Чепмена — Энскога разложени

Чепмена — Энскога разложение [c.492]

Решение кинетического уравнения чаш е всего ищется путем разложения функции распределения в ряд по ортогональным полиномам, составленным из косинусов угла между направлением скорости электрона и направлением электрического поля [1]. Обычно ограничиваются первыми двумя членами разложения — симметричной и антисимметричной частью. Очевидно, что такой метод решения применим лишь к системам, которые в первом приближении описываются симметричной функцией, асимметричная часть должна быть малой поправкой. Аналогично в методе Чепмена и Энскога [2] нулевым приближением является максвелловское распределение частиц по скоростям, влияние полей и градиентов учитывается лишь в первом приближении. В связи с этим могут представить определенный теоретический интерес попытки найти такие решения кинетического уравнения, хотя бы в рамках специальных моделей, которые точны в том смысле, что не представляют собой части ряда последовательных приближений. [c.179]

Кинетическое уравнение (3.1.72) может служить основой для построения групповых разложений коэффициентов переноса с помощью метода Чепмена-Энскога [78] [c.179]

Процедура перехода от разложения Гильберта к разложению Энскога — Чепмена, данная в начале этого параграфа, несколько Отличалась от только что изложенной. Там использовались решения уравнений (7.6), из которых исключались производные по времени с помощью условий совместности (7.13) и полагалось затем Г —О при > О, что было законно, так как рассмотрение велось в некоторый выбранный момент времени t—0. Легко проверить, что при этом решения уравнения (7.6) тождественны с решениями /( ) [c.158]

Разложение Чепмена — Энскога 121 [c.121]

Разложение Чепмена — Энскога [c.121]

Идея метода Чепмена — Энскога заключается в разложении оператора 8 в случае, когда величины рР не разложены. При этом предполагается, что хотя зависимость рР от 8, вообще говоря, неаналитическая, но оператор 8 аналитичен по 8 (или по крайней мере имеет асимптотическое разложение по степеням 8). Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, в уравнение Навье — Стокса вязкость и теплопроводность входят аналитически (именно линейно), а средних решений есть, в общем случае, такие, которые нельзя разложить в ряды по этим параметрам. Чтобы формализовать эту идею в алгоритм, заметим, что уравнения (3.1) можно записать в виде [c.122]

Разложение Чепмена — Энскога 123 [c.123]

Основной результат разложения Чепмена — Энскога состоит в том, что М-е приближение для макроскопических уравнений можно записать в виде [c.124]

Разложение Чепмена — Энскога 125 [c.125]

Легко проверить, что формулы (3.17) справедливы и здесь. Таким образом, первые два члена п 1) разложения Чепмена — Энскога дают макроскопическую модель типа Навье — Стокса с коэффициентами переноса, зависящими только от температуры и молекулярных констант. Напомним, что вывод о независимости вязкости от плотности был одним из первых достижений кинетиче- [c.126]

Разложение Чепмена — Энскога 127 [c.127]

Преимущества и недостатки разложений Гильберта и Чепмена — Энскога [c.128]

В методе Чепмена — Энскога делается попытка преодолеть одну из многочисленных неоднородностей разложения Гильберта. В качестве исходной здесь используется макроскопическая информация о том, что, кроме кинетических слоев (порядка е), в окрестности границ суш ествуют и вязкие слои (порядка 8 /2), и дается единое описание как вязких слоев, так и нормальных областей. В то же время этот метод ликвидирует неоднородность финального слоя , так как в нем учитываются вклады различных порядков по 8 в производные по времени от пространственных производных. На самом деле факты существования вязких слоев и финального слоя взаимосвязаны, и в теории Чепмена — Энскога проста принимается во внимание существование и практическая важность режимов с, (еЛ 1 (где Т ж д. — характерные время и длина Т можно заменить другой характерной длиной, отличной от д). [c.130]

Тот факт, что разложение Чепмена — Энскога может вводить решения, которые просто не существуют, не является странным [c.130]

