Случай одной степени свободы

Сумма кинетической и потенциальной энергии остается при движении постоянной. Эта фундаментальная теорема называется законом сохранения энергии . Мы получили скалярное уравнение, являющееся лишь одним из интегралов уравнений движения. Хотя его одного и недостаточно для полного решения задачи о движении системы (исключая случай одной степени свободы), это тем не менее один из наиболее фундаментальных и универсальных законов природы, который при соответствуюш,их модификациях выполняется не только в механических, но и во всех физических процессах. Постоянная Е называется постоянной энергии . [c.119]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Преимущества представления когерентных состояний становятся очевидны при работе с квантовомеханическими операторами. Как мы увидим, такие операторы могут быть представлены функциями комплексных переменных, которые отражают все квантовые свойства динамических переменных. В статистической механике особую важность приобретает то обстоятельство, что аналогичное представление может быть введено также и для статистических операторов. Для простоты в дальнейшем ограничимся случаем одной степени свободы, описываемой бозе-операторами Ь и. Обобщение на многочастичные бозе-системы оставим читателю в качестве упражнения. [c.145]

Итак, выражение (2.34) показывает в явном виде, что инкремент неустойчивости траекторий системы в фазовом пространстве возрастает в раз по сравнению со случаем одной степени свободы. На основании этого нам следует ожидать, что время расцепления корреляций фаз волн должно соответственно уменьшиться в N раз. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий коррелятор [c.134]

В дальнейшем исследовании ), относящемся к случаю одной степени свободы, мы начнем с предположения, что стационарное колебание существуем, и выясним, при каких условиях это возможно. [c.102]

Если число уравнений (г) меньше числа степеней свободы на единицу, ТО отношения ср Фд... полностью определены, и данный случай есть случай одной степени свободы, который был рассмотрен в 88. [c.142]

Доказательство а) => б). Основой доказательства является универсальность инварианта (26.1) — инвариантность для любой гамильтоновой системы. Использование этого факта при различных функциях Гамильтона H(t,q,p) постепенно уточняет подынтегральное выражение в (26.1) и в конце концов приводит к доказываемому равенству (26.2). Ограничимся реализацией этой идеи для случая одной степени свободы в (26.1) и (26.2) п=1. Пусть [c.137]

В гл. V мы дадим (для случая одной степени свободы) математическое определение понятий автоколебание , автоколебательная система . [c.188]

Для случая одной степени свободы, когда есть только одна обобщенная координата и один обобщенный импульс, условия квантования сводятся к одному равенству [c.378]

Особенно удобным с точки зрения наглядности является случай одной степени свободы, когда фазовых координат [c.34]

Рассмотрим простейший случай, изображенный на рис. 515. Если устройство таково, что возможны только вертикальные перемещения груза Q, и если масса пружины мала по сравнению с величиной массы груза Q, то систему можно рассматривать как имеющую одну степень свободы. Положение такой колебательной системы может быть определено одним параметром — вертикальным перемещением груза. [c.528]

Рассмотрим вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости. Уравнение движения для такого случая получим, если в дополнение к силе сопротивления 5 = ад на груз в вертикальном направлении (рис. 528) будет действовать некоторая периодическая сила Р sin pt. Обозначив [c.544]

Рассмотрим случай, когда на систему с одной степенью свободы действует вынуждающая сила, изменяющаяся по периодическому закону [c.302]

Рассмотрим отдельно случай равновесия консервативной системы, имеющей одну степень свободы. Пусть положение системы [c.387]

Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы. [c.394]

Рассмотрим случай, когда на систему, имеющую одну степень свободы (рис. 536), действует сила, изменяющаяся но гармоническому закону [c.468]

Для механизма с одной степенью свободы имеет место частный случай в форме [c.61]

Уравнение (2.3) представляет собою оператор, который по заданным в момент времени t величинам q, q позволяет найти эти же величины в момент времени t + At. Следовательно, состояние системы с одной степенью свободы определяется двумя величинами обобщенной координатой II обобщенной скоростью. Рассмотрим три логически возможных случая, когда динамика системы, описываемой уравнением (2.3), сводится к изучению решений некоторого дифференциального уравнения первого порядка. [c.23]

Не выполняя решения системы уравнений (101), можно сделать выводы о влиянии линейного сопротивления на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы. Как и для случая системы с одной степенью свободы, вынужденные колебания являются незатухающими гармоническими колебаниями и происходят с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий. При резонансе амплитуды вынужденных колебаний остаются постоянными в отличие от случая отсутствия сопротивления. [c.469]

