что называют особенностями Ландау. Это особенности фейнмановских интегралов, рассматриваемых как аналитические функции внешних импульсов частиц в соответствующих графах Фейнмана. В мои задачи не входит объяснение того, как фейн-мановские интегралы были введены в физику и почему физики интересовались изучением их особенностей, даже несмотря на то, что их вера в сами интегралы оказалась поколебленной. Я не буду говорить и о тонких причинах (построение дисперсионных соотношений), побудивших физиков изучать особенности, появляющиеся при комплексных значениях импульсов. Вместо этого я хочу показать, что для вещественных импульсов в так называемой физической области особенности Ландау являются довольно простыми геометрическими объектами, которые могут быть введены непосредственно с помощью чисто кинематических рассмотрений, и поэтому должны играть важную роль в любой разумной теории элементарных процессов, каково бы ни было динамическое содержание такой теории. Мой доклад состоит из двух частей в первой части вводятся геометрические объекты, называемые особенностями Ландау, и изучаются их свойства во второй части речь идет об их физическом смысле и о той роли, которую они играют в различных теориях элементарных процессов. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...