Вариация первая

Изменение температуры тела, находящегося на определенном расстоянии от Солнца ( п г — константы), может быть достигнуто за счет вариации первого и третьего членов соотношения (1-30). Если изменение значения третьего члена формулы достигается ориентированием тела по отношению к солнечным лучам и его конструкцией, что не входит в круг рассматриваемых здесь вопросов, то уменьшение или увеличение первого члена определяется выбором материала тела, свойств его поверхности, т. е. связано с затронутой нами проблемой. [c.24]

Необходимость анализа равновесия на устойчивость можно показать на примере из 11 (см. рис. 5). Как отмечалось, критерии равновесия, выраженные через вариации первого порядка энергий Гиббса и Гельмгольца, приводят к одинаковым частным условиям равновесия жидкой капли с насыщенным паром (11.49) и (11.50). Первое из них имеет ту особенность, что химические потенциалы р, и р, относятся к одинаковым температурам, но разным давлениям. Дифференцирование [c.116]

При вычислении вариации первого интеграла в равенстве (8.75) в выражении (8.76) варьируются только слагаемые, зависящие от функции напряжений Ф, т. е. получаем [c.218]

Следовательно, для таких вариаций функция V стационарна. Мы исследовали, начиная с (в), только приращения и вариации первого порядка. Из рассмотрения вариаций второго порядка можно показать, что V в действительности достигает минимума. Теорему (141) иногда называют принципом минимальной работы, как и ее аналог для сосредоточенных сил в строительной механике. [c.268]

Вариация ускорения приведет к изменению пути частицы. Вследствие того, что мы договорились не менять начальных значений координат и скоростей системы, вариации первых двух членов в правой части (4.8.1) равны нулю. Следовательно, считая т достаточно малым и пренебрегая членами высшего порядка по т, получаем [c.131]

Tot факт, что первый член в правой части выражения (9.5.6) не проявляется при обычных обстоятельствах (несмотря на огромную константу ), объясняется необычайно высокой стабильностью массы т. Если т— константа, то вариация первого члена равна нулю и может быть опущена. [c.357]

Примем сперва за зависимые вариации первые а- -Ь вариаций координат S3,,. .., тогда определитель, о котором идёт речь, будет иметь выражение [c.295]

Понятие вариации в вариационном исчислении имеет такое же фундаментальное значение, как и понятие дифференциала в дифференциальном исчислении. Вариацией функции у = у (х) называют допустимое по условиям данной задачи малое изменение этой функции. Вариация функции обозначается Ьу (х). Аналогично вводят понятия вариаций первой и высших производных функции обозначают их соответственно Ъу (х), Ьу" (х). и т. д. Заметим, что (Ьу (х)) = = 6у (х), т. е. символ б можно выносить за знак дифференцирования. [c.304]

Здесь удельная элементарная работа представлена сверткой тен вора Q, называемого поэтому энергетическим тензором напряжений, с вариацией первой меры деформации. [c.43]

Вариация первой части при гипотетическом смещении дана в 162. Для второй части имеем [c.317]

При малом отклонении от состояния равновесия рассматривается вариация первого порядка от энтропии, причем значения приведенных [c.29]

Рассмотрим, например, использование свойства стационарности функции О. Для двухфазной системы, находящейся при постоянной температуре Т и давлении Р, функция О должна быть, стационарной. Это означает, что при переходе некоторой массы вещества 8т из одной фазы в другую вариация первого порядка от функции О должна равняться нулю [c.22]

Для сокращения числа вариантов можно в первую очередь учитывать активные ограничения в усредненном варианте и рассматривать вариацию правой части ограничений bi только для их активной части [12]. [c.80]

Частное решение уравнения (6. 8. 37) нетрудно найти при помощи метода вариации произвольной постоянной. Первое из однородных решений (6. 8. 36), очевидно, удовлетворяет граничному условию (6. 8. 27) на бесконечном удалении от поверхности пузырька. Граничное условие на поверхности пузырька (6. 8. 23) или (6. 8. 24) может быть удовлетворено путем подбора произвольных постоянных для всех членов с т — 0. [c.283]

Спецификой вероятностных расчетов резьбовых соединений в плане курса деталей машин является установление коэффициентов вариации основных параметров напряжений начальной затяжки, напряжений от суммарной нагрузки, пределов выносливости и коэффициента концентрации напряжений. За средние значения этих параметров в первом приближении можно принимать приведенные выше в этой главе значения. [c.119]

В начале рассматриваем коэффициент вариации предела выносливости точно изготовленных деталей из материала одной плавки ui, являющейся функцией I./0 (рис, 16.11), где L — наиболее напряженная часть периметра или весь периметр поперечного сечения детали градиент первого [c.329]

Индексом 1 здесь отмечено, что вариация берется вдоль характеристики первого семейства. Индексы 1 и 2 будут использоваться для указания семейств характеристик, вдоль которых вычисляются вариации и производные. [c.72]

Вычислим первую вариацию функционала (2.31). Отметим важное различие между вычислением вариации исходного функционала (2.20) и записанного здесь функционала (2.31). В первом случае варьирование производилось без учета ограничений, налагаемых на функции клас-са Во второй случае искомая функция а(у) уже не свободна на участке ск. [c.76]