Обобщая рассмотренное в 100 прямолинейное колебательное движение материальной точки при действии на нее постоянной по величине силы кулонова трения на случай колебания любой системы с одной степенью свободы, будем иметь уравнение движения в форме [c.518]

Уравнение (113) соответствует случаю физического маятника, для которого положение равновесия а = О неустойчиво, так как потенциальная энергия в нем имеет максимум. Таким образом, уничтожение одной степени свободы делает спящий волчок неустойчивым. [c.626]

Был рассмотрен наиболее простой случай (одно уравнение), соответствующий системе с одной степенью свободы или одночленному приближению при решении уравнений малых колебаний стержня с использованием принципа возможных перемещений. Для систем с несколькими степенями свободы выкладки становятся громоздкими. Более подробно решение систем линейных дифференциальных уравнений изложено в работах [6, 10, 14]. Дополнительные сведения о методах решения задач статистической динамики приведены в разделе, посвященном прикладным задачам. [c.148]

Мы ограничимся рассмотрением случая, когда колебания происходят в одной плоскости, т. е. изменяются только две координаты шарика, растянутого на четырех пружинах (рис. 405) плоскость, в которой происходят колебания шарика, совпадает с плоскостью рамки, в которой лежат оси всех четырех пружин. Из того, что нам уже известно о колебаниях систем с одной степенью свободы, мы сможем вывести ряд заключений о характере колебаний системы с двумя степенями свободы. [c.628]

В рассматриваемом случае, когда парциальные системы одинаковы, их парциальные частоты совпадают и по мере ослабления связи нормальные частоты сколь угодно приближаются друг к другу, а значит, биения могут быть сколь угодно медленными. С другой стороны, если амплитуды обоих нормальных колебаний одинаковы, то амплитуда колебаний каждой массы будет по очереди периодически падать до нуля независимо от того, насколько слаба связь между системами с одной степенью свободы. Следовательно, при сколь угодно слабой связи должна происходить полная перекачка энергии из одной системы в другую и обратно. Но так как при очень слабой связи период биений очень велик, а энергия полностью переходит из одной системы в другую за полпериода биений, то перекачка энергии будет происходить очень медленно. Если потери энергии в связанных системах велики, то колебания в них могут успеть полностью затухнуть за время меньшее, чем полпериода биений. Тогда биения наблюдаться не будут. Напомним, что все сказанное относится к случаю, когда обе парциальные системы одинаковы. Случай неодинаковых парциальных систем рассмотрен в следующем параграфе. [c.638]

К этому специальному случаю мы пришли, так выбрав координаты исходной системы, что колебания парциальных систем (определяемых поочередным приравниванием нулю этих координат) оказались тождественными нормальным колебаниям системы. Так выбранные координаты называются нормальными координатами. Введя эти нормальные координаты, мы определяем парциальные системы и находим парциальные, а значит, й нормальные частоты (поскольку те и другие совпадают между собой). Применяя нормальные координаты, Mbf как будто избавляемся от необ- ходимости рассматривать колебания в двух связанных системах с одной степенью свободы каждая, так как парциальные системы — это системы с одной степенью свободы каждая, не связанные между собой. Однако в действительности это не так. [c.640]

Резонаторы Гельмгольца стоят в таком же отношении к трубам, как механическая колебательная система с одной степенью свободы (груз на пружине) к однородной сплошной системе (стержню). Как уже указывалось ( 156), груз на пружине можно рассматривать как предельный случай неоднородной Рис. " 468. сплошной системы. Точно так же и резонатор Гельмгольца можно рассматривать как предельный случай трубы переменного сечения. Обертоны такой сплошной системы вследствие ее неоднородности не гармоничны и лежат далеко от основного тона. Основной же тон резонатора, как и в случае груза на пружине, можно определить, рассматривая его как систему, в которой масса и упругость сосредоточены в разных местах. [c.736]

Дифференциальное уравнение движения колеблющегося груза для случая свободных колебаний системы с одной степенью свободы перемещения может быть выражено [c.315]

Оставляя пока в стороне другие примеры качественного рассмотрения систем с одной степенью свободы с помощью фазовой плоскости, познакомимся с весьма распространенным методом приближенного количественного расчета интересующих нас систем, а именно с методом последовательных приближений. Не занимаясь применением этого известного метода в общем виде, разберем тот же случай маятника. [c.25]

