ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Размерность стохастических множеств из "Введение в теорию колебаний и волн " Здесь нет возможности углубляться в соответствующие математические расчеты. Описание же физических процессов, соответствующих разрушению торов, мы отложим до 23.2, где обсуждаются механизмы возникновения турбулентности в гидродинамических течениях. [c.489] Как мы уже говорили в начале главы, размерность стохастического множества гамильтоновой системы совпадает с размерностью фазового пространства исходной системы. Размерность же стохастических аттракторов может быть существенно меньше размерности фазового пространства исследуемой диссипативной системы. Именно это проясняет ответ на вопрос почему и очень простая система, например нелинейный осциллятор с трением, возбуждаемый периодической силой, и очень сложная, например гидродинамическое течение в ячейке (см. 23.2), демонстрируют одни и те же свойства перехода. [c.489] Мы уже говорили, что на стохастическом множестве все траектории должны быть неустойчивы. Они не могут быть неустойчивы одновременно по всем направлениям — это приведет к безграничному росту объема, т. е. аттрактор перестанет быть аттрактором располагающиеся внутри ограниченного фазового объема неустойчивые траектории могут быть только седловыми — они неустойчивы по одним направлениям и устойчивы по другим (причем эти направления вдоль траектории могут меняться). Скорость разбегания траектории по каждому из направлений характеризуется средним по траектории положительным ляпуновским показателем Xj j = 1, 2,. .., в, где 8 — число неустойчивых направлений), скорость сближения траекторий — отрицательными показателями (з j п, где п — размерность фазового пространства). Напомним (см. гл. 15), что величина Х равна среднему по траектории значению 1п[/(г)//(0)], где /(0) и 1 т) — расстояния от возмущенной траектории до исходной и моменты времени О и г соответственно (рис. 22.22). [c.489] что размерность странного аттрактора зависит не только от числа неустойчивых направлений, но и от суммарной скорости разбегания траекторий по ним. [c.490] С физической точки зрения представляется важным нахождение связи между размерностью стохастического множества и значением параметра, характеризующего степень неравновесности системы (например, числа Рейнольдса в гидродинамике). Однако пока что на этот счет имеются лишь предварительные, весьма завышенные оценки. [c.490] Если 2, то фазовые траектории, образующие аттрактор, располагаются в тонком слое вблизи некоторой поверхности . При этом приближенно (пренебрегая толщиной аттрактора) движение на аттракторе можно описать с помощью одномерного отображения Пуанкаре, связывающего координату предыдущего пересечения принадлежащей аттрактору траектории с секущей поверхностью с координатой следующего пересечения Хк+1 = Р хи)- К числу аттракторов с В — 2 = ё, 1 принадлежит, в частности, аттрактор системы Лоренца. Именно поэтому все известные бифуркации и этой системе так хорошо описываются с помощью одномерных отображений. [c.490] Величина В характеризует и близость странного аттрактора в слабодиссипативной системе к стохастическому множеству соответствующей гамильтоновой системы. Такая близость, в том числе и по статистическим характеристикам, имеет место, когда В п п — размерность фазового пространства). [c.491] Здесь h характеризует величину диссипации, Ь поля. [c.491] В другом предельном случае [В — 2 В) странный аттрактор уравнения (22.22) приближенно описывается одномерным отображением [32] (рис. 22.24). [c.492] Вернуться к основной статье