В методе Чепмена — Энскога оператор (рР) (существование которого доказано по крайней мере в асимптотическом смысле для 8 О при помощи разложения Гильберта) разлагается в ряд по дифференциальным операторам, несмотря на то, что о свойствах (рР) ничего не известно. Очевидно, что такой метод может вводить посторонние решения. Проиллюстрируем это на примере оператора Agi [c.131]

Возможный способ избежать трудностей высших приближений, сохранив преимущества разложения Чепмена — Энскога, может базироваться на том, что режимы с д гТ) признаются важными, а режимы с г Т) i (п 2) рассматри- [c.131]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

Ситуация иная в случае пограничных слоев. Мы уже знаем, что разложение Гильберта полностью ие замечает не только кинетические пограничные слои, но также и вязкие пограничные слои последние выявляются при помощи метода Чепмена — Энскога и метода, кратко описанного в 4. В то же время кинетические слои порядка 8 опускаются всеми описанными до-сих пор разложениями по степеням е чтобы восстановить их, мы должны применить растянутую переменную X = х1 г, аналогичную переменной т, использованной выше для начального слоя. [c.136]

Главный член /с дается разложением Чепмена — Энскога (или любым разложением, описываюш им вязкий слой), f п удовлетворяет уравнению [c.137]

Частными случаями линеаризованного уравнения Больцмана являются уравнения, встречающиеся при изучении проблем сопряжения начальных и граничных условий с разложениями Гильберта и Чепмена — Энскога следовательно, при решении уравнения (1.7) в качестве побочного результата будут изучены кнудсеновские слои, которые обсуждались в гл. 5. [c.143]

Мы видели, что и линеаризация уравнения Больцмана, и разложение Чепмена — Энскога, и аналогичные ему разложения получаются в результате применения к уравнению БоЛьцмана соответствующих методов возмущений. Существенное различие двух методов вызвано тем, что параметры разложения совершенно различны малое отклонение начальных и граничных данных от максвелловского распределения в случае линеаризации и малое отношение средней длины свободного пробега или среднего времени свободного пробега к другим характерным длинам или временам в случае разложения Чепмена — Энскога. Ясно, что если [c.167]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Ясно, что из доказанной сходимости разложения со в степенной ряд по к для достаточно малых значений к следует сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного класса зависимостей от пространственных переменных все производные газодинамических переменных должны быть равномерно ограничены по порядку производных, а это означает, что они не только аналитические, но также и целые функции. [c.170]

В предыдущих главах были рассмотрены некоторые методы решения уравнения Больцмана, основанные на его линеаризации и разложениях по малому параметру, разложениях типа Гильберта и Чепмена — Энскога. Процедура линеаризации обычно применялась вместе с использованием кинетических модельных уравнений. Однако можно показать, что модельные уравнения способны аппроксимировать не только линеаризованное уравнение Больцмана, ыо также и его решения (гл. 6) следовательно, метод гл. 7 можно считать точным до тех пор, пока использование линеаризованного уравнения Больцмана оправдано. [c.219]

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА 269 [c.269]

Как было отмечено выше, решения уравнений сохранения континуальной теории и решения уравнения Больцмана являются, вообще говоря, неаналитическими по некоторому параметру 8, описывающему отклонение от уравнений невязкой жидкости. Таким параметром могут быть коэффициенты вязкости и теплопроводности в теории сплошной среды и средняя длина свободного пробега в кинетической теории. В связи с этим разложения в ряды по степеням 8 не дают равномерно пригодных решений для задач с начальными и граничными условиями. Однако некоторые трудности можно преодолеть, если вместо разложения решений использовать разложение самих уравнений, как это делается в так называемом разложении Чепмена — Энскога. Чтобы понять это утверждение, заметим, что, умножив уравнения (2.22) на 8 , просуммировав от 1 до оо и сложив результат с (2.21), мы получим [c.269]

РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА 271 [c.271]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

В мгтоде Эпскога — Чспмзна параметр входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом. Решение, получаемое в том же приближении (при одинаковом числе членов разложения) по методу Энскога — Чепмена, может оказаться более точным, чем в методе Гильберта, [c.159]

