Системы твердых дисков и твердых сфер

Системы твердых дисков и твердых сфер [c.198]

Системы твердых дисков и твердых сфер являются наиболее изученными методом молекулярной динамики и методом Монте-Карло. Потенциал взаимодействия между частицами в этих случаях имеет простейший вид, что значительно сокращает используемое машинное время и позволяет взять достаточно большое количество частиц. При этом при одинаковом числе частиц система твердых дисков эффективно значительно больше системы твердых сфер, и в ней граничные эффекты сказываются значительно слабее. [c.198]

Выше мы уже останавливались на результатах метода молекулярной динамики при рассмотрении кластерных разложений для системы твердых дисков и твердых сфер, для которых изве- [c.198]

Несмотря на то что рассмотренные в предыдущем параграфе системы твердых дисков и твердых сфер отражают многие характерные свойства реальных систем, отсутствие притягивающей части в их потенциале не дает возможности описать всю фазовую диаграмму, и в этих модельных системах нет различия между жидкостью и газом. Поэтому численно исследуются сис- [c.204]

Метод Монте-Карло неоднократно применялся [41] для исследования родственных между собой дву- и трехмерных моделей решетки Изинга, решеточного газа, а также моделей, описывающих фазовое превращение порядок — беспорядок в бинарных сплавах. Мы, по сути дела, ограничимся лишь перечислением тех работ, которые нам известны, так как эти модели не имеют прямого отношения к теории жидкости. Исключение представляет модель решеточного газа с многими соседями, с помощью которой можно попытаться исследовать характер возможного фазового перехода в системах твердых дисков и твердых сфер к сожалению, эта модель очень слабо исследована методом Монте-Карло. [c.321]

Можно привести и еще ряд примеров плодотворного использования метода молекулярной динамики для анализа различных подходов к рассмотрению систем многих частиц. Кроме того, этим методом получены фундаментальные результаты о поведении систем твердых дисков и твердых сфер и о фазовых переходах в данных системах, позволившие значительно расширить наши представления о поведении статистических систем. В следующих параграфах этой главы мы рассмотрим в основном результаты, полученные для различных систем численными методами. [c.198]

Кроме ТОГО, используя полученные по (15.23) уравнения состояния для однородной фазы и соответствующие. расчеты для упорядоченной фазы d, удается описать фазовый переход от неупорядоченной к упорядоченной фазе в системах твердых дисков и сфер. Линия фазового равновесия Ьс определяется из условия равенства химических потенциалов обеих фаз. [c.272]

Что касается фазового перехода жидкость — твердое тело, то к точности существующих расчетов, по мнению автора, нельзя предъявлять слишком жестких требований. Эти расчеты определенно указывают па существование подобного перехода в системах твердых сфер и твердых дисков сходные явления наблюдаются и в расчетах для молекул Леннарда-Джонса непосредственно вблизи экспериментально установленного фазового перехода жидкость — твердое тело у аргона. По нашему мнению, подобные переходные явления в расчетах по сути дела связаны с экспериментальными фазовыми переходами, однако, очевидно, что в настоящее время эта связь есть следствие весьма вольной интерпретации, а не точный результат. Как бы то ни было, в окрестности фазового перехода возникают чисто вычислительные трудности, пе позволяющие точно определить давление перехода и т. д. даже для малых систем. Конечно, использование дополнительных предположений, не присущих самому методу, может позволить получить некоторые добавочные результаты. Обычно эти предположения сводятся к допущению о пренебрежимо малом вкладе некоторых областей конфигурационного пространства конечной системы, которые делаются в тех случаях, когда из-за эргодических трудностей метода не удается установить этот факт непосредственным расчетом. Подобные допущения могут выглядеть вполне разумно, по тем не менее о них следует говорить как о допущениях, а не как о точных результатах расчета. [c.390]

Как уже отмечалось, исследования методом молекулярной динамики в основном проводились для систем, взаимодействие между частицами которых описывалось простыми модельными потенциалами, — системы твердых сфер в трехмерном и твердых дисков в двухмерном случаях. Это позволило детально изучить движение частиц в этих системах, в частности природу транспортных явлений [c.192]

