Уравнения Янга—Миллса

К настоящему времени достигнут большой прогресс в понимании природы случайного (см., например, 2]). Оказалось, что детерминированное поведение простых нелинейных систем в классической механике может быть столь сложным, запутанным и, по существу, непредсказуемым, что оно неотличимо от случайного ( динамический хаос ). Недавно стало ясно, что это относится и к нелинейным классическим уравнениям Янга-Миллса, уже в упрощенном варианте которых обнаружилась крайняя нерегулярность компонент цветового поля как функций времени [3. [c.199]

Аналогичного исследования квантовых уравнений Янга-Миллса (и, тем более, общих уравнений КХД) пока еще пет, хотя для них и следует ожидать более слабых стохастических свойств, нежели в классике [4]. Тем не менее, возможность особой нерегулярности физических величин в КХД трудно считать исключенной. Ее следствия и обсуждаются ниже. [c.199]

Изучение однородной двухкомпонентной классической модели уравнений Янга — Миллса связало с исследованием гамильтоновой системы с гамильтонианом [c.59]

Уравнение Эрнста как редукция уравнений Янга—Миллса [c.44]

Уравнения (6) и (7) называются уравнениями Янга-Миллса, это нелинейные уравнения. [c.57]

Будем считать пространство евклидовым и четырехмерным. Рассмотрим решения уравнений Янга-Миллса для которых 5[А] < схэ. Для этого достаточно, чтобы = о ( ) [c.57]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

Весьма интересен факт, что к уравнению Эрнста (5Л) приводит также двумерная редукция автсшуальных уравнений Янга—Миллса в четырехмерном евклидовом пространстве для 5 7(2)-кали6ровочных полей в предположении об их осевой симметрии и независимости от четвертой координаты, а также при выборе специальной калибровки. Поясним связь этих уравнений немного подробнее. Уравнения автодуальности имеют вид [c.44]

Проблема описания всех инстантонов для произвольной компактной классической группы Ли получила полное математическое реп]ение на основе методов алгебраической геометрии 5]. Вместе с тем, было бы очень интересно, хотя бы для дуального подкласса, построить общие (а не только параметрические типа иистантонных) решения уравнений Янга — Миллса, определяемые набором произвольных функций, достаточным для постановки задачи Коши (или Гурса). Это удается сделать при наложении дополнительных условий симметрии, упрощающих изучение рассматриваемой системы благодаря редукции полного числа ее степеней свободы к инвариантным относительно некоторой подгруппы конформной группы координатных преобразований. (Напомним, что теория Янга — Миллса инвариантна относительно прямого произведения последней и калибровочной групп.) Требование цилиндрической симметрии в / 4 позволяет в полной мере решить рассматриваемую задачу и в то же время сохранить ряд основных изических свойств теории. Именно на этом подходе мы и остановимся более подробно. [c.134]

С помощью этого метода можно доказать неинтегрируемость гамильтоновой системы Хэнона — Хейлеса (пример 2, п. 1.3 гл. 5) не только в комплексной, но и в действительной области. Аналогичный результат справедлив для однородной двухкомпонентной модели уравнений Янга—Миллса, описываемой гамильтоновой системой с гамильтонианом [c.263]

Перечисленные краевые задачи не исчерпывают всё многообразие краевых задач матем. физики, это простейшие классич. примеры краевых задач. Краевые задачи, описывающие реальные физ. процессы, могут быть сложными системы ур-ний, ур-ния высших порядков, нелинейные ур-ния. К ним в первую очередь относятся ур-ние Шрёдингера, ур-ния гидродинамики, переноса, магн. гидродина.мики, ур-ния Максвелла, теории упругости, ур-ния Дирака, ур-ния Гильберта — Эйнштейна, ур-ния Янга — Миллса и др. В связи с поисками нетривиальных моделей, описывающих взаимодействие квантовых полей, возрос интерес к классич, нелинейным ур-ниям (см. Нелинейные уравнения математической физики). [c.65]

Существует неск. вариантов обобщения О. 3. р. г. на лщогомерный случай, однако лингь пек-рые ур-ння используются в физике, напр. Кадомцева — Петвиаш-вили уравнение и ур-ние дуальности для Янга — Миллса полей. Теория таких ур-ный не завершена. [c.389]

