Интеграл по замкнутому контуру

Проинтегрируем равенство (119) по контуру С. Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала dF равен нулю, получаем [c.317]

Функции процессов могут зависеть от тех же термодинамических переменных, что и функции состояния, т. е. свойства системы, но в отличие от последних они в общем случае зависят и от способа (пути) изменения переменных при переходе системы из одного состояния в другое. Поскольку и функции процессов, и функции состояния входят совместно в уравнения термодинамики, часто возникает необходимость различать их по каким-либо формальным математическим признакам. Один из таких признаков можно указать, рассматривая процесс, в конце которого термодинамические переменные приобретают свои начальные значения, т. е. система в результате ряда изменений возвращается в свое исходное состояние (круговой процесс или цикл). В соответствии с данными выше определениями для любых функций состояния У криволинейный интеграл по замкнутому контуру в пространстве термодинамических переменных [c.40]

Действительно, интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала 6Е равен нулю. [c.386]

Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому второй из написанных интегралов исчезает и остается [c.30]

Второй интеграл по замкнутому контуру как интеграл функции состояния 5ц равен нулю [c.59]

Это значит, что и первый интеграл по замкнутому контуру также равен нулю [c.59]

Интеграл по замкнутому контуру от второго члена правой части равен нулю, поэтому (14.2.6) можно переписать следующим образом [c.459]

Таким образом, при обтекании ротора происходит явление, подобное тому, которое возникает при обтекании крыла. Кинематической характеристикой поля, возникающего около ротора или крыла, является циркуляция скорости Г. Под ней понимают интеграл по замкнутому контуру, взятый от произведения скорости касательной к контуру С на элемент контура 41 рис. 76, б) [c.125]

П е р в ы й с л у ч а й. Представим интеграл по замкнутому контуру как сумму интегралов, взятых по составляющим его процессам (рис. 9.3, а) [c.123]

Если система совершает круговой процесс (цикл), то соответствующий интеграл по замкнутому контуру равен нулю [c.34]

По теореме, связывающей интеграл по замкнутому контуру с интегралом по поверхности, ограниченной этим контуром [c.30]

Циркуляция г вектора а есть линейный интеграл по замкнутому контуру при заданном направлении обхода [c.192]

Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру фиг. 16, состоящему из контура Р и дуги окружности, имеющей центр в начале координат и лежащей над контуром Р. Таким образом, подинтегральная функция не имеет ни одного полюса внутри этого контура, и потому интеграл по всему контуру равен нулю. Когда радиус окружности стремится к бесконечности, интеграл по дуге этой окружности равен нулю при х положи- [c.222]

Напомним, что Q — тепло, подводимое извне к системе (или отводимое от нее), А L — работа, совершаемая системой (или совершаемая над системой). Поскольку внутренняя энергия U является функцией состояния и, следовательно, ее интеграл по замкнутому контуру равен нулю (т. е. по возвращении рабочего тела после осуществления цикла в исходное состояние внутренняя энергия рабочего тела принимает первоначальное значение), получаем отсюда [c.47]

Отсюда следует, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю [c.20]

Интеграл по замкнутому контуру L от сопряженной скорости обладает следующими свойствами [c.36]

В этой главе обозначает интеграл по замкнутому контуру, обходимому против часовой стрелки. Область 5 внутри контура расположена слева от направления обхода. [c.382]

Последний интеграл по лемме Жордана равен нулю. Согласно теореме Коши о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен сумме вычетов [c.181]

Интеграл по замкнутому контуру (1.11) можно представить в виде суммы интегралов по отрезку вещественной оси MN, дугам окружностей NP и MQ и петле L вокруг точки ветвления. При предельном переходе, когда отрезок MN охватывает всю вещественную ось, вследствие выбора контура в верхней полуплоскости и наличия экспоненциально убывающего множителя в подынтегральной функции получаем [c.84]

При однозначности функции П (однозначность очевидна) контурный интеграл по замкнутому контуру от дифференциала равен нулю, так что [c.158]

Поток Txs вынесен за знак интеграла по замкнутому контуру, так как в силу (6.6.3) он постоянен но контуру. Рассмотрим подробнее интеграл h(s) ds. Из рис. 6.38 видно, что ds — это [c.146]

Магнитодвижущая сила (циркуляция напряженности магнитного поля). Согласно закону полного тока интеграл по замкнутому контуру скалярного произведения Н М, где М — элемент контура, пропорционален алгебраической сумме всех токов, охватываемых контуром [c.206]

Применим уравнение (9) к циклу 12(1341 (рис. 2), взяв интеграл от обеих частей уравнения по замкнутому контуру цикла. Так как в правой части стоит полный дифференциал от однозначной функции состояния, то интеграл по замкнутому контуру должен быть равен нулю [c.291]

Выясним смысл величины д. Подсчитаем расход жидкости Q через контур, охватывающий начало коор-динат. Записывая интеграл по замкнутому контуру как интеграл от А до В, где А и В — совпадающие точки контура, получим [c.137]

Все векторные операции производятся здесь, конечно, в двухмерной системе координат х, у. Первый интеграл справа преобразуем в интеграл по замкнутому контуру, охватывающему пла стинку ) [c.63]

ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ ОТ ДИСЛОКАЦИЙ. Воль-терра (1907 г.) разработал теорию внутренних напряжений в упругих телах, образующихся в результате вырезания части тела и соединения краев разреза, причем интеграл по замкнутому контуру от градиента смещений имеет конечное приращение Ь. Аналогичную картину можно представить при образовании краевой или винтовой дислокаций. Таким образом, задолго до появления теории дислокаций в теории упругости были решены общие задачи, использование которых оказалось эффективным для исследования поля напряжений от дислокаций. [c.43]

Зависимость работы от характера процесса приводит к ряду важных физических и математических следствий. Действительно, если подынтегральное выражение не является полным дисрфереициа-лом некоторой функции, то интеграл по замкнутому контуру от такого выражения в общем случае ие равняется нулю. Следовательно, при замкнутом термодинамическом процессе (цикле) 1-2-3 1 (рис. 6, б) система получает от окружающей среды (или отдает ей) некоторое ко- [c.28]

Известно, что если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подьштегральная величина является полным дифференциалом, что и определяет неизменность ее численного значения независимо от пути, по которому подынтегральная величина приходит к первоначальному значению. Между тем величины q и I являются функциями не состояния, а процесса, и характер последнего всецело определяет их численные значения. Из рис. 2-2 можно убедиться в том, что в различных процессах изменения состояния рабочего тела затрачивается различная работа, определяемая величиной площади, расположенной под кривой соответствующего процесса соответственно рабочему телу сообщается или отводится от него различное количество тепла. В связи с этим величинрл q и I (или dq и dl) представляют собой количества тепла или работы, затраченные или полученные соответственно в конечном или элементарном процессе изменения состояния рабочего тела. Сообразно рассмотренным выше свойствам величины и / не являются параметрами состояния рабочего тела и не имеют полных дифференциалов. По отношению к ним не применимо уравнение вида(2-11). [c.24]

Соотношение (14,9) дает нам количественную формулировку второго закона термодинамики для произвольнсго обратимого цикла. Ранее мы установили, что если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции [c.83]

Из теоремы Коши следует, что интеграл по замкнутому контуру равен произведению 2tzI на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции внутри контура. [c.307]

В справедливости представления (IX.67) легко убедиться на основе полученных выше результатов. Действительно, функция (IX.67) всюду, кроме контура L, удовлетворяет уравнению (IX.6), поскольку функция Ф (г, i) является решением этого уравнения. При р = О из формулы (IX.67) приходим к представлениям (VIII.28) и (IX.64). Из соотношения (IX.52) видно, что скачки функции (IX.67) и ее производных до третьего порядка включительно при переходе через контур L будут такими же, как и в случае плас-тины, т. е. величины 1и] и т. д. в формуле (IX.67) действительно являются скачками смещений и и т, л. Заметим, что представление (IX.67) можно получить также с помощью теоремы взаимности Бетти для пологих оболочек. В частности, можно воспользоваться построенным таким путем в работе [17] представлением функции прогиба W (х, у) через интеграл по замкнутому контуру С. Как следует из структуры уравнений (IX.3), аналогичное представление для функции напряжений ф (х, у) получается из представления для W (х, у), если в последнем заменить ф и ш на —EhDw и ф соответственно. Стягивая затем замкнутый контур С к контуру L, приходим к формуле (IX.67). Однако предложенный здесь подход имеет некоторые преимущества, поскольку на основе аналогии с задачами для пластины можно использовать многие полученные выше результаты. В частности, аналогично соотношениям (VIII.30) и (IX.60) для функции (IX.67) будем иметь представление [c.284]

Свойство инвариантности позволяет произвольно деформировать контур интеп>ирования Г-интеграла по незамкнутому контуру, не изменяя величины интеграла, если концы контура неподвижны и контур при деформировании не пересекает особых точек и особых линий поля. Величина Г-интеграла по замкнутому контуру (любой связности), содержащему внутри себя особые точки и особые линии поля, не изменяется при любой деформации контура, если при деформировании контур не пересекает особых точек и особых линий поля. Поэтому величину Г-интеграла по замкнутому контуру, содержащему внутри себя одну особую точку поля, можно считать основным физическим параметром, характеризующим состояние поля в этой точке. Точно так же величину Г-интеграла по контуру [c.12]

Результаты дальнейших исследований упруго-пластических полей и расчета tJ -интеграла по замкнутому контуру с измерением чрезвычайно локализованной деформации у вершины больших и малых усталостных трещин приведены в работе [274]. Кинетику роста усталостных трещин изучали в колонне растрового электронного микроскопа (РЭМ), оснащенного специально сконструированным стендом для циклического нагружения [282]. Это позволило непосредственно наблюдать перемещение вершины трещины во время циклического нагружения и построить поля перемещений и дефс з-маций у вершины трещины методом стфеоизображения [283], что в свою очередь позволило определить "локальные" значения ЛУ-интеграла внутри пластической зоны вблизи (около) вершины трещины в образцах с номинально упругим нагружением. [c.183]

Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно—если область течения О имеет дырку, как на рис. 18, то интеграл по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это физически очевидно в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на V могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации у внутри области О величина интеграла не меняется. Мы проверим этот факт в его простейшей математической постановке пусть область О ограничена двумя кусочно гладкими кривыми уо и Уь которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция / аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание О (так называется область вместе с ее границей) мы покажем, что в этих условиях [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...