ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственное энергетическое состояние из "Квантовая оптика в фазовом пространстве " Функция Вигнера даёт ясное представление о рассматриваемом квантовом состоянии. Однако квантовое состояние — только одна сторона монеты. Другая — это эрмитов оператор, соответствующий той или иной наблюдаемой. Только объединив эти два понятия, можно дойти до соприкосновения с экспериментом. Действительно, знание квантового состояния необходимо для вычисления средних значений операторов. [c.112] Здесь А х,р) — с-числовое представление оператора А х,р), такое, что интегрирование по фазовому пространству с функцией Вигнера состояния приводит к правильному квантово-механическому результату. В данном разделе мы покажем, что существует хорошо определённая процедура, позволяющая вычислять такие средние в полном согласии с законами квантовой механики. [c.112] Этот элементарный пример ясно показывает, что суш,ествует много классических пределов одних и тех же операторов, зависяш,их от того, как мы выберем порядок некоммутируюш,их операторов, прежде чем заменять их на с-числа. Эта проблема известна в литературе как проблема упорядочивания. Следовательно, процедура усреднения с помош,ью функции Вигнера может быть согласована с квантово-механическим результатом только при условии правильного выбора упорядочивания. В следуюш,ем разделе мы покажем, что функция Вигнера действительно позволяет вычислить средние значения симметрично упорядоченных операторов. [c.113] Таким способом, мы определяем классическое представление в фазовом пространстве оператора А, которое уже позволяет вычислить квантовомеханические средние значения типа (А) с помощью функции распределения Вигнера в фазовом пространстве х,р). [c.114] Таким образом, в этом примере упорядочение Вейля-Вигнера соответствует симметричному упорядочиванию. [c.115] В заключение подчеркнём, что так происходит и в общем случае. [c.115] Уравнение Шрёдингера в фазовом пространстве. Проиллюстрируем эту технику представления квантово-механических операторов с-числами для случая не зависящего от времени уравнения Шрёдингера. В частности, покажем, что получаются два связанных уравнения в фазовом пространстве (3.17) и (3.18), определяющие функцию Вигнера собственного энергетического состояния. [c.115] Таким образом, слева мы имеем произведение двух операторов, а справа — один оператор, умноженный на с-число. Если воспользоваться правилом соответствия Вейля-Вигнера, то правая часть этого уравнения превращается в функцию Вигнера собственного энергетического состояния, умноженную на собственное значение. Левая часть сложнее, так как содержит произведение двух операторов. [c.115] Эти операторы иногда называют операторами Боппа, так как они связаны с именем Ф. Боппа, занимавшего пост заведующего знаменитой кафедрой Зоммерфельда в Мюнхенском университете. [c.115] После разложения потенциала II в ряд Тейлора, приходим окончательно к уравнениям (3.17) и (3.18). [c.116] Первое уравнение играет роль уравнения Шрёдингера для собственных значений энергии. Так как это дифференциальное уравнение в частных производных в фазовом пространстве, оно зависит от двух переменных. Кроме того, потенциальная энергия входит в уравнение довольно сложным образом, внося зависимость от комбинаций координаты и производной по импульсу. Второе уравнение — это стационарное уравнение Лиувилля. Любопытно, что оба уравнения содержат либо сумму, либо разность значений потенциала, вычисленного для таких комбинаций. [c.116] Здесь о х,р) — функция Вигнера в момент времени t = О, а хо х,рЛ),ро х,рЛ)) — точка в фазовом пространстве, из которой должна начать движение классическая частица в момент времени t = О, чтобы достичь точки х,р) в момент времени t. [c.117] Указание Очевидно, имеет смысл устремить Н к нулю, удерживая т фиксированным. Чтобы получить классический предел, нужно удерживать энергию состояния Е = т1/2)Ш фиксированной при стремлении Н к нулю. Следовательно тН должно оставаться постоянным, или, иными словами, т должно стремиться к бесконечности. Использовать асимптотику полиномов Лагерра. [c.118] Показать, что при больших по модулю значениях энергии функция Вигнера приближённо совпадает с функцией Эйри вдоль классической траектории, отвечающей энергии Е. Для нулевой энергии функция Вигнера равна функции Бесселя нулевого порядка. Обсудить явление туннелирования на языке функций Вигнера. [c.118] В этой работе имеется интересное подстрочное примечание, в котором автор утверждает, что эта функция была ранее предложена для других целей Л. Сцилардом. Однако никакой подобной работы не было опубликовано. В связи с теорией рассеяния П.А.М. Дирак и В. Гейзенберг использовали выражения, аналогичные функции Вигнера. Дирак даже вывел уравнение движения. [c.119] Квантово-механические функции распределения в фазовом пространстве не обязательно должны принимать отрицательные значения. Существуют распределения, которые везде положительны и всё же приводят к правильным квантово-механическим предельным случаям. Однако такие распределения уже не являются билинейными по волновой функции. [c.122] Вернуться к основной статье