При а—>оо функция распределения должна стремиться к распределению Энскога—Чепмена (2.47). Аппроксимация (2.49) позволяет учесть лишь первый эйле-ровский член этого разложения. Для того чтобы при а—>оо функция распределения переходила в навье-стоксовскую, необходима четырехмоментная аппроксимация [c.267]

В главе III (см. 3.6—3.8) показано, что разложение Гильберта— Энскога — Чепмена во внутренних точках течения дает решение, асимптотически сходящееся к решению уравнения Больцмана при числах Кнудсена, стремящихся к нулю. Однако при любом сколь угодно малом числе Кнудсена вблиаи границ имеется область, в которой Этот ряд не представляет решение уравнения Больцмана. Как мы видели в R.6—3.8 (и тто [c.317]

Возможный путь преодоления указанных трудностей открывает метод внутренних и внешних разложений, хорошо известный из континуальной теории он будет рассмотрен позже ( 5).. В настоящем параграфе мы обратимся к ранним широко известным попыткам Чепмена [3] и Энскога [4]. Их метод основан на правдоподобной аргументации, которая состоит в следующем. Решения как континуальных уравнений сохранения, так и уравнения Больцмана, вообще говоря, неаналитичны по соответствующему параметру 8 и, следовательно, разложения в ряды по степеням а [c.121]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

О, а разложение Чепмена — Энскога — значению = оо предлоя енный выше частный способ соответствует значению ТУ" = 1. Этот частный выбор диктуется имеющейся на макроскопическом уровне информацией он такя е подсказывается предварительными исследованиями кинетических граничных слоев (см. следующий параграф). Действительно, эти исследования, по-видимому, доказывают, что выбор ТУ 1 является единственным, для которого процедура сращивания дает число граничных условий, необходимое и достаточное для решения математически правильно поставленных задач. [c.132]

Закончим этот параграф замечаниями по поводу часто задаваемого вопроса сходятся ли разложения Чепмена— Энскога и Гильберта В общем это трудный вопрос, хотя для частных случаев сходимость можно доказать или опровергнуть в рамках линеари- [c.132]

Как отмечалось выше, теория Гильберта неполна, а чтобы сделать ее полной, необходимо решить три задачи связи о начальном, пограничном и ударном слоях. Те же проблемы возникают и в случае разложения Чепмена — Энскога, а такя е и в случае модифицированного разложения, предлояленного в 4. Мы рассмотрим сначала задачу о начальном слое, следуя работе Грэда [6]. Полная теория доляша заниматься сращиванием упомянутых разлоя ений с произвольными начальными данными, однако такая теория включает в себя решение нелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений д практически мало полезна. Действительно, принимая во внимание характер гильбертова и аналогичных ему разлоя ений, мы моя ем ограничиться выбором начального условия того же типа, что и само решение, т. е. условия, сводящегося при 8 О к максвелловской функции. Итак, начальные данные произвольны в рамках условия, согласно которому их МОЖНО записать в виде м + е/дг, где — максвелловская функция. [c.133]

Модифицированные двухвременные разложения предложены здесь впервые, а предыдущие попытки аналогичной перегруппировки ряда Чепмена — Энскога можно найти в работах [c.140]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Идея метода Чепмена — Энскога [6—8] состоит в том, чтобы разложить 8 , оставляя величины р1 неразложенными, т. е. предполагается, что, хотя зависимость р1 от е во многих случаях оказывается неаналитической при 8 = 0, оператор 5 аиа-литичен по 8 (или по крайней мере представляется асимптотическим разложением по степеням е) при 8 = 0. Это предположение отнюдь не противоречиво, так как, например, уравнения Навье — Стокса аналитически (линейно) зависят от коэффициентов вязкости и теплопроводности, но у них есть решения, которые в общем случае нельзя разложить по степеням этих параметров. Чтобы формализовать эту идею и превратить ее в алгоритм, заметим, что уравнение (3.1) можно записать в виде [c.270]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...