Теорема 2 — общая переменная

Ж.З.2. Теорема 2 — общая переменная [c.334]

Обсуждение теоремы 2.6.1. 1°. Теорема 2.6.1 дает общие условия, при выполнении которых решение задачи устойчивости по всем переменным может быть получено на основе предварительного решения задачи устойчивости по части переменных. [c.148]

Наиболее значительного сокращения числа неизвестных в многокомпонентной многофазной системе можно достичь, исключая из (22.9) все переменные. ....n. Такая возможность представляется благодаря особой, седловидной форме поверхности функции L(n, к) вблизи экстремума и ввиду очевидного термодинамического смысла множителей "к (см. (16.20)). Вычислительный процесс при этом организуется иначе вместо минимизации функции L в пространстве переменных п ведется поиск максимума этой функции по переменным к. Такую замену называют переходом от решения прямой задачи к решению сопряженной с ней двойственной задачи. В теории выпуклого программирования доказывают теоремы, позволяющие из формулировки прямой задачи по стандартным правилам составить соответствующую ей двойственную. В общем случае часть целевой функции двойственной задачи, от которой зависят координаты максимума, представляет собой функцию Лагранжа прямой задачи, а вместо ограничений л/< >>0 в прямой задаче выступают ограничения (22.10) в двойственной. Для рассмотренного выше частного примера из области линейного программирования двойственная к (22.2), (22.3) задача формулируется следующим образом найти максимум функции [c.188]

В дополнение к этой теореме докажем еще, что 1) вектор поворота не зависит от выбора полюса, т. е. при перемене полюса будет меняться только поступательное перемещение, а ось, угол и направление поворота не будут изменяться, и 2) проекции поступательных перемещений (при различных полюсах) на общее направление оси поворота равны между собой. [c.283]

Из алгебры известно (см., например, [1]) ), что 1) система уравнений (П.III.2) имеет п — г) линейно независимых решений (г — ранг матрицы размерностей) и что 2) любое решение системы (/С(, /с2, кп) можно представить в виде линейной комбинации этих п — г) линейно независимых решений. Поскольку каждое решение системы дает безразмерное произведение переменных a-i, Х2,. .., то первое свойство эквивалентно утверждению, что эти (п — г) безразмерных величин являются независимыми по отношению друг к другу, а второе свойство — утверждению, что все безразмерные величины, образованные из переменных ajj, Х2,. ... .., Хп, можно представить в виде произведений степеней этих (и — г) независимых безразмерных произведений. Отсюда вытекает следующая важная теорема теории размерности число безразмерных величин, образующих полную систему, равно общему числу переменных минус ранг матрицы их размерностей. [c.452]

Существенно развиты были вопросы динамики переменных масс в работах Ф. Р. Гантмахера, Л. М. Левина [2] и В. С. Новоселова [9], [10]. В этих работах изучались также системы с переменной массой, в которых учитывалось относительное движение частиц. В первой из упомянутых работ была высказана идея затвердевания системы, которая значительно упростила многие выкладки по динамике переменных масс, что особенно четко было показано в книге Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье [7]. В работах В. С. Новоселова значительно были развиты предыдущие исследования, опираясь на которые, он получил общие теоремы механики систем с учетом относительного движения частиц внутри системы. [c.12]

Уравнение (2.31) означает, что работа сил системы 1 (реальной системы) на перемещениях системы 2 (некоторой другой допустимой системы, которой соответствуют переменные, отмеченные звездочкой) равна работе сил системы 2 на перемещениях системы 1 (этот результат хорошо известен как теорема взаимности, принадлежащая Бетти [6]). Мы могли бы воспользоваться этой теоремой или принципом виртуальных перемещений в качестве отправной точки для получения нашего решения, однако более общий подход, остающийся одинаковым во всех рассматриваемых задачах, основан на использовании уравнений типа (2.27) и (2.29). Уравнение (2.31) с учетом (2.29) и основного интегрального свойства дельта-функции переходит в уравнение [c.46]

Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории функций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А. Чаплыгиным, 2 который получил общие формулы главного вектора и главного момента сия давления потока на крыло. [c.284]

