Некоторые общие математические факты

Некоторые общие математические факты [c.62]

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ 63 [c.63]

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФАКТЫ 65 [c.65]

Некоторые общие математические факты (продолжение) [c.75]

Классическая механика исходит из предположения, что свойства пространства и времени не зависят от того, какие материальные объекты участвуют в движении и каким образом они движутся, В связи с этим возникает возможность предварительно выделить и изучить некоторые общие свойства движений. При таком изучении рассматриваются лишь общие геометрические характеристики движения, которые в равной мере относятся к движению любых объектов — молекулы или Солнца, изображения на экране телевизора или тени самолета на Земле. Если бы предметом нашего исследования были лишь свойства пространства, то мы не вышли бы за пределы геометрии. С другой стороны, если бы мы интересовались лишь течением времени, то возникающие при этом простые задачи относились бы к иной науке, которую можно было бы назвать хронометрией . Согласно данному выше определению механики, нас интересуют изменения положения некоторых объектов в пространстве и времени. До тех пор, пока мы не рассматриваем инерционных свойств движущихся объектов, нас интересует по существу лишь объединение геометрии и хронометрии. Такое объединение геометрии и хронометрии называется кинематикой. Кинематика не является собственно частью механики (поскольку при ее построении никоим образом не учитываются инерционные свойства материи) и могла бы излагаться в курсах геометрии. Однако по традиции в обычные курсы геометрии кинематика не включается, и необходимые сведения из кинематики приводятся в курсах механики. Связано это главным образом с тем, что хронометрия сравнительно бедна идеями и фактами, и поэтому, если отвлечься от потребностей механики, добавление хронометрии к обычным геометрическим построениям мало интересно с математической точки зрения. [c.10]

Наоборот, Ьсли случайная функция X(x,t) является марковской, то для плотности вероятности p(X X,t) — р(Х ф о) (а потому, согласно (10.5), и для средней концентрации дСХ",/)) при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (10.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях регулярности (налагаемых на переходную вероятность p(Xlx,t) и гарантирующих, что рассматриваемая марковская случайная функция X (t) будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные [c.533]

При чисто теоретических исследованиях эти уравнения служат для установления общих качественных свойств движений и для фактического вычисления искомых функциональных связей с помощью различных математических операций. Однако механическое исследование не всегда возможно осуществить путём математических рассуждений и вычислений. В ряде случаев решение механических задач встречается с непреодолимыми математическими трудностями. Очень часто мы не имеем вообще математической постановки задачи, так как исследуемое механическое явление настолько сложно, что для него пока ещё нет удовлетворительной схемы и нет ещё уравнений движения. С таким положением мы встречаемся при решении многих очень важных задач в области авиамеханики, гидромеханики, в проблемах изучения прочности и деформаций различных конструкций и т. п. В этих случаях главную роль играют экспериментальные методы исследования, которые дают возможность установить простейшие опытные факты. Вообще всякое изучение явлений природы начинается с установления простейших опытных фактов, на основе которых можно формулировать законы, управляющие исследуемым явлением, и записать их в виде некоторых математических соотношений. [c.11]

Эти работы, завершившиеся блестящим предсказанием конической рефракции, представляют основное из того, что сделано Гамильтоном в оптике. Он подошел к проблемам геометрической оптики с очень общей точки зрения, стремясь найти такое математическое соотношение, к которому сводились бы все проблемы этой науки. Он исходил при этом из мысли, что этап индукции, который он, как мы выше видели, считал в развитии всякой науки предшествующим этапу дедукции, для геометрической оптики уже завершен. История этой науки, по мнению Гамильтона, уже выявила наиболее общее свойство оптических явлений, которое, будучи сформулировано математически, должно быть положено в основу геометрической оптики. Излагая в кратком очерке историю оптики, Гамильтон прежде всего подчеркивает прямолинейность распространения света. Этот опытный факт в конце концов выкристаллизовывается в следующее важное положение, которое является фундаментальной теоремой оптики Связь между освещением и освещающим телом, или между рассматриваемым объектом и воспринимающим глазом, осуществляется посредством постепенного, но очень быстрого распространения некоторого предмета или влияния, или состояния, называемого светом, от светящихся или видимых тел вдоль математических или физических линий, называемых обычно лучами и оказывающихся при самых общих условиях точно или приближенно прямыми ). [c.807]

Современное состояние механики двухфазных сред характеризуется интенсивным развитием экспериментальных исследований, проводимых с целью накопления опытных фактов. Параллельно сделаны и делаются попытки математического описания некоторых упрощенных моделей движения двухфазной жидкости и фазовых переходов при больших скоростях движения. В этом направлении развиваются исследования двухфазных течений и в Московском энергетическом институте. На основе полученных результатов в настоящей монографии сделана попытка некоторых обобщений. В книге используются также материалы, имеющиеся в периодической литературе и некоторых книгах по общей газовой динамике и термодинамике. [c.6]

