Тензорные поля. Дифференцирование

Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 35 [c.35]

Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров. Тензорное поле ставит в соответствие каждой точке пространства [c.35]

Тензорные поля. Дифференцирование тензоров [c.38]

Дифференцирование тензорных полей и интегральные теоремы [c.320]

Помимо алгебраических действий над тензорами поля производятся еще операции тензорного анализа — дифференцирование я интегрирование. [c.403]

Дифференцирование векторов и тензоров. При отыскании производных от векторных и тензорных полей в криволинейных координатах приходится учитывать то обстоятельство, что координатные векторы являются переменными величинами. Различие координатных систем в точках а и а + da приводит к тому, [c.211]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Дифференциальные операции (П1.78)...(П1.84), приведенные вьппе, записаны в предположении, что все аргументы дсу тензорных полей являются независимыми величинами. В противном случае необходимо применять правила дифференцирования сложных функций. Так, полная производная по зависимым друг от друга аргументам имеет вид [c.254]

При достаточной гладкости поверхностного тензорного поля операцию ко-вариантного дифференцирования можно повторить несколько раз. Так возникают повторные ковариантные производные, причем их значения зависят от порядка, в котором они вычисляются. Например, для поверхностного векторного поля и = имеем (см. [72, 203]) [c.21]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Однако если мы попытаемся таким способом из векторного поля a образовать тензорное поле ранга 2 дифференцированием формул преобразования [c.238]

Операцию ковариантного дифференцирования можно применить также и к тензорным полям более высокого ранга. Рассмотрим, например, тензорное поле ранга 2 с контравариантными компонентами Поскольку каждый индекс отдельно преобразуется по тому же правилу, что и вектор, величины [c.239]

Общие свойства криволинейных систем координат, метрика и геометрические свойства рассматриваются в разд. 1. Некоторые свойства векторных и тензорных полей, деривационные формулы, дифференцирование тензорных величин, связь физических и тензорных величин обсуждаются в разд. 2—3. Общие свойства теории поверхностей рассматриваются в разд. 4. Различные способы построения поверхности обтекаемого тела — алгебраические, дифференциальные и методы теории конформных отображений — изучаются в разд. 5. [c.5]

Изоморфизм можно также рассматривать как процесс или операцию переноса поля из одного многообразия в другое. Следуя только что приведенному утверждению, можно сказать, что транспортная операция — > коммутирует с различными тензорными операциями такими, как сложение, свертка, ковариантное дифференцирование, при условии что они относятся к одной и той же конфигурации t системы. Операция — некоммутативна, например, с операциями d/dt и. .. dt. [c.395]

Ковариантное дифференцирование. Если некоторое соотношение, содержащее тензорные величины, справедливо в какой-нибудь одной координатной карте, то оно справедливо во всех координатных картах. Рассмотрим производную векторного поля = дА /д( . Поскольку А д) = дд /дд° )А (д), то [c.131]

Действие ковариантного дифференцирования можно производить лишь над тензорными величинами, образующими поле. В связи с этим компоненты Хп следует выразить через множители Лагранжа по формулам (2.67). Вводя систему координат, в которой поверхность тела будет координатной, т. е. пренебрегая, в общем случае, ее изменением во времени, можно значительно упростить указанную подстановку. [c.48]

При вычислении градиента тензорного поля на поверхвоств наряду с формулами дифференцирования вектора нормали (1.8) нужны выражения производных векторов базиса по координатам. Они имеют вид [c.51]

Тем же способом из тензорного поля ранга п всегда можно дифференцированием образовать тензорное поле ранга д + 1, а последующей сверткой — тензорное поле ранга а — 1. Как и в только что рассмотренных частных случаях, этот факт является следствием формул преобразования для тензоров, уравнения (4.176) и условий ортогональности (4.11) и (4.14). Следовательно, из тензорного поля второго ранга можно построить тензорное поле dtnJdxi ранга 3, а последующей сверткой тензорное поле ранга 1, т. е. векторное поле [c.99]

Как и в случае плоского псевдоевклидова пространства СТО, мы говорим о тензорном (псевдотензорном) поле ранга п в общем римановом пространстве, если с каждой точкой в этом пространстве связан тензор (псевдотензор) ранга п. Как и в 4.16, из такого поля дифференцированием можно получить новое тензорное поле ранга (п + 1). Из тензорного поля нулевого ранга, т. е. из скалярного поля [c.238]

Тензор Rihim называется тензором кривизны Римана — Кристоффеля. Равенства (9.226) выражают правило коммутации для ковариантного дифференцирования векторного поля. Соответствующее правило ковариантного дифференцирования тензорного поля tik имеет вид [c.245]

В приводимых пиже формулс1х следует различать операторы др ъ д1 первый обозначает дифференцирование по пространственно-временным координатам (/3 = 1,2,3), второй —но Эйлеровой координате x ( = 1,2,3). Греческий индекс всегда ассоциируется с пространственно-временными координатами и от-счетным представлением векторных и тензорных полей, латинский — с Эйлеровыми координатами и актуальным (пространственным) представлением. [c.146]

Через др здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного дифференцирования но пространственно-временным координатам Х . Мы будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамильтона V/) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций без труда представляются в прямой пнварпантной записи, что позволяет сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований иространствепно-времеппых координат Х . Прямая тензорная запись уравнений ноля часто оказывается неудобной, так как она скрывает природу тензоров при ностроении канонических тензоров теории поля заимствуются элементы как нространства-времепп (греческий индекс), так и самих физических нолей (латинский индекс). [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...