Производные от коэффициентов Лапласа

I от — оо до + оо. На практике, в зависимости от заданной точности, ограничиваются той или иной степенью ос. Если необходимо сохранить в разложении (4.6.15) члены до 5-й степени включительно относительно а, то необходимо произвести суммирование по 1 от —5 до -[-5. Соответственно нужно обрывать разложения для коэффициентов Лапласа и их производных по степеням ос, входящих в коэффициенты (1) (2) и т. д. следующим образом [c.393]

Производные от коэффициентов Лапласа 431 [c.431]

Чтобы найти вторую производную от коэффициента Лапласа, воспользуемся прежде всего формулой (7) 7.10, именно [c.148]

Фо (2) Фо (2) — функция Лапласа ф<2 - ) (г) — (2v — 1)-я производная функции Ф (2) — коэффициент при показателе [c.77]

Построение математической модели таких теплотехнических объектов, как теплообменники с однофазным или двухфазным теплоносителем, может быть осуществлено с учетом распределенности параметров [42, 43]. Исходные уравнения в частных производных (уравнения сохранения энергии, сплошности, движения) решаются с учетом уравнений состояния, граничных условий и некоторых упрощающих допущений. Решение в области изображений по Лапласу позволяет получить выражения передаточных функций распределенной системы. Коэффициенты этих передаточных функций определяются с использованием теплофизических характеристик теплообменника. [c.466]

Заменив составляющие скоростей на производные по времени от координат х и г, получим систему четвертого порядка однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Запишем ее в операторной форме (переменную 7 заменим на s), обозначив переменные в изображениях по Лапласу л (s) и г (s), [c.92]

Поскольку коэффициенты исходного уравнения при заданной форме возмущения не являются функциями времени, можно преобразовать его в уравнение с обыкновенными производными, применив преобразование Лапласа по независимой переменной т, тем более, что значение At (2, 0) известно. Однако в последующем будет применяться лишь метод характеристик. [c.257]

Интегральное уравнение (3.1) с помощью преобразования Мел-линг сведено В. Т. Койтером к разностному уравнению с переменными коэффициентами. Взяв логарифмическую производную от обеих частей этого уравнения, автор пришел к разностному уравнению с постоянными коэффициентами,I,. которое решено с помощью преобразования Лапласа. Решение для продольных усилий N в ребре, отнесенных к приложенной силе, получено в виде ряда [c.123]

Если мы к функции (9.21) не предъявим никаких других требований кроме того, что она должна удовлетворять уравнению Лапласа, то заметим, что таких функций существует бесконечное множество. В частности, если нам известна какая-либо гармоническая. функция,-то, исходя из нее, можно получить сколько угодно новых гармонических функций, пользуясь свойством лапласова оператора, указанным в формуле (5.54) 36. Действительно, если ср(х, у, z, а, Ь, с,. . .) есть гармоническая функция, причем а, Ь, с,. ..— какие-либо параметры или коэффициенты, входящие в ее состав, то легко показать,, что частная производная [c.251]

Это обстоятельство определило метод решения, общий почти для всех работ. Система уравнений в частных производных преобразованием по Лапласу приводится к системе обыкновенных уравнений. В последней переменная преобразования s заменяется на со и для ряда существенных значений со находятся отдельные точки частотной характеристики. Переменные коэффициенты исходных уравнений предварительно вводятся в память машины в численном виде. [c.132]

В случае системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка с постоянными коэффициентами для двух независимых функций щ и 2 эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами для функции щ или 2. Тогда решения краевых задач можно определить в аналитическом виде 24, 62]. В этом случае можно также использовать интегральное преобразование Лапласа (см., например, п. 15). Этот метод, однако, непригоден в некоторых случаях, именно тогда, когда вместе с решением данной системы уравнений необходимо определить границу области, в которой ищется решение, например при определении волны разгрузки для упругопластической среды (с кусочно линейной характеристикой материала). [c.68]

Допустим, что функции fl u), 2 (и) раскладываются около некоторой точки о в целые ряды с действительными коэффициентами по степеням разности и — о Допустим, далее, что фз (и) и ф1 (и), ф2 и) изображают вдоль кривой С значения некоторого интеграла Ф уравнения Лапласа и его первых производных дФ/дх, 5Ф/%. Функции ф (и), фз и), фз (и) считаются голоморфными функциями разности и — о [c.723]

