Исключение времени из уравнений Лагранжа

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Исключение времени из интеграла, рассматриваемого при получении принципа наименьшего действия, должно производиться обязательно при помощи принципа живой силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения задачи только таким путем можно придти к принципу наименьшего действия. Лагранж в одном месте говорит, что он в Туринском Мемуаре вывел дифференциальные уравнения движения из принципа наименьшего действия в соединении с принципом живых сил. Такой способ выражения после сделанных выше замечаний не допустим. Лагранж применил только что открытое им вариационное исчисление к использованному уже Эйлером принципу наименьшего действия, но употребил при этом принцип живых сил в расширенном виде, приданном [c.303]

От описания кинематики потока по методу Лагранжа, т. е. от уравнений (1), всегда можно перейти к описанию но методу Эйлера, т. е. к уравнениям (3). Эта задача решается дифференцированием уравнений (1) по времени с последующим исключением параметров а, 6, с из уравнений (1) и (2). Обратная задача— по заданному полю скоростей (3) определить траектории частиц— гораздо сложнее. Математически она приводится к интегрированию [c.115]

Уравнения Лагранжа (28.11) были получены из принципа Даламбера (28 2) путем исключения зависимых виртуальных перемещений с помощью формул (28 3), представляющих собой преобразование радиусов-векторов материальных точек системы к ее обобщенным координатам да Следует иметь в виду, что сам выбор обобщенных координат системы неоднозначен. Для одной и той же системы всегда можно указать несколько наборов независимых параметров, однозначно определяющих ее положение в пространстве и удовлетворяющих уравнениям связей. Последнее означает, что обобщенные координаты да какого-нибудь одного набора можно задать с помощью однозначных функций х параметров да и времени составляющих другой возможный набор обобщенных координат [c.164]

Ударные силы. Если рассматривать ударную силу как предел силы, действующей в течение очень малого промежутка времени, то из п. 1П можно вывести уравнения движения системы, совершающей стационарное движение и внезапно возмущаемой импульсом силы. В результате интегрирования по времени за время действия ударной силы уравнений движения, приведенных в п. Ill, получим, что интегралы от всех членов, за исключением членов вида Aa x, будут равны нулю. Это следует из определения импульса, данного в гл. И т. I, или из соображений, приведенных в гл. УП т. I в связи с применением уравнений Лагранжа к случаю ударных сил. [c.96]

Ю. Д. Соколов изучил также траектории общего соударения в обобщенной задаче трех тел. Ему принадлежит первое исследование трансцендентного уравнения Эйлера — Лагранжа, связывающего отношения взаимных расстояний с отношением масс в обобщенном случае. Он доказал, что при стремлении времени к моменту общего соударения три тела, вообще говоря, стремятся образовать предельную конфигурацию, соответствующую известным частным случаям Эйлера—Лагранжа, а также указал исключения из общего правила. Соколов исследовал пространственное симметрическое движение и, в частности, траектории общего соударения, с коллинеарной (на оси вращения) предельной конфигурацией. Он изучил также траектории обобщенной задачи трех тел в случае неограниченного расхождения точек системы для плоского и пространственного движения в течение конечного интервала времени. [c.114]

Чтобы вывести принцип Якоби, достаточно повторить до-казательство, уже данное в п° 432, т. е. показать, что исключение времени из уравнений Лагранжа [c.323]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

Это провозглашение эры исключительного господства аналитического метода могло казаться тем более обоснованным, что в труде Лагранжа содержится и все, что к тому времени составляло механику сплошной среды. Подводя итоги, надо все же признать, что аналитическая механика Лагранжа — не вся механика его времени. Недостаточность для приложений динамики идеальной жидкости, ограничение идеальными связями, т. е. исключение сил трения, математические трудности — словом, все, отделявшее теоретические построения от технических применений, заставляло уже тогда искать новые физические схемы, приближенные методы, обращаться к эксперименту. Это относится прежде всего к механике сплошной среды (см. следующую главу). Но в механике Лагранжа не было и других важных компонентов. В ней отразились и слабые стороны механистического, недиалектического материализма XVIII в. Лагранж обходит вопросы, связанные с тем или другим толкованием таких общих понятий, как пространство и время. А заодно он совсем не касается вопроса о том, каковы те системы координат, которыми он пользуется он ничего не говорит об относительности движения. Он обрывает в этом пункте традиции классической механики. Исходя из уравнений и не вникая в анализ физических основ механики, Лагранж как бы провел некую линию уровня . Все, лежащее выше нее, можно было считать прочно установленным и рекомендовать к применению то, что находилось ниже нее, игнорировалось. Это была новая позиция — позиция разумного самоограничения, но это исключало из рассмотрения ряд основных вопросов механики (и естествознания в целом). Исключить их на том основании, что пока нет удовлетворительного ответа на них и что они слишком близки к метафизике , было полезно можно было сосредоточить усилия на более конкретных задачах, поддающихся решению но это принесло и вред, так как отвлекало от более глубокого исследования основных понятий механики и физики, создавая иллюзию благополучия, которого на самом деле не было. [c.157]

Таким образом, движение рассматриваемого не вполне симметричного тяжелого гироскопа (по отношению к неподвижным в нем осям) характеризуется тем, что траектория одной точки (как например, точки fii) как бы заменяется некоторой частью плоскости pOq , точки которой делаются ей в сущности одинаково доступными, что лишает выводы о формах таких траекторий привычной нам математической четкости. Подобные факты, существующие и в движении гироскопа Лагранжа, Hanpniifep в движении (но уже в пространстве) его вершины и в других случаях движений, в данной задаче особенно выступают вперед. Кроме траекторий точки fii, здесь можно изучать подобные же свойства в движении и других точек и между прочим самой точки fi, конца вектора угловой скорости, который перемещается уже не по плоскости pOq , а по некоторой кривой поверхности, уравнение которой нетрудно найти путем исключения у, у и у" из уравнений четырех интегралов. Тут тоже точка fi будет описывать не линию в обычном смысле, но как бы целые участки такой поверхности, и определенные начальные условия не будут вообще заметно отличать ряд последовательно сменяющих их положений гироскопа от другого подобного ряда, "следующего за совсем другими начальными положениями и только несколько иначе ориентироваснного во времени по отношению к своему началу движения. [c.87]

Таким образом, метод.. Уиттекера дает возможность использовать обобщеипый интеграл энергии д.11я исключения времени i из системы уравнений Лагранка и приведения ее к новой системе s— I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих ввд уравнений Лагранжа, в которых роль аргумента играет-переменная <71 (вместо времени i) и в которые вместо производных др по аргументу t входят производные Яр по аргументу i. Для построения уравнений Уиттекера (4.43) следует предварительно построить функцию Уиттекера Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо д подставляется, его,, выражение, полученное, из. обобщенного интеграла энергйй "(4.35). " [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...