Преобразования канонического достаточное условие

Равенства (12) выражают необходимые и достаточные условия того, чтобы преобразование (6) было каноническим. В случае преобразования, зависящего от времени t, условия (12) сохраняются, только они должны выполняться при любом значении t. [c.183]

Поэтому заключаем, что равенства (31 ) в новой форме дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование (28) было вполне каноническим. [c.265]

Из условия, что канонические преобразования образуют группу [163], вытекает, что а, Р как функции t, также являются каноническими переменными и, следовательно, выполняются необходимые и достаточные условия каноничности преобразования типа (17), выраженные с помощью скобок Пуассона [c.203]

Они представляют другую запись необходимых и достаточных условий каноничности преобразования (3). Фундаментальные скобки Пуассона (5.7) также являются инвариантами канонического преобразования. Более общий характер имеет следующее предложение функции и, V рассматриваются сначала как зависящие от старых переменных, потом — от новых, связанных со старыми каноническим преобразованием. Тогда [c.520]

Подчеркнем, что исходные равенства (9.157) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнения движения в переменных (/, р и переменных Q, были каноническими. Следовательно, тождественное удовлетворение равенства (9.161) данным преобразованием (9.154) при некоторой функции ф и постоянной с является необходимым и достаточным условием каноничности этого преобразования. Иначе говоря, если дано каноническое (преобразование, то оно обращает (9.161) в тождество при некоторой функции Ф и постоянной с и, обратно, если дана произвольная функция Ф и постоянная то преобразование вида (9.154), обращающее (9.161) в тождество, является каноническим. [c.429]

Следовательно, эта формула дает необходимое и достаточное условие того, что преобразование (13) не изменяет гамильтонову форму (12) производных Лагранжа очевидно, что найденные условия для такого канонического преобразования не зависят от вида функции Б(г, ). Найти ) по ее 2п частным производным можно только с [c.25]

Канонические преобразования. Необходимое и достаточное условие каноничности преобразования [c.304]

В этой главе было показано, что инвариантность фундаментальных скобок Пуассона представляет необходимое условие того, что преобразование является каноническим. Можно, однако, показать, что это условие является и достаточным. [c.298]

Задача 1. Используя правила дифференцирования неявной функции, показать, что для любого преобразования координат от Яь Pi к Qi, Pi, удовлетворяющего условию (7.6.5), оказываются инвариантными произвольные скобки Лагранжа [и, v. Отсюда видно, что условия (7.6.5) являются не только необходимыми, но и достаточными для определения канонической природы преобразования. [c.247]

До сих пор веществен 1ые функции и у канонического преобразования были произвольными при условии выполнения равенства (39.22). Выберем теперь эти функции таким образом, чтобы обратить в нуль оператор (39.25). Для этого достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство [c.287]

Условие каноничности преобразования (5.92) или (5.93) мы> получили, предположив, что сохраняется форма канонических уравнений, т. е. доказали его необходимость. Покажем теперь,, что это условие достаточно (здесь удобна форма (5,93)). [c.309]

Билинейная дифференциальная форма. В любой теории преобразований имеются основные величины, которые при преобразовании не меняются. Они являются основными инвариантами, которые определяют собой природу преобразования. Начав изучать канонические преобразования, мы установили инвариантность дифференциальной формы 2 pibqi, откуда следовала инвариантность канонических уравнений. Однако затем выяснилось, что канонические уравнения остаются инвариантными и при более общих условиях. Необходимое и достаточное условие каноничности [c.240]

Достаточное условие для обеспечения каноничЕСКой природы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Послй ЭТОГО отступления возьмем снова любую каноническую систему [c.254]

Равенства (17) также выражают необходимые и достаточные условия каноничности преобразования (3). Скобки Пуассона инвариантны относительно унивалснтных канонических нрсоб-р (зоваиий. [c.198]

В виде ПОЛНОГО интеграла, содержащее нужное число постоянных, мы будем рассматриаать в связи с применением метода Гамильтона—Якоби в следующем параграфе. Там же укажем некоторые приемы разделения переменных. Для решения задачи, связанной с получением нужных формул канонического преобразования, нам достаточно найти решение любого вида (в том числе и особый интеграл) — важно, чтобы выполнялось условие (5.128). [c.320]

С. Ли ) полностью определил все канонические преобразования посредством одного дифференциального условия, которое мы укажем, пользуясь исследованиями, принадлежащими Морера ), в ближайшем п. 10, причем ограничимся лишь подтверждением достаточности. Для этого здесь необходимо предпослать некоторые вспомогательные рассуждения. [c.252]

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Отметим, что условия каноничности (30.2) и (30.4) удобны для анализа преобразования на каноничность, хотя бы потому, что не требуют дополнительных усилий на выбор независимых координат, но неудобны для синтеза каждое из условий (30.2) и (30.4) — система из нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций рг(1,ц,р). При дополнительных условиях для синтеза канонического нреобразования достаточно знать п функций fi t,q,p) из набора Цг 1,д,р), рг 1,д,р). Одно из условий — инволютив-ность. [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...