Одночастичная функция распределения весьма чувствительна к низкочастотным колебаниям. Это впервые было установлено в основе теории упругости твердых тел. При Л ->-оо полуширина одночастичной функции распределения в двухмерной системе стремится к бесконечности. В трехмерном же случае полуширина ограничена. Поэтому в отличие от двухмерного случая в трехмерном вид одночастичной функции распределения для упорядоченной фазы принципиально отличается от вида одночастичной функции распределения для однородной фазы. В двухмерных системах достаточным условием существования твердого тела является лишь относительное упорядочение частиц. Рассмотрим системы твердых дисков или сфер при больших плотностях, когда v Vo и v/vo—1<С1. в этом случае уравнение состояния запишем в виде ряда [c.203]

ВВЕДЕНИЕ МАЛЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Л-УГ-АНСАМБЛЯ МЕТОДЫ NpT-АНСАМБЛЯ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ДАЛЬНЕЙШИЕ ДЕТАЛИ СРАВНЕНИЕ С МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕТОЧНОГО ГАЗА И РОДСТВЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ТВЕРДЫЕ СТЕРЖНИ ТВЕРДЫЕ ДИСКИ ТВЕРДЫЕ СФЕРЫ СМЕСИ ТВЕРДЫХ СФЕР МОЛЕКУЛЫ С ПОТЕНЦИАЛОМ В ВИДЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЫ ПО-ТЕНЦИАЛ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА И ПОДОБНЫЕ ЕМУ ЗАКЛЮЧЕНИЕ [c.275]

Этот результат аналогичен известному результату для волчка Лагранжа, согласно которому в специально подобранной вращающейся системе координат ось симметрии волчка описывает замкнутые кривые. Впоследствии аналогичный результат для точки контакта диска на льду и твердого тела на шероховатой плоскости был указан в работах [32, 40]. В этих задачах такой эффект обусловлен существованием двух различных циклических переменных, что является достаточно редким случаем. Так, например, для (интегрируемого) волчка Ковалевской после исключения средней прецессии апексы будут заметать некоторые области на сфере — проекции двумерных торов. [c.63]

На рис. 46 и 47 пунктирными линиями изображены графики уравнений состояния систем твердых дисков и сфер соответственно, полученные методом молекулярной динамики. Сплошными линиями аЬ изображены уравнения состояния однородной фазы, найденные по уравнению (15.23) с учетом шести вириальных коэффициентов для системы твердых диоков и семи вириальных коэффициентов для системы твердых сфер. Как виднО, согласие вычислений по (15.23) с машинным экспериментом хорошее. [c.272]

Асимптотическое поведение ВКФС для больщих времен в случае системных твердых сфер определяется функцией а в случае системы твердых дисков t . В силу того что эти функции уменьшаются очень медленно, движение имеет коллективную природу, и для его описания можно использовать законы гидродинамики. Это было подтверждено и непосредственным чис- [c.193]

В трехмерном случае при изучении системы из 500 частиц были получены результаты, которые говорили о том, что при некоторой плотности характер движения частиц принципиально меняется. Пусть вначале система была упорядоченной и образовывала ГПУ структуру, а частицы двигались вблизи некоторых положений равновесия. При увеличении объема на 30% по отношению к плотной упаковке система становилась неустойчивой, и в ней наблюдались переходы из упорядоченной в однородную фазу и обратно, но сосуществования двух фаз обнаружить не удалось. Поэтому были изучены двухмерные системы твердых дисков, так как для них число частиц, необходимых для образования кластеров частиц одной фазы любого заданного диаметра, меньше, чем в случае трехмерных систем. Поэтому рассмотренная система из 870 твердых дисков была намного эффективнее, чем система из 500 твердых сфер. Если же в двухмерном случае рассмотреть систему из небольшого числа частиц (72), то она ведет себя аналогично трехмерной системе имеются две несвязанные ветви, причем в области от 5 = 5/5о=1,33 до 1,35 система резко флуктуирует между ветвью с высоким давлением, соответствующей однородной фазе, и ветвью, соответствующей упорядоченной структуре (5о — площадь, СОбТВетСТВуЮЩаЯ ПЛОТНОЙ упаковке частиц). При упорядоченная фаза всегда [c.199]

Как уже отмечалось, для системы твердых сфер, в отличие от системы твердых дисков, проблемы, связанные с числом рассматриваемых атомов, размером ячейки и т. п., становятся значительно сложнее. Рассматриваемые в настоящее время систе мы твердых сфер слишком малы для наблюдения сосущество- [c.200]