Для тех операций над многомерными алгебраическими объектами, которые являются очевидными обобщениями операций над двухмерными и одномерными матрицами из области АСУ, легко отыскиваются аналоги обработки многомерных таблиц. Для ряда процедур линейной алгебры, таких, как умножение тензоров и многомерных матриц, отыскание собственных векторов и собственных значений матриц, вычисление определителей матриц и некоторых других, в области АСУ не удается найти аналоги операций над данными. Этот факт, по-видимому, отражает объективную закономерность и свидетельствует о том, что аппарат линейной алгебры является более общим и более широким, чем аппарат обработки данных в АСУ. Однако строгое математическое доказательство этого утверждения еще требует дополнительных исследований и не рассматривается в книге. [c.59]

Оказывается также, что различные проблемы механики сплошной среды и математические методы их исследования во многих случаях тесно связаны между собой. Так, например, исследования движения жидкости в трубах послужили для объяснения некоторых основных фактов движения жидкости около крыла самолета. Методы решения задачи об обтекании крыла самолета имеют много общего с математическими методами решения задач о фильтрации жидкости в почве. Многие результаты теории движения газов в трубах, оказывается, можно использовать при рассмотрении различных задач о волновых движениях воды в каналах и т. д. и т. п. [c.15]

В процессе осмысливания множества фактов, частных законов возникают обобщения, которые отражают в себе сущность и единство рассматриваемых явлений. Выдвигается система постулатов, выражающих ядро теории. Под ядром теории понимаются общие законы или принципы, которые определяют связи между физическими величинами, устанавливая изменение последних во времени и в пространстве. Как правило, ядро современной теории составляет система дифференциальных уравнений. Например, ньютонова механика основана на трех постулатах (законах Ньютона) и принципе суперпозиции сил. Все эти положения имеют математическую форму. В ядре физической теории особая роль принадлежит законам сохранения энергии, импульса, момента импульса, а также ряда других величин. Основные уравнения теории должны быть согласованы с законами сохранения — только при этом уравнения правильно отражают природу. В ядро входят положения об инвариантности основных уравнений по отношению к некоторым преобразованиям, основные константы теории. [c.10]

Эта книга содержит много сведений из теории фигур равновесия, сравнительно мало доступных и расеянных в специальной литературе. Литтлтон свел их вместе и объединил с некоторой общей точки зрения. Такое собрание теоретических фактов, полученных в трудах Пуанкаре, Ляпунова, Аппеля, Джинса, Дарвина и других образует фундамент для изучения протопланет, протозвезд, галактик и других объектов, внутренне связанных силами тяготения. Без точных математических формулировок мы зачастую обречены в этой области (к сведению некоторых астрофизиков ) на весьма поверхностные и сомнительные заключения. [c.10]

Развивалась также теория детермированных дискретных оптимальных систем — как импульсных, так и релейно-импульсных. Однако для решения нелинейных задач, относящихся к замкнутым системам со случайными помехами в их цепях — как в прямом тракте системы, так и в цепи обратной связи, необходимо учитывать неполноту информации об объекте и его характеристиках и случайные шумы. Все это потребовало привлечения новых математических средств. Такими средствами явились метод динамического программирования Р. Веллмана, нашедший за последние годы успешное применение в теории оптимальных систем и теории статистических решений. В результате оказалось возможным сформулировать новый круг проблем, а также найти общий рецепт решения задач и решить некоторые из них. Значительная часть этих работ была посвящена теории дуального управления, отражающей тот факт, что в общем случае управляющее устройство в автоматической системе решает две тесно связанные, но различные по характеру задачи первая задача — это задача изучения объекта, вторая — задача приведения объекта к требуемому состоянию. Теория дуального управления дает возможность получить оптимальную стратегию управляющего устройства для систем весьма общего типа [48]. [c.272]

Излагая в кратком очерке историю оптики, Гамильтон прежде всего подчеркивает прямолинейность распространения света. Этот опытный факт в конце концов выкристаллизовывается в следующее важное положение, которое является фундаментальной теоремой оптики Связь меноду освещением и освещающим телом, или между рассматриваемым объектом и воспринимающим глазом, осуществляется посредством постепенного, но очень быстрого распространения некоторого предмета или влияния или состояния, называемого светом, от светящихся или видимых тел вдоль математических или физических линий, называемых обычно лучами и оказывающихся при самых общих условиях точно или приближенно прямыми [c.206]

Метод представления. Руководство, служащее для обучения современной технике аналитического исследования движения жидкости, очевидно, не может отказаться ни от мощного математического аппарата классической гидродинамики, ни от условия его успещного применения — проверки экспериментом. В следующих главах книги будет уделено должное внимание общей теории движения жидкости, ее строгим приложениям и подтверждению в некоторых простых случаях, а затем методам приближенного приложения и экспериментального упрощения в более сложных случаях. В связи с сомнительностью того факта, что читатель когда-нибудь встретится с новой проблемой, поддающейся точному рещению, его следует подготовить к приближенным и функциональным соотношениям, которые он может получить комбинацией аналитических и экспериментальных средств. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...