Общий случай систем с одной степенью свободы

Оставляя пока в стороне другие примеры качественного рассмотрения систем с одной степенью свободы с помощью фазовой плоскости, познакомимся с весьма распространенным методом приближенного количественного расчета интересующих нас систем, а именно с методом последовательных приближений. Не занимаясь применением этого известного метода в общем виде, разберем тот же случай маятника. [c.25]

Все эти проблемы рассмотрены применительно к наиболее простому случаю системы с одной степенью свободы без внешней силы (так называемые автономные системы). То же относится и к разобранным в книге конкретным задачам и примерам. Эти вопросы изложены с большой полнотой но читатель не найдет в книге ни задач, связанных с воздействием внешней силы, ни задач, относящихся к системам с несколькими степенями свободы и к системам с распределенными параметрами. Между тем все эти проблемы несомненно важны и интересны. Однако если принять во внимание, как велик объем всего материала, относящегося к нелинейным колебаниям, с одной стороны, и основную цель книги — ввести читателя в круг общих идей и методов — с другой, то выбор авторов станет понятным. Автономные системы с одной степенью свободы — наиболее простые системы, и они в то же время являются теми элементами, которые лежат в известном смысле в основе всех более сложных систем. [c.13]

Стационарное движение, грубо говоря, есть то предельное движение, к которому стремится система. Говоря о стационарных движениях, мы понимаем под ними также и состояния покоя, т. е. рассматриваем состояния покоя как частный случай стационарного движения. Можно дать точное математическое определение стационарных движений, отождествив их с так называемыми рекуррентными движениями Биркгофа [34, 139, 96]. Для систем с одной степенью свободы рекуррентными движениями могут быть только состояния равновесия и периодические движения. Для более общих систем рекуррентными движениями могут быть более сложные движения, например квази-периодические. [c.29]

В гл. 2 были рассмотрены случайные процессы в линейных системах, которые являются частным случаем более общих систем — нелинейных. На рис. 3.1, а показана система с одной степенью свободы, у которой упругая характеристика пружины (рис. 3.1, б) является нелинейной функцией смещения х. Сопротивление fg (х) (трение между массой т и направляющей) также может нелинейно зависеть от скорости движения х. [c.81]

Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризованной системы (1.1) не приводится к диагональной форме, значительно сложнее. Трудность исследования состоит в том, что даже в линейном приближении переменные, соответствующие разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не удается свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, как это было в том случае, когда матрица линейной части системы (1.1) приводилась к диагональной форме. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от предыдущего случая и от всех исследованных в этой главе случаев устойчивости, линеаризованная система (1.1) неустойчива из-за наличия в общем решении слагаемых вида t sin oi. Учет же нелинейных членов в уравнениях движения может привести как к устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50]. [c.81]

Наиболее общим случаем среди тех, которыми мы ограничили наше рассмотрение, является нелинейная система, описываемая одним нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, или, что то же самое, двумя дифференциальными уравнениями первого порядка. Однако мы начнем изложение общей теории не с этого общего случая, а с более простого случая нелинейных систем первого порядка (систем с /а степени свободы), т. е. таких динамических моделей, движение которых описывается одним нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка [c.240]

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. Нелинейные консервативные системы представляют собой частный случай класса систем Ляпунова, и их исследование входит в состав общих методов, построенных для систем Ляпунова. Но случай консервативной системы с одной степенью свободы допускает наглядную и важную по своим практическим приложениям геометрическую интерпретацию, и поэтому независимо от общей теории ляпуновских систем предварительное рассмотрение этого частного случая имеет значение, во-первых, как элементарное введение в теорию нелинейных колебаний вообще, и во-вторых, как простой способ ознакомления с основами качественной теории нелинейных систем — с методом фазовой плоскости. [c.473]

