Применение теории малых прогибов

Применение теории малых прогибов [c.477]

Проиллюстрируем теперь применение этого метода на простом примере квадратной пластинки. Положим, что нагрузку q можно разложить на две составляющие и Q2 таким образом, что часть будет уравновешиваться напряжениями изгиба и касательными напряжениями, вычисленными по теории малых прогибов, часть же будет уравновешиваться напряжениями мембраны. Прогиб в центре квадратной пластинки со сторонами 2а по вычислении с помощью теории малых прогибов будет равен ) [c.469]

Так как наибольший прогиб мал по сравнению с толщиной пластинки, то применение теории расчета жестких пластинок оправдано. [c.519]

Формула (14) применима при условии, что действующие на брус поперечные нагрузки направлены в одну сторону. Большую точность формула дает для шарнирно-опертого бруса. Формула основана на теории малых перемещений, но для шарнирно-опертого бруса удовлетворительная точность получается даже при прогибах до 0,1 длины пролета. Граница применения формулы 5 гг 0,4 5 . [c.297]

Так как прогиб мал по сравнению с толщиной, то применение теории, основанной на предположении о малости прогиба, в данном случае оправдано. [c.175]

Особенно полезны различные аналоговые методы. Эти методы основаны на том факте, что в некоторых случаях задача теории упругости математически эквивалентна задаче другого раздела физики, в котором требуемые величины могут быть легко измерены. Уже было упомянуто о гидродинамической аналогии, с помощью которой Дж. Лармор определил концентрацию напряжения в скручиваемом валу, вызванную малым круглым отверстием. Очень важная аналогия была развита Л. Прандтлем ). Он показал, что задача кручения эквивалентна определению поверхности прогибов равномерно растянутой и равномерно нагруженной мембраны, имеющей такую же форму, как и поперечное сечение скручиваемого вала. Используя мыльную пленку как мембрану и замеряя оптическим путем максимальный наклон поверхности прогибов, вызванный равномерным давлением газа, можно легко получить максимальное напряжение при кручении. В дальнейшем метод мембранной аналогии был развит Г. Тейлором ) и применен к исследованию напряжений при кручении валов со сложной формой поперечного сечения. Кроме того, таким же образом была изучена концентрация напряжения в круглых валах со шпоночными канавками. [c.669]

В дальнейшем исследование в рамках линейной (при малых прогибах) теории условий, при которых конструкция или элеменг конструкции с идеальными формой и упругостью могут находиться в состоянии нейтрального равновесия при нагрузках, заставляющих их выпучиваться, будем называть классической задачей устойчивости. До сравнительно недавнего времени теоретические исследования задач устойчивости были ограничены такими идеализированными решениями. Инженеры, которым при-ходилгось использовать такие элементы в проектируемых ими машинах и конструкциях, давно уже обнаружили, что зти решения иногда имеют малую, связь с действительным поведением конструкций. Такие исследования в рамках классической устойчивости дают удовлетворительные результаты для очень тонких сжатых стержней, но из-за ограничений на упругое поведение реальных материалов наибольшее применение находят результаты,, полученные эмпирическим путем. Когда классические теории устойчивости стали применяться для более сложных элементов было найдёно, что нелинейное поведение — только один из случаев серьезного расхождения 1й(ежду теориями и экспериментами. Например, классическая теория устойчивости предсказывает во много раз большую, чем действительная, способность к сопротивлению очень тонких цилиндрических оболочек при осевоМ сжатии с другой стороны, классическая теория предсказывает только часть действительной предельной прочности тонких шарнирно опертых или защемленных по краям пластин при сжатии-или сдвиге (хотя эта теория предсказывает, когда начнется выпучивание). Эти расхождения становятся тем большими, чеш [c.81]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Использование гипотезы Кирхгофа — Ляра также обьгчно ограничивает применение излагаемой теории областью тонких оболочек, для которых az/A < 1 и bz/B < 1, откуда появляется возможность упростить выражения (6.8) для деформаций. Стоящие в числителе выражений для о и ер члены вида az/A и bz/B являются существенными при малых перемещениях, и если их опустить, то не получим равными нулю деформации для основного случая, когда u = v=w = 0. Однако если пренебречь слагаемыми az/B и bz/B в знаменателе выражений для деформаций, полагая тем самым знаменатель равным нулю, то ошибки порядка отношения толщины к радиусу будут сделаны только в значениях деформаций в специфических точках. При определении прогибов и критических нагрузок, которые зависят от осредненных условий, эти ошибки будут практически бесконечно малыми-в области, занимаемой стенкой оболочки. Ошибка при определении энергии деформации примерно равна квадрату отношения толщины к радиусу, т. е. ошибка составляет одну десятую процента, когда толщина равна одной тридцатой радиуса. Отсюда видно,-что для тонких оболочек, а в случае нахождения прогибов, критических нагрузок и т. п. это справедливо и для относительно тонких оболочек, не делая серьезной погрешности, знаменатель в выражениях (6.8) мояшо положить равным единице. Однако, хотя в дальнейшем будет показана справедливость сказанного, это требует своего обоснования, так -как кажущиеся нёзначительнйми члены могут оказаться существенными на последующих стадиях исследований все это подробно обсуждается при выводе уравнения (6.36), [c.406]

