Способ интегралов Коши

Способ интегралов Коши. Способ интегралов типа Коши в применении к краевым задачам плоской теории упругости был предложен и подробно разработан Н. И. Мусхелишвили. В его труде даны строгое обоснование и многочисленные применения этого способа, поэтому здесь можно ограничиться лишь пояснением техники вычисления. [c.571]

Поэтому применение способа интегралов Коши п. 6.3 и интегральных формул (5.10.2), (5.10.3) приводит к соотношениям [c.578]

Способ интегралов Коши. Вспомнив характер разложений искомых функций [c.608]

Применение способа интегралов Коши к первому краевому условию (8.5.1) приводит к соотношению [c.617]

Этот способ рассмотрения пригоден и в тех случаях, когда жидкость имеет другие границы, кроме 2, и когда движение жидкости не потенциально. Замечательно, что для потенциальных движений несжимаемой жидкости, занимающей все пространство, внешнее к поверхности 2, интегралы (16.1) для любой данной формы тела, задаваемой поверхностью 2, с помощью интеграла Коши — Лагранжа можно выразить через компоненты и Q и их производные по времени. [c.201]

Когда точки Р и Q совпадают, интегрирование в (6.9.1) должно выполняться специальным методом, поскольку в этом случае функции Тп (Р, Q) и Uji (Р, Q) сингулярны. Такие интегралы называются несобственными и вычисляются с помощью исключения из области интегрирования малого отрезка длиной 2е с центром в сингулярной точке и последующего нахождения пределов при е, стремящемся к нулю. Значение интеграла, вычисленное таким способом, называется главным значением Коши [c.134]

Если комплексные функции напряжений известны, то действительная и мнимая части соотношений (6.3) дают реальные физические величины, т. е. напряжения и перемещения. Для определения комплексных функций напряжений привлекаются общие теоремы теории аналитических функций, причем важным вспомогательным средством при расчетах являются так называемые интегралы типа Коши. Решения получаются частично элементарным способом, частично сводятся к сложным интегральным уравнениям. Для многих задач способ комплексных функций напряжений может рассматриваться как прямой метод решения. [c.121]

Здесь следует еще убедиться в обратном определяемые равенствами (6.3.1), (6.3.2) во всей области функции Ф, ( ), F.( ) удовлетворяют краевым условиям (6.2.7), (6.2.8), по которым они найдены способом интегралов Коши. Обоснование с помощью теорем теории потенциала (теорема Гарнака) приводится в упомянутом труде Н. И. Мусхелишвили. Другой вывод этих же соотношений приводится в пп. 6.13, 6.14. [c.571]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

В точке лг лг ядро рассматриваемого уравнения обращается в бесконечность второго пор.ядка, и поверхностный интеграл, входящий в уравнение, может пониматься только в смысле главного значения Коши. Поэтому уравнения вида (5.1) называются сингулярными, в отличие от регулярных уравнений с несобственными интегралами, сходящимися в обычном смысле. Одно из главных различий между двумя указанными типами уравнений состоит в том, что обычный способ итерации, который в случае регулярного уравнения приводит неограниченные ядра к ограниченным, не позволяет сделать то же самое б случае уравнений сингулярных. [c.103]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Это сингулярное интегральное уравнение с ядром типа Коши [173]. Оно может быть решено точно. (Прямолинейный способ состоит в том, чтобы перейти от переменных к, к к а, а, где к = Q tanh а, и затем использовать интегралы Фурье.) При Q 8 решение имеет вид [c.166]

Обе части уравнения (5.1) содержат интегралы с сингулярными ядрами, поэтому обычные формулы для аппроксимации этих интегралов типа формулы трапеций, дают результат, неравномерно зависящий от размера отрезка интегрирования. Верный способ вычисления таких интегралов - разбить область интегрирования на малые от резки, на каждом таком отрезке искомую функцию представить разложением Тейло ра и получившиеся выражения проинтегрировать аналитически с учетом вида ядра Результат будет зависеть от дифференциальных свойств самой функции, но не ядра Рассмотрим вначале аппроксимацию интеграла типа Коши в правой части (5.1) с рав номерным шагом Дг и запишем его значение в точке (х/ , г,) [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...