Для решетчатых систем более общим случаем является флаттер с одной степенью свободы. Он возникает, когда аэродинамическое возбуждение преобладает над механическим демпфированием. Механическое демпфирование в лопаточных венцах обычно невелико, хотя его можно увеличить с помощью специальной заделки лопаток. В любом случае рассчитать механическое демпфирование довольно трудно. Консервативные расчетчики предпочитают его не учитывать и определяют границу флаттера по величине аэродинамического демпфирования если оно положительно, то система считается устойчивой, а если отрицательно — неустойчивой. [c.240]

Вполне естественно задаться вопросом, ограничивается ли это заключение только малыми сопротивлениями, так как на первый взгляд кажется, что оно справедливо и в общем случае. Соображения, достаточные, чтобы решить этот вопрос, могут быть обоснованы на частном случае. Рассмотрим систему, образованную поперечно колеблющейся натянутой струной, к которой в каких-нибудь двух точках подвешены два груза. Если массой самой струны можно пренебречь, то налицо две степени свободы и два периода колебания, соответствующие двум нормальным ею видам. Оба груза могут вообще совершать каждое из этих колебаний. Предположим теперь, что вводится некоторая сила сопротивления, задерживающая движение одного из грузов, и что эта сила постепенно возрастает Эффект этого, во-первых, тот, что оба вида колебаний затухают и что это происходит с возрастающей скоростью, однако впоследствии закон меняется. Действительно, если сопротивление становится бесконечно большим, то оно эквивалентно связи, удерживающей в покое тот груз, на который она действует. На другое колебание сопротивление тогда не влияет, и оно продолжается неопределенно долго. Таким образом, скорость затухания одного из нормальных колебаний уменьшилась до нуля, несмотря на непрерывное возрастание сил сопротивления Р. Этого случая, несомненно, достаточно для того, чтобы опровергнуть предположенную общую теорему. [c.161]

Общий случай систем с однэй степенью свободы. Рассмотрим отдельно случай систем, имеющих только одну степень свободы. Эти системы, прежде иa ывaRшиe я системами с полными связями, удовлетворяют следующим двум условиям а) перемещение каждой точки сис1емы может происходить только по совершенно определенной траектории [c.39]

Общее явление резонанса, несмотря на то, что его нельзя рассмотреть исчерпывающе на примере систем с одной степенью свободы, может быть сведено в основном к тем же самым общим принципам. Когда в какой-нибудь части системы возбуждается вынужденное колебание, то это влияет также и на все остальные ее части, в которых возбуждаются колебания того же самого периода, причем амплитуды этих колебаний завися г от свойств системы, рассматриваемой как целое. Нередко, однако, случается так, что интерес сосредоточивается на колебании какой-нибудь удаленной части системы, связь которой с остальными частями очень слаба. В подобном случае положение данной части (в предположении, что не превзойден некоторый предел для амплитуды) будет очень близко к положению системы, обладающей одной степенью свободы и находящейся под действием силы, которую можно рассматривать как заданную, независимо от собственного периода колебания. Колебание, таким образом, управляется законами, которые мы уже исследовали. В случае приблизительногд [c.89]

Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном и В. А. Якубовичем на любой конечномерный случай. Можно сохранить прежнюю форму записи, считая у вектором (одностолбцовой матрицей) в пространстве любого числа измерений, р t) — матрицей соответствующего порядка. Однако, как ни существенно обобщение на многомерный случай, для анализа колебательных систем в механике сплошных сред оно недостаточно. Например, исследование динамической устойчивости jrnpyroro тела, находящегося под действием параметрического и периодически изменяющегося во времени возмущения, требует перехода от конечномерного случая к бесконечномерному. Первые результаты в этом направлении были получены В. И. Дергузовым. Выяснилось, что основные результаты, полученные в конечномерном случае, переносятся и на бесконечномерный случай Переход к бесконечномерному случаю потребовал существенного видоизменения методики интересно отметить, что новая методика позволила углубить теорию и для систем с конечным числом степеней свободы При этом полезным оказался переход от уравнения (d) к белее общему операторному уравнению вида [c.133]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...