Обратимся к особо важному случаю гармонического воздействия и из всего многообразия нелинейных диссипативных систем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейные системы, в которых вынужденные колебания при таком воздействии также близки к гармоническим. Требование малости диссипации не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в основном системы с отчетливо выраженными колебательными свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении ограничимся случаями небольшого затухания (малой диссипации). [c.112]

Исследуя только системы с одной степенью свободы, мы ограничим свою задачу рассмотрением лишь периодических изменений или, как часто говорят, случаем периодической модуляции параметра. Для выяснения специфических особенностей процессов, вызываемых периодическим параметрическим воздействием, рассмотрим простейшую модель. [c.129]

Выше уже указывалось, что характер протекания резонансных явлений в колебательных системах с одной степенью свободы существенно меняется в зависимости от того, является ли изучаемая система линейной или обладает определенными нелинейными свойствами, а также от характера рассматриваемого воздействия. Даже ограничиваясь случаем гармонической формы воздействия, мы встречаемся с весьма различными особенностями резонансных явлений при прямом (силовом) или параметрическом воздействиях. В предыдущих параграфах рассматривались процессы, протекающие при простейших видах воздействия в линейных и нелинейных системах. [c.139]

Метод, которому надо следовать при рассмотрении вынужденных колебаний с трением, понятен на основании изложенного в 96. Если коэфициенты трения малы, то изменение предыдущих результатов незначительно, за исключением случая точного или приблизительного совпадения собственной и наложенной частот. Общий характер результатов достаточно иллюстрируется случаем одной степени свободы ( Динамика", 95). Теория полностью развита в Theory of Sound Рэлея. [c.245]

Аналогия между движением ансамбля систем в фазовом пространстве или стационарным потоком в несжимаемой жидкости и графическим изображением случая одной степени свободы, апеллирующим к нашей геометрической интуиции,, достаточна для того, чтобы показать, каким образом сохранение фазовой плотности, требующее сохранения среднего значения показате.тгя вероятности фазы, может оказаться совместимым с приблия ением к предельным условиям, в которых [c.148]

Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном и В. А. Якубовичем на любой конечномерный случай. Можно сохранить прежнюю форму записи, считая у вектором (одностолбцовой матрицей) в пространстве любого числа измерений, р t) — матрицей соответствующего порядка. Однако, как ни существенно обобщение на многомерный случай, для анализа колебательных систем в механике сплошных сред оно недостаточно. Например, исследование динамической устойчивости jrnpyroro тела, находящегося под действием параметрического и периодически изменяющегося во времени возмущения, требует перехода от конечномерного случая к бесконечномерному. Первые результаты в этом направлении были получены В. И. Дергузовым. Выяснилось, что основные результаты, полученные в конечномерном случае, переносятся и на бесконечномерный случай Переход к бесконечномерному случаю потребовал существенного видоизменения методики интересно отметить, что новая методика позволила углубить теорию и для систем с конечным числом степеней свободы При этом полезным оказался переход от уравнения (d) к белее общему операторному уравнению вида [c.133]

Отсюда следует, что описанный в предыдущем параграфе алгоритм исследования устойчивости и бифуркаций неприменим, так как отображение Пуанкаре в окрестности неподвижной точки недиффе-эенцируемо. Это отображение подробно изучалось в работах [67, 68 (для случая одной степени свободы) и [57] (для случая нескольких степеней свободы). Nordmark показал [67], что в окрестности неподвижной точки можно ввести локальные координаты %, ф таким образом, что отображение примет вид [c.247]

ИЛИ эффективный потенциал, показаны на рис. 1.5, а и (г) = = — к г при 2<р<0 задача Кеплера соответствует Р = 1. Указаны также три значения полной энергии системы E и соответствующие финитному, сепаратрисному и инфинитному движениям. Фазовые кривые представлены на рис. 1.5, б. Движение здесь аналогично случаю одной степени свободы (рис. 1.4), за исключением того, что сепаратриса теперь замыкается на бесконечности. [c.49]

