ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые общие математические факты из "Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек " В правой части (9.3) стоит сумма гельдеровых разностей всех производных / порядка к. [c.62] Если все элементы множества банахова пространства принадлежат одному шару, то это множество будем называть ограниченным. [c.63] Оператор О (не обязательно линейный) называется ограниченным, если он любое ограниченное множество в Б1 переводит в ограниченное множество в Бг. [c.63] Здесь и ниже двойная стрелка всегда обозначает сильную сходимость последовательности. [c.64] В частном случае, если Бг есть действительная ось, мы получаем действительные функционалы, к которым, таким образом, относятся все предыдущие определения и факты. [c.64] Множество элементов ф пространства Б называется сильно (слабо) компактным, если из любой его бесконечной части можно выделить сильно (слабо) сходящуюся подпоследовательность. [c.64] Оператор G называется компактным, если любое ограниченное множество из Bi он переводит в компактное множество в Бг. [c.64] Оператор G назовем вполне непрерывным, если он компактен и непрерывен. [c.64] Множество элементов пространства Банаха называется сильно (слабо) замкнутым, если оно содержит все сильно (слабо) предельные точки своих элементов. [c.65] Теорема 9.2. Замкнутый шар пространства Гильберта слабо компактен и слабо замкнут. [c.65] Теорема 9.4. Всякий слабо непрерывный функционал принимает максимальное значение на любом слабо замкнутом множестве. [c.65] Теорема 9.5. Пусть оператор О действует усиленно непрерывно из банахова пространства Б1 в банахово пространство Бг. При этом шар в Б1 слабо компактен. В этом случае О действует вполне непрерывно. [c.65] Для доказательства заметим, что если О усиленно непрерывен, то он подавно непрерывен. Установим теперь, что он будет и компактным. Пусть ы — некоторое ограниченное множество в Бь Покажем, что Оы будет компактным. Пусть Оы — некоторая бесконечная часть Ссо. Очевидно, множество ы как часть ы также ограничено и, значит, в силу условия, наложенного на Б, содержит слабо сходящуюся в Б последовательность Ы], ыг, м . Очевидно, Смь. .., Сы ,. ..— сильно сходящаяся последовательность. Таким образом, Ои содержит сильно сходящуюся последовательность. Теорема 9.5 доказана. [c.65] Доказательство этой теоремы приводиться пе будет. [c.65] Теорема имеет важные приложения. В частности, из нее вытекает, что во всех теоремах вложения соболевских пространств оператор вложения не только вполне непрерывен, как это формулируется обычно, по и усиленно непрерывен. Этот факт является следствием рефлексивности пространств Соболева и линейности оператора вложения. [c.66] Формула (9.25) была предложена Пуанкаре [11, 22, 23]. Естественно, предполагается, что (I е С . [c.66] Теорема 9.8 [12]. Пусть на плоской кривой й класса С задано непрерывное векторное поле И, имеющее вращение 7. Пусть, далее, это векторное поле порождает отображение 0 . [c.69] Этот инвариант имеет существенное значение во многих топологических рассмотрениях, может быть введен для произвольных достаточно гладких отображений и носит наименование топологической степени отображения. Именно го введение дало возможность Брауэру и Хопфу обобщить понятие вращения векторного поля для размерностей пространства, больших чем 2. [c.69] Оказывается, что при достаточной гладкости Пий ind /с пе зависит от положения точки к на й. Его и рационально назвать вращением векторного поля П на в,. Вышеприведенные рассуждения могут быть проведены для любого достаточно гладкого отображения, и тогда мы получаем инвариант-топологическую степень отображения. В случае -отображения мы получаем вращение у векторного поля П на в,. [c.72] Основные идеи мы разъясним на примере вычисления вращения векторного поля, заданного па сферах сепарабельного гильбертова пространства Н. [c.73] Вернуться к основной статье