Отметим, что вопрос о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела в действительной области при произвольном распределении масс остается пока открытым. Ясно, что в системе Хенона — Хейлеса и Янга — Миллса заведомо нет вещественных дополнительных аналитических интегралов, поскольку тогда в малой комплексной окрестности точки X = у = 0 эти системы имели бы голоморфный интеграл, независимый от интеграла энергии. [c.371]

Данная ситуация подобна ситуации в калибровочных теориях в четырехмерном евклидовом пространстве R , где двумерные уравнения, описывающие цилиндрически-симметричные автодуальные конфигурации полей Янга — Миллса, полностью интегрируются, тогда как без наложения этих симметрийных соображений удается построить лишь инстантонные (параметрические) решения в подстановке Атья — Дринфельда — Мани-на — Хитчина. Эти решения (равно как и солитонные образования для периодической цепочки Тода, для эволюционных уравнений типа Кортевега — де Фриза и для других систем) не обеспечивают полного решения соответствующей задачи в смысле зависимости от необходимого числа произвольных функций, заданных на характеристиках. Они отвечают только подклассу общих решений, выделяемому определенными граничными условиями и зависящему от соответствующего набора числовых параметров. [c.8]

Поле Янга —Миллса над евклидовым пространством / 4 с калибровочной группой Ли С задается своими компонентами А х), О ц 3, принимающими значения в алгебре Ли группы О и являющимися дифференцируемыми функциями X е / 4. Используя тол<дество Бьянки, нетрудно показать, что уравнения движения [д/дx - sФ , = О, вытекающие из [c.134]

Изучение автодуальных полей Янга — Миллса стимулировало применение групповых методов интегрирования и нахождения алгебры внутренней симметрии нелинейных динамических систем в реальном четырехмерном пространстве-времени. Однако-основные позитивные результаты в этой области (см. монографию Ю. И. Манина Калибровочные поля и комплексная геометрия .— М. Наука, 1984) получены методами алгебраической геометрии, а не путем непосредственного интегрирования уравнений автодуальности. В частности, теоретико-групповая основа инстантонных и монопольных решений до настоящего времени четко не установлена, как, впрочем, и вопрос об интегрируемости уравнений типа Янга на соответствующем классе произвольных функций. [c.271]

В период времени между 10" и 10" с после большого взрыва могли образоваться магнитные монополи, т. е. частицы с магнитным зарядом. 80 (5)-теория предсказывает для их массы значение (Мх/ х), где Мх — масса лептокварка (10 ГэВ/с ), а — постоянная тонкой структуры великого объединения ( х = 1/50). Это предсказываемое значение массы намного больше 10 ГэВ. Магнитные монополи являются устойчивыми решениями нелинейных уравнений поля Янга — Миллса после спонтанного нарушения симметрии. Они есть не что иное, как топологические структуры, появляющиеся при охлаждении Вселенной в момент спонтанного нарушения симметрии, которой обладало первичное взаимодействие. [c.73]

КХД), квантовополевая теория сильного вз-ствия кварков и глюонов, построенная по образу квант, электродинамики (КЭД) на основе цветовой калибровочной симметрии. В отличие от КЭД, фермионы в КХД имеют дополнит, степень свободы — квант, число, принимающее три значения и наз. щветом . Такими фермионами явл. кварки. Кварк каждого типа ( аромата — и, й, с, Ь) может находиться в трёх цветовых состояниях, связанных друг с другом калибровочными преобразованиями. Аналогом электрич. заряда (источника эл.-магн. поля) в КХД явл. цветовой заряд , к-рый порождает глюонное поле. Вз-ствие кварков осуществляется посредством обмена глюонными полями восьми цветовых разновидностей, играющими роль компенсирующих (калибровочных) Янга — Миллса полей. В отличие от эл.-магн. поля, эти поля, являясь цветными , обладают цветовым зарядом и поэтому сами порождают глюонные поля и взаимодействуют друг с другом. Вследствие этого ур-ния для глюонного поля (в отличие от Максвелла уравнений в вакууме) нелинейны. Квантами глюонных полей явл. глюоны — ч-цы со спином 1 и нулевой массой покоя. В кач-ве константы вз-ствия (константы связи) выступает цветовой заряд кварков и глюонов. [c.269]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...