Материальные системы, колебаниями которых интересуется акустика, обычно весьма сложны и в состоянии совершать колебания весьма разнообразного вида, из которых несколько или даже все могут суш,ествовать в какой-нибудь момент времени вместе. Действительно, для некоторых из наиболее важных музыкальных инструментов, как, например, для струн и органных труб, число независимых видов колебаний теоретически безгранично, и рассмотрение нескольких из них является необходимым для самых практических вопросов, относяш,ихся к природе консонирующих аккордов. Часто представляются случаи, в которых величайшую важность имеет один какой-либо вид колебаний, но если бы даже это было и не так, то все же рассмотрение общей проблемы целесообразнее начать с простейшего случая— со случая одной степени свободы. При этом нет нужды предполагать, что рассматриваемый вид колебаний является единственно возможным, так как пока колебания других видов отсутствуют, возможность их при других условиях не имеет значения. [c.64]

Займемся теперь исследованием тех следствий, которые можно извлечь для операторов координаты ц и импульса р из правил. кватования. Начнем с рассмотрения простейшего случая одной степени свободы, когда эти правила задаются перестановочным соотношением (52), и будем при этом считать, что на [c.378]

Рассмотрим уравнение (15.11) в приложении к колебаниям вала для простейшего случая (рис. 15.8). Здесь па валу, вращающемся с угловой скоростью ojg, закреплен диск массой т с эксцеитриснте-том е. Собственную массу вала считаем малой по сравнению с т и п расчет не принимаем (упругая система а одной степенью свободы). На вал действует центробежная сила [c.268]

Острота амплитудно-частотной характеристики системы с одной степенью свободы при действии силы трения, пропорциональной скорости, характеризуется половинной шириной амплитудно-частотной характеристики. Половинная ширина амплитудно-частотной характеристики измеряется разностью глеж-ду двумя частотами, для которых амплитуда колебаний равна половине амплитуды, сответствующей резонансу. Выразить половинную ширину амплитудно-частотной характеристики А через коэффициент расстройки частот г = и через приведенный коэффициент затухания б = njk. Дать приближенную фор.мулу для случая б 4 1 (м — частота вынуждающей силы, k — частот собственных колебаний при резонансе 2=1). [c.412]

Прямолинейные колебательные движения материальной точки иод действием линейной восстанавливающей силы, силы сопротивления, проно1)циональной первой степени скорости, и постоянной силы трения были рассмотрены в гл. XXI. Полученные там результаты обобщаются в настоящей главе на случай системы материальных точек, подчиненной стационарным связям и имеющей одну степень свободы. Вместе с тем дается представление о колебаниях, развивающихся под действием нелинейных восстанавливающих сил и силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. Содержание этой и двух следующих глав курса можно рассматривать как введение в теорию колебаний, представляющую собой одну из наиболее важных областей приложений теоретической механики к вопросам техники. [c.479]

Решен и е. Данная система имеет одну степень свободы. Положение ее определяется утлом 9. Изображаем активнук силу Р и мо. мент М. Дадим системе возможное перемещение, при котором угол ш из меняется на Зу. Учитывая, что при этом перемещение точки.О,в которой приложена сила Р, равно перемещению 5гд точки В, можно уравнение ( ), выражающее условие равновесия системы, записать для данного случа.я в виде [c.769]

Следовательно, при существенно различных парциальных частотах начальная энергия, сообше1П1ая одной из систем с одной степенью свободы, почти целиком остается в этой системе и только очень малая доля ее перекачивается во вторую систему и обратно бисЕШя будут очень неглубокими. Л это значит, что только в тон системе, которой сообщена начальная энергия, возникнут колебания и частота этих колебаний будет близка к парциальной частоте этой системы. (Этим случай двух существенно различных парциальных частот в корне отличается от случая равных парциальных частот, когда даже при очень слабой связи энергия полностью перекачивается из одной системы в другую и обратно.) Рис. 419. [c.641]

Начнем со случая, когда в системе, обладающей линейными реактивными элементами, трение описывается идеализированным законом сухого трения. В этом случае, как указывалось выще, функция диссипации имеет вид Р у)—ау й> 0 приу>0 и а< 0 при /-<0. Зависимость силы трения от скорости была показана на рис. 2.1. Для простейщей системы с одной степенью свободы при линейности инерционных и упругих сил мы можем записать уравнение, описывающее движение в подобной системе, в виде [c.47]

Познакомимся с возможностью приближенного графического построения фазовых траекторий диссипативной системы с одной степенью свободы при помощи приема, развитого Льенаром. Этот метод предложен для случая, когда нелинейные свойства системы определяются исключительно законом зависимости силы трения (или сопротивления) от скорости (или силы тока), причем сама сила не зависит от величины независимой переменной (координата или заряд). В таком случае уравнение движения имеет вид [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...