Теория Якоби

Теория Якоби дает возможность полностью проинтегрировать систему в этих условиях. Итак, [c.678]

Докажем теорему Якоби о последнем множителе. [c.394]

С. В. Ковалевская ввела новые переменные 1 и 52, посредством которых определила все шесть неизвестных функций (0 , уь Уз- В соответствии с теорией Якоби было найдено, что связь между 5) и 2 определяется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными [c.454]

Применим теперь теорему Якоби. Мы опять найдем те же интегралы. Уравнение с частными производными будет [c.371]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

Теорему Якоби можно сформулировать в следующей симметричной форме. Пусть S x, х) — полный интеграл уравнения [c.253]

Теория Якоба Бернулли не дает точных значений для нормальных напряжений и для кривизны упругой линии для частей балок, находящихся под непрерывно распределенной нагрузкой. В этом случае нормальные напряжения не распределяются больше по поперечному сечению по линейному закону, нейтральная ось больше не проходит через центр тяжести поперечного сечения, и кривизна упругой линии уже не пропорциональна величине изгибающего момента. Все эти отклонения от результатов приближенной теории, однако, малы, и ими обычно без существенного риска можно пренебречь. [c.577]

Применим теперь к функции (7) теорему Якоби [c.63]

Применяя теорему Якоби к функции У, будем иметь [c.64]

Из этого результата можно вывести теорему Якоби о полной интегрируемости задачи о движении точки по поверхности многомерного эллипсоида при отсутствии внешних сил. Действительно, зафиксируем значение переменной положив, например, Л1 = 0. Тогда Л2,..., Л будут криволинейными ортогональными коорди- [c.102]

Согласно теории Якоби, рассматривая I как набор новых импульсов, получим выражение для сопряженных им новых канонических координат <р, дифференцируя 5 по I при постоянных q [c.356]

Если полный интеграл уравнения (9.88) известен, то, применяя теорему Якоби, можно получить решение канонических уравнений. Действительно, учитывая последние 5 равенств (9.89), а также равенства [c.407]

Зная полный интеграл этого уравнения и используя теорему Якоби, можно найти решение канонических уравнений. [c.408]

ИЗ которых 5—т последних уравнений являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если полный интеграл V уравнения (9.100) и решения уравнений (9.101) могут быть найдены, то, используя (9.98) и теорему Якоби, получим решение исходного уравнения в виде [c.409]

После установления этих определений теорему Якоби [c.328]

Таким образом, линии узлов обеих планетных орбит на неизменяемой плоскости совпадают. Это составляет знаменитую теорему Якоби, которая, как было доказано в 9 гл. V, сохраняет свою силу для всех степеней и, г и т. д. Итак, имеем [c.283]

С другой стороны, траектории, соответствующие концам отрезка /, всюду плотны (см. теорему Якоби в приложении 1). Так как //(/) , существуют целые числа П1,. .., при которых множества ..., [c.26]

Немалую роль в недооценке истребительной авиации сыграло и отсутствие крупных воздушных операций за время с 1918 по 1936 г. Невозможность боевой проверки теоретических выкладок создала благоприятную почву для развития всяческих псевдонаучных теорий, якобы подтверждавшихся опытом учений и маневров. [c.299]

В книге дано систематическ(1е и достаточно доступное изложение O HOD аналитической механики В нее включены разделы уравнения Лагранжа, уравнения Гамильтона, теория Якоби, неголономные системы, вариационные принципы и теория возмущений. Приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие применение рассматриваемых методов. [c.2]

Пример 50. Применим теорию Якоби к гнроскопическому маятнику. [c.165]

Привести к канонической форме уравнения движения точки по неподвижной или движущейся кривой. Применить затем теорему Якоби. (Доста- [c.502]

Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная Е была одной из новых переменных Qn- Кроме энергетической постоянной Е, в рещении содержалось лишь п — 1 констант интегрирования. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамильтоново решение уравнения в частных производных является не полным, а -сверхполнымъ, так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову U -функцию от S-функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией W, в корне отличается от S-преобразования. [c.293]

В теории Якоби преобразование точки в линию возникает соверщенно иным путем, Здесь переменная Qn выделена среди других переменных. Все координаты точки Q,, Pi фиксированы, за исключением координаты Р,и которая меняется. Следовательно, требуется разрещить п — 1 уравнений [c.295]

Резюме. Хотя главная функция Гамильтона содержит лишнюю константу, она может быть получена из полного решения уравнения теории Якоби с по-мош,ью дис ференцирования и необходимых исключений. [c.302]

Таким образом оценки мировых энергетических ресурсов различными исследователями лишний раз подтверждают несостоятельность получившей распространение на Западе теории якобы надвигающейся на человечество угрозы скорого истощения первичных источников энергии — энергетического голода . Правда, многие авторы этой теории подчеркивают, что скорое истощение первичных источников энергии относится не к углю, а в первую очередь к наиболее дешевым, высококачественным и ныне широко применяемым нефти и газу. Так, Г. Люстинг утверждает, что угля человечеству хватит до 2500 г., нефти — до 2100 г. и природного газа — до 2015 г. [c.7]

По-,мое.му, подобные волновые группы можно построить, причем таким же способом, каким Дебай ) и фон Лауз ) решили задачу обычной оптики о нахождении точного аналитического представления для светового конуса или светового пучка. При этом появляется еще крайне интересная связь с не рассмотренной в 1 частью теории Якоби—Гамильтона, а именно с из-вестны.м способом получения интегралов уравнений движения посредством дифференцирования полного интеграла уравнения Гамильтона по постоян-ны.м интегрирования. Как мы сейчас увидим, упомянутый только что метод получения интегралов движения Якоби равносилен в нашем случае следующему положению изображающая механическую систему точка совпадает длительный период с той точкой, где встречается определенный континуум волн в равной фазе. [c.686]

Общую теорию изгиба призматических стержней можно найти в статье И. Геккелера ). Из этой теории следует, что в поперечных сечениях, достаточно далеко расположенных от концов стержня и от точек приложения нагрузок, известная приближенная теория Якоба Бернулли дает точные значения для нормальных напряжений и для кривизны упругой линии. Как известно, теория Бернулли исходит из предположения, что поперечные сечения при изгибе стержня остаются плоскими и нормальными к центральной линии стержня. Распределение касательных напряжений по поперечному [c.575]

Интересно сравнить обобщенную теорему Якоби, установленную Четаевым, с теоремой Суслова [36, гл. ХЪП1]. Суслов рассмотрел уравнения Гамильтона со множителями Xj, союзные уравнениям (1.21) и вместо (2.25) получил уравнение в частных производных [36, формула (43.25)] [c.26]

Найти ошибку в следующих правдоподобных рассуждениях. Материальная точка массы т начинает движение в плоскости yz ш СОСТОЯНИЯ нокоя в однородном ноле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Oz. Следовательно, импульс точки рх, сохраняется, т. е. рх = onst. Производная момента имнульса Коу точки относительно оси О у равна нулю, так как единственная внешняя сила — сила тяжести — пересекает ось О у и, следовательно, не создает момента относительно этой оси. Поэтому Коу будет первым интегралом, т. е. Коу = onst нри движении точки. Используя теорему Якоби-Пуассона, получим, что pz = onst, так как рх f Oy) = Pz-Этот вывод находится в очевидном противоречии с уравнением изменения имнульса Pz = mg. [c.209]

Уравнение (6.13) в стационарном случае (когда функции ip,iy,f не зависят явно от t) получил впервые И. С. Аржаных [3], не связывая, правда, подстановку д(р/дх с теоремой Лагранжа. Им же доказана следующая теорема, обобщающая теорему Якоби о полном интеграле. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...