Разложение Чепмена — Энскога

Разложение Чепмена — Энскога 121 [c.121]

Разложение Чепмена — Энскога [c.121]

Разложение Чепмена — Энскога 123 [c.123]

Основной результат разложения Чепмена — Энскога состоит в том, что М-е приближение для макроскопических уравнений можно записать в виде [c.124]

Разложение Чепмена — Энскога 125 [c.125]

Легко проверить, что формулы (3.17) справедливы и здесь. Таким образом, первые два члена п 1) разложения Чепмена — Энскога дают макроскопическую модель типа Навье — Стокса с коэффициентами переноса, зависящими только от температуры и молекулярных констант. Напомним, что вывод о независимости вязкости от плотности был одним из первых достижений кинетиче- [c.126]

Разложение Чепмена — Энскога 127 [c.127]

Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вводить решения, которые просто не существуют, не является странным [c.130]

Возможный способ избежать трудностей высших приближений, сохранив преимущества разложения Чепмена — Энскога, может базироваться на том, что режимы с д гТ) признаются важными, а режимы с г Т) i (п 2) рассматри- [c.131]

Главный член /с дается разложением Чепмена — Энскога (или любым разложением, описываюш им вязкий слой), f п удовлетворяет уравнению [c.137]

Мы видели, что и линеаризация уравнения Больцмана, и разложение Чепмена — Энскога, и аналогичные ему разложения получаются в результате применения к уравнению БоЛьцмана соответствующих методов возмущений. Существенное различие двух методов вызвано тем, что параметры разложения совершенно различны малое отклонение начальных и граничных данных от максвелловского распределения в случае линеаризации и малое отношение средней длины свободного пробега или среднего времени свободного пробега к другим характерным длинам или временам в случае разложения Чепмена — Энскога. Ясно, что если [c.167]

Ясно, что из доказанной сходимости разложения со в степенной ряд по к для достаточно малых значений к следует сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного класса зависимостей от пространственных переменных все производные газодинамических переменных должны быть равномерно ограничены по порядку производных, а это означает, что они не только аналитические, но также и целые функции. [c.170]

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА 269 [c.269]

Как было отмечено выше, решения уравнений сохранения континуальной теории и решения уравнения Больцмана являются, вообще говоря, неаналитическими по некоторому параметру 8, описывающему отклонение от уравнений невязкой жидкости. Таким параметром могут быть коэффициенты вязкости и теплопроводности в теории сплошной среды и средняя длина свободного пробега в кинетической теории. В связи с этим разложения в ряды по степеням 8 не дают равномерно пригодных решений для задач с начальными и граничными условиями. Однако некоторые трудности можно преодолеть, если вместо разложения решений использовать разложение самих уравнений, как это делается в так называемом разложении Чепмена — Энскога. Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножив уравнения (2.22) на 8 , просуммировав от 1 до оо и сложив результат с (2.21), мы получим [c.269]

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА 271 [c.271]

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА 273 [c.273]

Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вносить решения, которые просто не существуют, не является странным. Действительно в методе Чепмена — Энскога оператор 5° (рР) (существование которого доказано, по крайней мере асимптотически при 8-> О с помощью разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то что о свойствах 5 (рР) ничего не известно. Такая процедура не [c.275]

Разложение Гильберта соответствует Л/= О, а разложение Чепмена — Энскога — N = оо только что описанный частный пример соответствует 1. [c.277]

Все эти разложения, будучи оборванными, удовлетворяют уравнению Больцмана с ошибкой (х, е), которая формально имеет порядок Для разложения Гильберта Rn не зависит от 8, но растет алгебраически как в задачах, зависящих от времени (из-за вековых членов). Следовательно, разложение Гильберта является асимптотическим только на ограниченном интервале времени о < / < t. Оценок остаточных членов разложения Чепмена — Энскога в приближениях, следующих за приближением Навье — Стокса, конечно, не существует. Методика, определяемая соотношениями (4.6) — (4.8), дает остаточный член, который убывает при больших t для любого п> поэтому соответствующее разложение превосходит ряд Гильберта по области применимости, а ряд Чепмена — Энскога — по отсутствию лишних решений и приводит к известной системе дифференциальных уравнений в частных производных. [c.278]

Закончим этот раздел замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса сходится ли разложение Чепмена — Энскога В общем случае этот вопрос весьма труден, но в случае линеаризованного уравнения Больцмана все же можно получить некоторые результаты. В связи с этим отметим, что как линеаризация уравнения Больцмана, так и разложение Чепмена — Энскога являются результатом соответствующих методов теории возмущений, примененных к уравнению Больцмана. [c.278]

Эти два метода в своей основе различны, поскольку параметры разложения совершенно разные отклонение начальных и граничных распределений от однородного распределения в случае линеаризации и отношение средней длины или среднего времени свободного пробега к другим характерным длинам или временам в случае разложения Чепмена — Энскога. Таким образом, локальные градиенты в последнем случае и глобальные разности в первом должны быть малы. Ясно, что, если реализуются оба обстоятельства, то метод Чепмена — Энскога можно [c.278]

Для исследования менее тривиальных случаев рассмотрим решения с разделенными переменными, которые обсуждались в разд. 8 гл. IV. Если такое решение записано в форме (IV. 8.1), то ясно, что ряд Чепмена — Энскога будет сходиться или нет в зависимости от того, сходится или нет разложение со = со (к) (о)(0)= 0) в ряд по степеням к . Согласно результатам разд. 8 гл. IV, можно утверждать, что сходимость имеет место для твердых сфер, если к достаточно мал, и предполагать, что сходимость отсутствует для потенциалов с обрезанием по углу. Можно также предполагать, что для твердых сфер радиус сходимости по к не бесконечен. Сходимость для к < во, очевидно, означает сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного типа зависимости от координат все производные от параметров течения должны быть равномерно ограничены по порядку величины, а это значит, что они являются не только аналитическими, но также и целыми функциями. [c.279]