Свойства коэффициентов Лапласа и способы их вычисления могут быть выведены на основании хорошо известной теории гипергеометри-ческих рядов. Можно также отменить, что существуют подробные таблицы коэффициентов Лапласа и их производных, так что вычислителю на практике очень редко понадобится вычислять их с самого начала. Однако полезно установить здесь некоторые свойства коэффициентов Лапласа, что поможет пониманию существа вопроса и даст возможность вычислителю работать с большей свободой. [c.426]

Производные от коэффициентов Лапласа. Производные от коэффициентов Лапласа по а входит в буквенное разложение возмущающей функции. В тех случаях, когда а очень малб, можно воспользоваться для вычисления коэффициентов 0) рядом (42), записанным в следующем виде [c.431]

Коэффициенты С являются функциями от а и а, степени — 1. При помощи разложения, данного Леверрье или Ньюкомом, их иожно выразить через коэффициенты Лапласа и их производные. Соотношения Даламбера дают [c.498]

Уравнение (VIII.5) есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В записанной форме это уравнение используется при рассмотрении дозвукового потока (М < ) Такое уравнение относится к так называемым уравнениям эллиптического типа. Оно легко может быть сведено к уравнению Лапласа. [c.186]

Описанный выше подход о восстановлении поля температуры по данным Коши для уравнения Лапласа (или Фурье), заданным на части границы области, в принципе решает задачу. Но дело в том, что получить данные о распределении температуры на доступной для измерений части поверхности сравнительно просто, а вот определение на этом же участке поверхности градиента температуры по направлению нормали к поверхности во многих спучаях встречается с весьма большими трудностями. Градиент температуры известен (равен нулю), когда теплообмен между элементом и окру-жащей средой отсутствует. В противном случае градиент температуры подлежит определению. Вычислить его из условий тегшообмена с внешней средой не удается, так как значение относительного коэффициента теплообмена в большинстве случаев неизвестно. При этом применяют метод рассверловки ступенчатых отверстий с установкой на уступах термопар. Тогда определение температуры на некоторой глубине под поверхностью и вычисление по этим данным градиента температуры вносит трудно поддающуюся оценке погрешность из-за изменения граничных условий в местах рассверловки. Кроме того, при большом количестве точек измерений рассверловка — крайне нежелательная операция, а в некоторых случаях и недопустимая. Таким образом, использование информации о температуре и ее нормальной производной для определения поля температуры в области элемента представляется нецелесообразным. [c.83]

Некоторые коэффициенты в уравнениях (6-55) являются, в свете принятых посылок, постоянными (ов, Св, qo), другие представляют собой функции пространственной координаты (хр, ё в = /ро). Итак, система уравнений в частных производных имеет коэффициенты, которые или постоянны, или являются функциями координаты длины, поэтому возможно преобразование Лапласа системы по координате времени. После проведения преобразования приращение температуры стенки выделяется из уравнения теплового баланса и подставляется в уравнение энергии. В результате приходим к двум уравнени- [c.265]

Уравнения (И) и (12) аналогичны уравнениям теории упругих составных стержней с абсолютно жесткими поперечными связями с той разницей, что место вторых производных в них занимает оператор Лапласа V n введены коэффициенты Пуассона. В составном стержне значения 7 представляют собой суммарные сдвигающие силы в 2-м шве, равные значенияпродольные силы в t-M слое, М— Му— суммарный изгибающий момент, действующий в сечении составного стержня, лишенного связей сдвига, Dg — суммарная жесткость на изгиб этого стержня [c.259]

Для иллюстрации метода граничных элементов рассматривалась задача об ударном разрыве пластины с краевой трещиной. Схема дискретизации границы симметричной части пластины показана на рис. 3.11. Для определения зависимости коэффициента интенсивности напряжений от времени были вычислены обращения преобразования Лапласа вертикальных смещений на продолжении трещины, затем методом экстраполяции были получены результаты, представленные на рис. 3.12. Эти результать согласуются с известными аналитическими и численными результатами (см. гл. 2), а также [28]. При этом необходимо отметить следующее. Согласно аналитическому решению, пиковое значение динамического коэффициента интенсивности напряжений достигается в момент прихода в вершину трещины волн Рэлея, и производная по времени в этот момент терпит разрьш. Приведенные на рис. 3.12 к 1вые являются сглаженными вследствие дискретизации интегрального уравнения и численного обращения преобразования Лаш1аса. Тем не менее, зто не сказывается на самом пиковом значении 1, которое является наиболее важной величиной, определяемой в процессе расчета. [c.74]

Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей называют оператором Лапласа и обозначают для краткости символами V . Множитель Х/(ср), составлен из физконстант и представляет собою некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способность тел проводить тепло и одновременно аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику называют коэффициентом температуропроводности а [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...