Потенциалы с конечным радиусом взаимодействия

Выше все операции над рядами выполнялись формально, так как их сходимость не доказана. По-видимому, как и для модельного уравнения, ряды сходятся лишь для некоторого специального класса задач. Однако для линейного уравнения Больцмана для молекул с достаточно быстро убывающим потенциалом с конечным радиусом взаимодействия (s 5) удается доказать, что оборванный ряд дает асимптотическое решение уравнения Больцмана при е—>0 ). [c.142]

Потенциалы с конечным радиусом взаимодействия [c.91]

Преимущество углового обрезания, введенного в 3, состоит Б том, что оно приводит к довольно простой математической теории оператора столкновений, не изменяя зависимости дифференциального поперечного сечения (которое пропорционально В (0, V)) от относительной скорости. Однако нужно рассматривать угловое обрезание как математический прием, который приобретает смысл, только если можно перейти к пределу 0о я/2. С другой стороны, из анализа 7 гл. 1 следует, что учет лишь парных взаимодействий физически оправдан только для потенциалов с конечным радиусом взаимодействия в этом случае для получения разбиения (2.12) не нужно вводить угловое обрезание. Недостатком обрезанного потенциала по сравнению с потенциалом бесконечного радиуса с угловым обрезанием является то, что оператор К тогда слишком сложен в обращении. В частности, трудно доказать или опровергнуть утверждение о том, что оператор К вполне непрерывен в (см. [5]). Можно, однако, доказать, что интегральный оператор с ядром К ( , 1) [V ( ) V (11)]вполне непрерывен при соответствующих значениях а (легко показать, что это верно при всех а 2). Но трудно, если вообще возможно, показать, что значения а могут быть уменьшены до нуля по мнению автора, хотя при а = О полной непрерывности может и не быть, но очень возможно, что при а = 1/2 оператор вполне непрерывен. Этот результат, как будет видно в следующей главе, позволит построить последовательную и стройную теорию. [c.91]

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159]

Обратимся теперь к методу псевдопотенциалов для случая двух частиц с общим потенциалом взаимодействия конечного радиуса действия, не приводящим к образованию связанного состояния. В этом случае (13.3) заменяется уравнением [c.304]

Если потенциал взаимодействия частиц не является потенциалом типа твердых сфер, но имеет конечный радиус действия и не приводит к образованию связанных состояний, то вышеприведенные рассуждения могут быть перенесены и на этот случай. Эффективный гамильтониан для неидеального газа из N тождественных частиц с массой т можно записать в виде [c.308]

Для молекул с неограниченным радиусом взаимодействия интегралы (7.2), очевидно, расходятся, так как они включают в число столкнувшихся молекулы, взаимодействующие на сколь угодно больших расстояниях со сколь угодно малыми результирующими изменениями состояния. В дальнейшем всегда, когда будут фигурировать раздельно интегралы. /j и ig. будет предполагаться наличие ограниченного радиуса взаимодействия. Так как при достаточно быстро спадающем iioreHnnaJie взаимодействия далекие столкновения не дают существенного вклада, то с известным приближением для таких молекул истинный потенциал можно заменить некоторым обрезанным потенциалом с конечным радиусом взаимодействия. Однако в общем случае правильный выбор эффективного радиуса взаимодействия представляется далеко не тривиальным. [c.68]

Проблема суш,ествовапия решений уравнения Больцмана изучена лишь для задачи с начальными условиями в безграничной области и для молекул с конечным радиусом взаимодействия (с обрезанным потенциалом взаимодействия). Для пространственно-однородного случая теорема существования доказана как для молекул-шаров 2), так и для псевдомаксвелловских молекул ) для полного нелинейного уравнения Больцмана. Для линейного уравнения доказана теорема существования и изучено асимптотическое поведение решений для задачи с начальными условиями, зависяш.ими от пространственных координат ), Пространственно-неоднородная задача для нелинейного уравнения Больцмана рассмотрена Градом 5). Однако существование решений доказано для времен тем меньших, чем больше начальная функция распределения отличается от равновесной. Таким образом, для времен макромасштаба существование доказано лишь для малых начальных возмущений. [c.79]