Главный член f определяется разложением Чепмена — Энскога (или любым разложением, способным описывать вязкий слой), а н удовлетворяет уравнению [c.284]

Решение кинетического уравнения чаш е всего ищется путем разложения функции распределения в ряд по ортогональным полиномам, составленным из косинусов угла между направлением скорости электрона и направлением электрического поля [1]. Обычно ограничиваются первыми двумя членами разложения — симметричной и антисимметричной частью. Очевидно, что такой метод решения применим лишь к системам, которые в первом приближении описываются симметричной функцией, асимметричная часть должна быть малой поправкой. Аналогично в методе Чепмена и Энскога [2] нулевым приближением является максвелловское распределение частиц по скоростям, влияние полей и градиентов учитывается лишь в первом приближении. В связи с этим могут представить определенный теоретический интерес попытки найти такие решения кинетического уравнения, хотя бы в рамках специальных моделей, которые точны в том смысле, что не представляют собой части ряда последовательных приближений. [c.179]

Разложение Чепмена — Энскога 143 [c.143]

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА [c.143]

Разложение Чепмена — Энскога 145 [c.145]

В мгтоде Эпскога — Чспмзна параметр входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом. Решение, получаемое в том же приближении (при одинаковом числе членов разложения) по методу Энскога — Чепмена, может оказаться более точным, чем в методе Гильберта, [c.159]

О, а разложение Чепмена — Энскога — значению = оо предлоя енный выше частный способ соответствует значению ТУ" = 1. Этот частный выбор диктуется имеющейся на макроскопическом уровне информацией он такя е подсказывается предварительными исследованиями кинетических граничных слоев (см. следующий параграф). Действительно, эти исследования, по-видимому, доказывают, что выбор ТУ 1 является единственным, для которого процедура сращивания дает число граничных условий, необходимое и достаточное для решения математически правильно поставленных задач. [c.132]

Закончим этот параграф замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса сходятся ли разложения Чепмена— Энскога и Гильберта В общем это трудный вопрос, хотя для частных случаев сходимость можно доказать или опровергнуть в рамках линеари- [c.132]

Как отмечалось выше, теория Гильберта неполна, а чтобы сделать ее полной, необходимо решить три задачи связи о начальном, пограничном и ударном слоях. Те же проблемы возникают и в случае разложения Чепмена — Энскога, а такя е и в случае модифицированного разложения, предлояленного в 4. Мы рассмотрим сначала задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [6]. Полная теория доляша заниматься сращиванием упомянутых разлоя ений с произвольными начальными данными, однако такая теория включает в себя решение нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений д практически мало полезна. Действительно, принимая во внимание характер гильбертова и аналогичных ему разлоя ений, мы моя ем ограничиться выбором начального условия того же типа, что и само решение, т. е. условия, сводящегося при 8 О к максвелловской функции. Итак, начальные данные произвольны в рамках условия, согласно которому их МОЖНО записать в виде м + е/дг, где — максвелловская функция. [c.133]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Уравнение (4.4) имеет общее решение / = onst, удовлетворяющее также уравнению (4.2). Общее решение уравнения (4.5), f = А -j- В ехр(2х/е), удовлетворяет уравнению (4.2) только при В = 0. Это означает, что разложение Чепмена — Энскога внесло посторонние решения. Заметим, что помимо f = onst уравнение (4.2) имеет и другие решения, а именно все периодические функции с периодом е. Однако эти функции изменяются настолько быстро (при малых е), что их нельзя получить разложением в ряд по степеням е. Разложение типа Гильберта для уравнения (4.2) (/ разлагается по степеням г вместе с Де) также дает / = onst, но без дополнительных решений (любого порядка). [c.276]

В разд. 2 уже было указано, что теория Гильберта неполна. Чтобысделать ее полной, нужно решить три задачи связи относительно начальных, граничных и ударных слоев. Те же задачи связи возникают и при разложении Чепмена — Энскога, а также и при модифицированном разложении, предложенном в разд. 4. [c.279]

Здесь V, Г, 5v/5x, дТ/дх — скорость, температура и их производные у стенки. Постоянные А и С появляются из-за переразло-жения решения Чепмена — Энскога нулевого порядка около максвеллиана стенки. Остаток f (i) содержит члены первого порядка разложения Чепмена — Энскога, вычисленные на стенке. [c.285]

Даже для многоатомных газов задача построения разложения Чепмена — Энскога почти полностью сводится к длинным, но сравнительно простым вычислениям. Подробности и ссылки на литературу можно найти в книге Ферцигера и Капера [10]. [c.293]

Для того чтобы найти поведение к на бесконечности, нужно знать асимптотику функции Грина. Согласно результатам разд. 11 гл. IV, решение на бесконечности всегда определяется оборванным разложением Чепмена — Энскога со скоростью, давлением и температурой, удовлетворяющими стационарным линеаризованным уравнениям Навье — Стокса. В таком случае нетрудно выяснить, выполняется ли условие (13.1) для решений, стремящихся на бесконечности к линейной комбинации инвариантов столкновений (линеаризованный вариант стремления к максвеллиану). [c.378]

Метод, предложенный Фрименом, фактически сводится к асимптотическому разложению по степеням числа Кнудсена для источника. Хотя на больших расстояниях от источника обычное разложение (Чепмена — Энскога) теряет силу, в этой внешней области можно изменить масштаб уравнения Больцмана и получить моментные уравнения, которые образуют следующую замкнутую систему [c.424]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...