Как отмечалось в 5.2 при обсуждении уравнений (5.18а) (эти уравнения представляют собой разрешающие соотношения для пластин, соответствующие уравнению (7.13д) для цилиндрических оболочек), эти уравнения совпадали с уравнением (4.19) равновесия в поперечном направлении для тонких пластин = если прогиб И эаменялся на 3(1 — v ) (tz —Ьг)/(2 ). Интересно и вместе с тем важно отметить, что уравнения (7.13д) аналогичным образом относятся "к полученным нами наиболее точным уравнениям (6.36) равновесия в поперечном направлении для тон1й)стенных цилиндрических оболочек. Иэ сравнения уравнения (6.36), записанного для случая действия боковой нагрузки, с уравнениями (7.13д) видно, что если прс/гиб w заменить на выражение (i /2 )V4 (такое соответствие устанавливается при удержании первого члена в выражении для функции Wj(z=o) = м , которое приводится ниже), то видно, что два уравнения остаются неизменными, за исключением членов, обозначенных в таблице 6.7 через i и s, и малого отличия в членах, обозначенных через С2 и s. Как уже отмечалось при обсуждении таблицы 6.7, члены, обозначенные через i и i, а также точные значения членов вида са и С5 = С2 — 2 являются несущественными в задачах, где применяются классические теории, основанные на применении гипотезы Кирхгофа — Лява (но, разумеется, ими нельзя пренебрегать в задачах о толстостенных цилиндрах, которые сейчас нами рассматриваются).. , [c.550]

Значительные успехи за последнее время ) были достигнуты в расчете и конструировании висячих мостов. Те из сооружений этого типа, возведение которых относится к началу XIX века, не оправдали возлагавшихся на них надежд они оказались слишком гибкими и многие из них обрушились в результате чрезмерных колебаний, возбужденных подвижной нагрузкой или ветром. Такая нежелательная гибкость была компенсирована в позднейших сооружениях введением ферм жесткости. Было установлено также, что колебания, производимые подвижной нагрузкой, уменьшаются с увеличением пролета и веса мостов, почему в весьма крупных мостах удовлетворительные условия достигаются и без введения ферм жесткости. В первоначальных проектах висячих мостов с фермами жесткости принималось обычно, что деформации малы, и потому к ним применялись те же способы расчета, что и к жестким фермам. Первая попытка учитывать прогибы ферм жесткости была сделана В. Риттером, профессором Рижского политехнического института ). Следующие шаги в этом наОравлении были предприняты рядом авторов в пригодной для практических применений форме такой расчет был представлен И. Меланом ). Эта теория была использована в проектировании больших висячих мостов, построенных в США. В ней учитывается влияние равномерно распределенного собственного веса моста, а также равномерно распределенной по части пролета временной нагрузки. [c.514]

Гораздо большее влияние на степень точности приближенного уравнения (206) имеет величина трех прогибов w, которые получает пластинка. Условие малости прогибов ограничивает область применения полученного выше приближенного уравнения к исследованию изшба пластинок в значительно большей степени, чем, например, при рассмотрении изгиба призматических стержней. Приближенная теория для призматических стержней дает удовлетворительные результаты даже в тех случаях, когда прогибы в несколько раз превосходят поперечные размеры стержня. Но в случае пластинок приближенное уравнение можно с уверенностью применять лишь тогда, когда прогибы пластинки малы по сравнению с ее толшдной. Причиной такой разницы между тонкими стержнями и тонкими пластинками является то обстоятельство, что искривление пластинки без деформаций в срединной плоскости возможно лишь в исключительных случаях, когда срединная плоскость обращается при изгибе в развертываемую поверхность Во всех других случаях изгиб сопровождается появлением деформаций в срединной поверхности. Деформации эти растут с прогибом и могут достигать значений такого же порядка, что и те деформации, которые учитываются приближенным решением. Эти обстоятельства легко объяснимы при рассмотрении простейшей задачи, которой является изгиб круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. Приближенное решение 200) соответствует в этом случае изгибу пластинки по шаровой поверхности. Пусть R — радиус этой поверхности, а — радиус пластинки и линия АОВ [c.383]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...