Для упругих сферических молекул можно также показать, что начало координат /с = О является изолированной точкой спектра этот результат кажется разумным и для потенциалов со строго конечным радиусом взаимодействия. Но для степенных потенциалов с угловым обрезанием и для кинетических моделей с постоянной частотой столкновений точка к О уже не изолирована (можно показать, что непрерывный спектр состоит по крайней мере из значений —v (1)/( -е)). Спектр допустимых значений был подробно исследован для модельных уравнений, а в некоторых случаях были решены упомянутые выше задачи 1 и 2 (Черчиньяни [7, 10—12]) соответствуюш ая теория будет изложена в следую-пцей главе. [c.167]

Эти два простых выражения уже дают информацию о наиболее важных свойствах критического поведения. Действительно, наиболее заметным макроскопическим свойством системы в критической точке является обращение сжимаемости в бесконечность Хг (2 с) = оо- Это означает, что при температуре, равной критической, иетеграл в правой части (9.6.1) должен расходиться. Но, как мы знаем, для реалистичных потенциалов молекул с твердой сердцевиной функция Vg (г) ведет себя на малых расстояниях регулярно следовательно, мы приходим к выводу, что у Vg (г Гс) должен появляться очень длинный хвост, который и вызывает расходимость иетеграла. Таким образом, в критической точке система характеризуется корреляциями с бесконечным радиусом, даже если взаимодействия имеют конечный радиус. Другими словами, в критической области каждая молекула испытывает влияние большого числа других молекул такое влияние сказывается не прямь образом (так как взаимодействия имеют конечный радиус), а через длинную цепочку соседних молекул, которые оказывают когерентное воздействие. Обращаясь к формуле (9.6.2), это можно выразить по-другому фурье-образ парной корреляционной функции с нулевым волновым вектором (т. е. с бесконечной длиной волны) стремится к бесконечности в критической точке. [c.349]

Неидеальный газ есть чрезвычайно разреженная система частиц, взаимодействующих между собой с междучастичным потенциалом конечного радиуса действия, причем это взаимодействие не приводит к образованию двухчастичных связанных состояний. Благодаря разреженности газа взаимодействие частиц можно рассматривать как малое возмущение в идеальном газе. Таким образом, рассмотрение неидеального газа есть следующий шаг в усовершенствовании модели реального физического газа. Мы будем рассматривать неидеальный газ при крайне низких температурах. Для таких систем важную роль играют два параметра с размерностью длины тепловая длина волны Я и среднее расстояние между частицами Эти две характеристические длины могут быть одного порядка величины, но они должны быть значительно больше радиуса действия потенциала взаимодействия частиц или другой характерной длины задачи, за исключением размеров сосуда. [c.300]

В связи с вопросом об изменении электронного спектра следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Формулы (23.7), (23.10) описывают изменение энергии электронов за счет, так сказать, непосредственного взаимодействия между ними. Мы знаем, однако, что. сверх того, взаимодействие приводит еще к экранированию внешнего поля, создаваемого какими-либо классическими источниками. (Действительно, массовый оператор входит в эффективное волновое уравнение (9.18) наряду с экранированным потенциалом Ф, а не вместо него.) В частности, такими источниками являются регулярно расположенные атомы (или ионы) кристаллической решетки, создающие периодическое поле. При учете экранирования поле, конечно, остается периодическим, однако точная форма его изменяется, равно как изменяются и параметры, определяющие его величину. Это приводит к дополнительному изменению электронного спектра, не учитываемому формулами (23.7) и (23.10). Таким образом, последние, строго говоря, еще не дают полного решения задачи. В большинстве полупроводников, однако, это обстоятельство не существенно. Действительно, в гомеополярных полупроводниках типа германия силы взаимодействия атомов решетки с электронами короткодействуюище, и экранирование при типичных (довольно больших) значениях радиуса экранирования мало влияет на них из формулы (21.1) ясно видно, что функция р (jk) отлична от нуля лишь для волновых векторов, сравнимых с обратной величиной радиуса действия сил / при этом член с поляризационным операто- [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...