Она остается свободной только на отрезке Ьк, а конец к этой экстремали лежит в области сак с заранее определенными функциями а х,у), д х,у). Таким образом, первое слагаемое правой части (2.31) является функцией от ус, а второе слагаемое — функцией от хн, Ун- Если во втором случае удастся добиться обращения в нуль первой вариации, то это не означает, что первая вариация функционала (2.20) также обратится в нуль. Наоборот, она, вообще говоря, не равна нулю, поскольку 0 на ск. На характеристике ск допустима односторонняя вариация 6а. Необходимым условием минимума х является увеличение х допустимых вариациях 6а. [c.76]

В качестве направлений, по которым варьируется положение точки к, выберем касательные к характеристикам первого и второго семейства в точке к. Соответствующие вариации величины у в точке к обозначим через 6у и 6у 2. [c.76]

Первая вариация I принимает вид соверщенно аналогичный (2.22) [c.77]

При вычислении первой вариации функционала Г необходимо учесть следующее. Сумма первых двух членов в (3.2), как это следует из (3.3), является функцией от координат и уп точки Л. Величина уь задана, и вариация от нее равна нулю. Вычисления дают [c.90]

Первая вариация SJ равна [c.98]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

В равенство (4.2) входят также производные от вариаций величин /3 и ф. Используя полученный здесь вывод о малости вариаций /3, 6ф, 6X2, 6Xs, а также первое и третье уравнения (4.4), находим, что порядки величин 5/3, 6ф и 6а совпадают. [c.111]

Вернемся к выражению для первой вариации (4.1). Вычислим [c.115]

Критерием равновесия является, таким образом, условный максимум энтропии для равновесия изолированной системы необходимо и достаточно, чтобы при всех возможных (не нарушающих постоянства энергии и внешних свойств) изменениях ее состояния вариация энтропии системы не была положительной. Под вариацией в этой формулировке -понимается, вообще говоря, полная вариация, V5, которая ооглаоно правилам дифференциального исчисления связана с вариациями различных -порядков малости бесконечным рядом VS = 65 + + 625/2 + 6 5/6-1-.... Это уточнение существенно для анализа устойчивости равновесного состояния и будет использовано в дальнейшем. Пока же можно ограничиться выражением критериев равновесия через вариации первого порядка малости. Тогда для изолированной системы [c.103]

В сформулированных в предшествующем разделе критериях равновесия термодинамических систем также не в полной мере использованы следствия второго закона о максимальности энтропии изолированной системы или о минимальности термодинамических потенциалов при тех или иных условиях равновесия. Действительно, знаки неравенств для вариаций первого порядка в (11.1), (11.13) и других критериях соответствуют виду экстремума энтропии, внутренней энергии и т. д., но эти знаки, как отмечалось, относятся к особому случаю граничного экстремума характеристической функции. Если же последняя имеет в равновесии стационарное значение, то вопрос о виде экстремума (минимума, максимума или точки пЬрегиба) при использовании (11.1), (11.13), (11.31) и других остается открытым и для ответа на него надо дополнить указанные критерии соответствующими условиями устойчивости равновесия [c.115]

Устойчивость теплового равновесия. В статике максимум потенциала соответствует неустойчивому равновесию в термодиналнше, однако, неустойчивое равновесие не может существовать. Неравенства (3.28) или (З.ЗОа) — (З.ЗОд) означают, что необходимым условием равновесия является равенство нулю вариации первого порядка. Выполнение этого условия не гарантирует, однако, устойчивости равновесия. Необходимо, чтобы условие гинимума или максимума удовлетворялось и во втором (или более высоких) порядке (см. 8). [c.152]

Вариация первого порядка от этого выражения, поскольку ( о) = зопз1, есть [c.61]

Уравнения (54) упрощены. При написании полных уравнений в вариациях первого порядка следует учитывать, что вариации параметров линейной системы и правых частей (краевых условий) независгалы. Поэтому в правой части (54) появляются члены второго порядка, содержащие произведения вариаций двух х>азличных типов. Погрешности предсказания дебитов в окрестности рабочего режима линейно зависят от погрешностей оценок параметров. Это позволяет совсем просто рассчитать ковариации прогнозов. [c.60]

Если окончательный этап построения пространственнографической модели подразумевает полную определенность в отношении структуры оригинала, то на начальных его этапах возможность использования неполных изображений ничем не ограничена. А преимущества моделей, основанных на не полностью определенных проекциях, выявляются с несомненной очевидностью, так как они не только позволяют устранить сложные геометрические построения, но и дают возможность вывести процесс вариации композиционных связей на первый план. [c.37]

Вычислим первую вариацию функционала I. При этом необходимо учесть следующее. Первый интеграл в (2.20) есть функция от ус. Вариации Рс7 б11)с, бус связаны, поскольку характеристика ас задана. Вариации буь и б1рь равны нулю, поскольку величины уь и -фь фиксированы. Учитывая все это, получаем [c.71]

Воспользуемся выражением для первой вариации 61 в форме (2.21), но в качестве контрольного контура выберем аЛЬ, как это было сделано в 3.2.4. При выводе выражения (2.33) было установлено, что вариация I за счет перемещения точки к по направлению характеристики второго семейства равна нулю. Это объясняется тем, что в силу непрерывности функций в точке к имеет место равенство Фье = Фм- Характеристика ак является линией разрыва производных от функций а(х,у), в х,у). Поэтому и производные от Ф е и Фнь на ак не совпадают. Имея ввиду вычисление второй вариации, включим в выражение для 61 и член с 6ул2 В этом случае будем иметь [c.108]

Выражение для первой вариации 61 в этом случае будет отличаться от (2.33) только членами, содержашими вариации от ун- Найдем их. Снова используем двойную индексацию. Как и раньше, будем иметь [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...