Функция F %,—k) является локально аналитической по обеим переменным, и в общем случае dF dX ф й. Отсюда в силу теоремы 16 гл. 2 следует, что функция Ъ.(Е), определяемая равенством / [А,( ),— ]=0, будет локально аналитической функцией Е. Разложим ее по степеням Е — Н и оставим только линейные члены [c.137]

Отсюда следует, что новые переменные (Р, О) постоянны. Обо значим С = а, Р = -р и убедимся, что выражения (13.2), опреде ляющие связь между новыми и старыми переменными, переходят в выражения (13.1), из которых легко получить общее решение канонических уравнений Гамильтона. Для этого достаточно вое пользоваться теоремой о неявной функции, разрешить вторую се рию уравнений (13.1) относительно я (это возможно, так как де-, [c.174]

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.2.3, достаточно получить включение X/, с ( ) Влоль всякой общей У1Я двух соседних треугольникоз стороны существует единственный многочлен степени 3 от од юй переменной, принимающий заданные значения на концах этой стороны., если его первая производная в этих точках также фиксировапша. [c.75]

Хотя прямое применение П-теоремы приводит к обязательному появлению одних и тех же т переменных в каждом члене, это не единственно возможное для них функциональное объединение. Если, например, У, 2)= О, будет также справедливо равенство р2[ХУ, 1, 1Х) =0. Иными словами, различные П-члены, получаемые при применении этой теоремы, можно произвольно объединять друг с другом при соблюдении условия, чтобы количество независимых безразмерных групп после объединения не изменялось. Вследствие этого процесса переменные, общие для двух объединенных групп, будут взаимно уничтожаться (для чего обычно и проводится объединение), в результате чего одна или более из первоначальных повторяющихся переменных исчезнут из данной группы. При дальнейшем исследовании движения жидкости по трубам будет обнаружено, что десять различных функциональных групп могут быть представлены или путем последовательного различного подбора повторяющихся переменных, или путем последовательного перекрестного перемножения первых двух групп параметров (т. е. К = = Ке2Е и т.д.) при большом числе переменных, однако, указанный процесс должен рассматриваться как шаг назад. [c.20]

Задача о движении тела переменной массы. В качестве примера на применение теоремы об изменении количества движения рассмотрим задачу о движении системы материальных точек с переменной массой относительно неподвижной системы осей Oxyz. Пусть общая масса системы М = onst и вся система ограничена некоторой контрольной поверхностью 2. При движении системы некоторые нз ее точек выходят за пределы этой контрольной поверхности (рис. 187). Обозначим через m t) массу частиц, находящихся внутри контрольной поверхности в момент t, а через dm — приращение массы внутри контрольной поверхности за промежуток времени dt. Массу частиц, выделив-щихся за пределы контрольной поверхности за интервал времени dt, обозначим через dm. Контрольная поверхность 2 может перемещаться по отношению к системе координат Oxyz и изменять свою форму. Через 2 обозначим контрольную поверхность 2 в момент t + dt. [c.312]

Первое общее решение задачи об устойчивости по формам т-то порядка в критическом случае двух нулевых корней с двумя группами решений было дано Г. В. Каменковым сначала для случая двух переменных (1935), а затем для общего случая п 2 переменных (1936). Было показано, что при исследовании устойчивости системы п + 2)-го порядка в случаях, не существенно особенных, когда вопрос об устойчивости решается по формам конечного порядка, можно перейти к эквивалентной задаче об устойчивости для системы второго порядка. Даны теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по формам т-го порядка в случаях, когда функция [c.55]

Основной целью рассмотрения задачи двух тел в данном параграфе является доказательство следующей основополагающей теоремы переменные и в системе дифференциальных уравнений (14.1) разделяются, при этом задача о движении частиц /Пх и 2 относительно их общего центра масс С сводится к эквивалентной задаче о движении некоторой фиктивной частицы с массой р. = = тхтг/(/Пх 4- т ) во внешнем центрально-симметрическом поле и (г) с центром, находящимся в точке С. [c.91]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Теорема 5.1. Для того чтобы система (5.1) допускала понижение числа переменных в системе с помощью обратимого loe G преобразования (5.2), не зависящего явно от параметров ai,. .., ащ, t, необходимо и достаточно, чтобы обертывающая группа 8 была интранзитивна и имела п — р инвариантов. Нахождение приводящих преобразований сводится к нахождению общих решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений порядка не выше п — р. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...