Задачи, отобранные для этой главы, представляют собой неравновесные аналоги задач, рассмотренных в гл. 6 и 9 в равновесном случае разреженный и не слишком плотный газы, плазма, жидкость Ван-дер-Ваальса ). Сложилось так, что большая часть задач, решенных в равновесной теории, со временем была решена и в неравновесной теории. Разумеется, это не случайно. Дело-в том, что в физике существует весьма ограниченное количество задач, лоддаюпщхся решению, поэтому в обоих случаях, равновес> ном и неравновесном, были использованы некоторые простыв свойства этих задач. Однако многих поразит тот факт, что неравновесные задачи во много раз сложнее равновесных. Приведем лишь один пример с помощью диаграммной техники Майера можно получить аналитическое выражение любого вириальнога коэффициента. Ничего подобного не существз> ет для коэффициентов переноса — явное аналитическое выражение получено лишь для первой поправки по плотности к результату, найденному из уравнения Больцмана. Что касается численных результатов, то здесь положение еще хуже. Если в равновесии для системы твердых сфер известны шесть первых вириальных коэффициентов, то в неравновесном случае второй вириальный коэффициент вычислен лишь для двумерной системы твердых дисков. [c.270]

До сих пор мы проводили рассмотрение метода Монте-Карло в применении к обычному каноническому ансамблю Гиббса, для которого этот метод и был первоначально предложен и которому посвящено наибольшее количество из опубликованных к настоящему времени работ. Однако метод Монте-Карло может быть использован для оценки любых средних типа (1), и, следовательно, по крайней мере в принципе, его можно использовать для всех стандартных статистических ансамблей, а также и в других задачах, например для вариационной оценки энергии основного состояния жидкого Не, о чем мы будем говорить ниже. Чезнут и Зальсбург [17], по сути дела, использовали этот метод при вычислении свойств решеточного газа в большом каноническом ( FГ)-aн aмблe. Расчет в рамках большого канонического ансамбля свойств модельной системы (например, системы твердых сфер), достаточно правильно отражающей свойства реальных жидкостей, представляет большой интерес. Безусловно, могут быть даны разнообразные формальные рецепты таких расчетов, однако до сих пор не появилось ни одного расчета, который мог бы быть использован в интересующем нас диапазоне плотностей. Ниже будут рассмотрены некоторые до настоящего времени не опубликованные результаты для твердых дисков и твердых сфер, полученные для изотермически-изобарического, или ТУ У-ансамбля. При этом будут приведены соответствующие теоретические формулы. Основным соотношением для этого ансамбля, занимающим такое же место, что и соотношение (24) для 77 -ансамбля, является онреде- [c.293]

Система твердых сфер с парным потенциалом (118) (где Г — трехмерный вектор) исследовалась методом Монте-Карло для МУТ-ансамбля в работах [68, 91] (см. также [92, 94, 71, 72 ). Ниже будет также приведен ряд ранее не публиковавшихся результатов, полученных нами некоторое время назад с помощью метода ТУрГ-ансамбля ( 4, п. 1). Все исследователи использовали кубический объем V и ТУ = 4v , V = 2, 3, 4 или 6. Такая совокупность ТУ и У соответствует при высокой плотности г.ц.к. решетке. Приведенные величины, которые будут использоваться в дальнейшем, определяются соотношениями (63) — (65). Прежде результаты Вуда и Якобсона не приводились в форме таблиц, здесь они собраны в табл. 2. В случае твердых сфер реализации ведут себя почти так же, как в уже рассмотренном случае твердых дисков. Хронологически раньше переходы между уровнями, указывающие на возможность фазовых превращений, были обнаружены в системах твердых сфер. Однако здесь мы не будем придерживаться исторической последовательности, а ограничимся кратким перечислением основных результатов для твердых сфер, ссылаясь на проведенное ранее обсуждение подоб- [c.344]

До настоящего времени имеется совсем немного конкретных указаний на существование фазового перехода первого рода, если не считать многообещающего соотношения между Н - и В -ветвями уравнения состояния. Ротенберг [71] пытался добиться разделения фаз наложением поля тяжести на ячейку Монте-Карло, однако потерпел неудачу как в случае твердых дисков, так и в случае твердых сфер. По-видимому, в системе трехмерных твердых сфер может существовать фазовый переход, если он существует в двумерном случае, где в пользу его существования свидетельствует найденная Олдером и Вайнрайтом [7] вандерваальсова петля в системе 870 твердых дисков. [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...