Вычисление двух интегралов, используемых

Рассмотренная схема являегся простейшей двухэтапной схемой Рунге—Кутта. В ней интеграл определяется по двум точкам интервала [т , и используются два вычисления функции / (т, и) на одном шаге по времени. В общем случае при использовании для определения интеграла /j j+i т точек на интервале [xj-, Xj+il получается m-этапная схема Рунге—Кутта. Первая точка для вычисления оценки производной f (х, и) всегда совпадает с Xj, а остальные располагаются оптимальным образом с точки зрения обеспечения наивысшего при данном т порядка аппроксимации. [c.33]

Здесь первый интеграл, являющийся несингулярным в силу того, что 1 — обращается в нуль в особой точке и подынтегральное выражение ведет себя достаточно хорошо в окрестности этой точки, может быть найден численно второй же интеграл должен вычисляться аналитически. Для плоских граничных элементов эти интегралы вычисляются просто. Для квадратичных и кубических граничных элементов (т. е. искривленных граничных элементов) указанный выше второй интеграл приходится разбивать на два, один из которых отвечает интегрированию по плоскости, касательной к элементу и проходящей через особую точку, и может быть вычислен аналитически, а другой — интегрированию по искривленной поверхности граничного элемента и может быть найден численно. Добавляемое к полученным коэффициентам разрывное слагаемое Pij- приводит к диагональному преобладанию коэффициентов блоков итоговой матрицы. Указанная выше процедура, безусловно, может быть использована и для вычисления интегралов от G j-. [c.418]

Интересно отметить, что формулу (4Б.21) можно использовать и для вычисления проводимости чистых металлов при Т То когда релаксация импульса электронов обусловлена почти упругими столкновениями электронов с фононами. Соответствующий интеграл столкновений был выведен в параграфе 4.1 и дается формулой (4.1.94). Если сравнить его с интегралом столкновений (4.2.97), то видно, что эти два выражения отличаются только видом вероятности перехода. Используя формулу (4.1.95) или более простую формулу (4.1.97), находим, что в случае упругого электрон-фононного рассеяния транспортное время релаксации Тр пропорционально Т . Таким образом, из (4Б.21) следует, что при температурах То < Sp для чистых металлов а а удельное сопротивление д = 1/а растет пропорционально температуре. [c.333]

Верхний и нижний знаки используются для акустачески жесткого и мягкого клиньев соответственно. Схема дальнейших преобразований заключается в следующем. Преобразуем ряд (3.24) в два интеграла на комплексной плоскости некоторой переменной. Один из них может быть вычислен точно в виде суммы рядов по вычетам. Этот интеграл описывает геометрооптическую составляющую поля, т. е. прямую (падающую) волну и волны, отраженные от граней клина. Второй вычисляется асимптотически при больших волновых расстояниях до ребра клина и дает дифракционное поле в дальней зоне. [c.137]

Если мы используем выражение (5.135) для вычисления коэффициента сферической аберрации, то увидим, что первые два члена подынтегральной функции всегда положительны, а знак третьего совпадает со знаком —ВВ". Так как в соответствии с теоремой Шерцера so всегда положительно, можно надеяться на уменьшение сферической аберрации, если значение интеграла по ВВ" предельно велико. Это эквивалентно требованию, чтобы график функции распределения магнитной индукции был всегда выгнут относительно оси, т. е. имел минимум для положительных или максимум для отрицательных значений распределения В г). Магнитные поля с такими распределениями эквивалентны длинным линзам и могут быть сформированы, например, соответствующим образом распределенной неравномерной обмоткой длинного соленоида. Они действительно применялись для уменьшения сферической аберрации в -спектрометрах [291J. [c.481]

С теоретической точки зрения указанные два метода должны давать одинаковые нормировочные постоянные если бы экспериментальные данные были свободны от опшбок, то, по-видимому, не было бы никаких оснований отдавать предпочтение одному из методов. В действительности в первом методе экспериментальные данные при больших углах играют гораздо более важную роль, чем во втором. В интегральном методе используются данные для всего доступного интервала значений s в частности, весьма важный вклад вносит, по-видимому, область первого большого пика функции i (s). Для проверки согласованности ко всякому имеющемуся набору данных следует, вероятно, применять оба метода. Для вычисления интеграла (117) нетрудно приспособить цифровую вычислительную программу, используемую при фурье-преобразовании экспериментальных данных по дифракции. Всякое грубое несоответствие результатов, получйнных этими двумя методами, указывало бы на то, что либо в вычислении нормировочных постоянных содержится ошибка, либо данные по рассеянию внутренне не согласованы. Нормировочные постоянные, полученные двумя различными методами для 13 состояний жидкого аргона, изученных Миколаем и Пингсом [62], оказались в хорошем согласии. [c.47]

Как известно, дифференциальное уравнение изгибно-крутиль-ной формы равновесия — это уравнение с переменными коэффициентами. Для ряда более простых случаев это дифференциальное уравнение может быть преобразовано к уравнению Бесселя, общий интеграл которого выражается через соответствующие функции с различными индексами. Для ряда значений индексов составлены подробные таблицы бесселевых функций. В тех случаях, когда дифференциальное уравнение равновесия не преобразуется к уравнению Бесселя или отсутствуют достаточно подробные таблицы соответствующих функций Бесселя, частные интегралы представляются непосредственно в виде бесконечных рядов и вычисление критического значения нагрузок существенно осложняется. Рассмотрение совместного действия продольной и поперечной нагрузок оказывается еще более сложным. В работах [6, 8] используется приближенный метод Бубнова — Г алеркина, а в качестве аппроксимирующей функции, как правило, используются два первых члена тригонометрического ряда. [c.269]

Рассмотрим теперь интеграл pi и применим для его вычисления метод перевала. С этой целью разобьем интеграл р- на два слагаемых Pj = р[ + р [ В первом из них интегрирование будет проходить по левой полупетле контура j (см. рис. 51), во втором — по правой полупетле . На каждом из участков и , следует использовать различные асимптотические формулы для функций Ханкеля. В интеграле р[ путь интегрирования расположен слева от нулей функций [c.181]

В рамках данного подхода уравнение Больцмана решается конечно-разностным методом на фиксированной пространственно-скоростной сетке. Для вычисления интеграла столкновений применяется проекционный метод [8,9], обеспечивающий строгое вьшолнение законов сохранения массы, импульса и энергии, а также обращение интеграла столкновений в ноль на локально-максвелловской функции распределения. Последнее свойство значительно повышает точность расчета при малых числах Кп. Для вычисления интеграла столкновений применяются многомерные сетки узлов интегрирования, метод Монте-Карло не используется. На каждом временном шаге сначала строится кубатурная сетка, которая затем применяется во всех узлах физического пространства для вычисления интегралов столкновений. В типичных примерах использование одной и той же сетки сокращает время счета почти на два порядка. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...