Лагранжево включение

Топология лагранжевых включений [c.150]

Топология лагранжевых включений 151 [c.151]

Топология лагранжевых включений 153 [c.153]

Топология лагранжевых включений 155 [c.155]

Дж. Най (I. Куе, 1984)заметил, что не все метаморфозы каустик и фронтов реализуются при движении фронта, определяемом уравнением эйконала (или Гамильтона — Якоби). Например, каустика системы лучей не может иметь вид губ с двумя точками возврата (хотя каустика лагранжева отображения — может). Дело в том, что включение лагранжева или лежандрова многообразия в гиперповерхность, заданную уравнением Гамильтона — Якоби или эйконала, накладывает топологические ограничения на сосуществование, а значит, и на метаморфозы особенностей (особенно в случае невырожденного, например, строго выпуклого по импульсам гамильтониана),— хотя сами по себе особенности реализуются и на гиперповерхности. [c.455]

Заканчивая эту книгу, я не могут сказать, что закончен труд... У меня нет ощущения завершенности, чувствуется, что книгу можно продолжать и дальше. По своему стилю она очень близка к старой, но сейчас прочно забытой в научной литературе форме - этюдам . А эта книга — этюды о новых направлениях и новых методах в математической экологии , появившихся в последнее десятилетие. И каждые несколько лет появляется что-то новое — этот процесс бесконечен. Например, бьшо бы интересно использовать для описания динамики биосистем такой объект, как дифференциальные включения — естественное обобщение дифференциальных уравнений, учитывающее гораздо большую дисперсию свойств биологических систем по сравнению с физическими. Или, например, такие системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых сама размерность фазового пространства является фазовой переменной, динамика которой зависит от поведения других переменных. Такие на первый взгляд необычные объекты самым естественным образом возникают при описании трофических цепей. А иногда происходит новое рождение старых забытых концепций, например концепции устойчивости Лагранжа. Почти сто лет безраздельно господствует в науке и технике ляпуновская устойчивость. Ее концепции и аппарат идеально отвечают потребностям техники. Но оказалось, что концепциям экологической стабильности более близка лагранжева, а не ляпуновская устойчивость. [c.359]

Естественным путём определения особых лагранжевых многообра зий является рассмотрение изотропных отображений многообразий, имеющих подходящую размерность (равную половине размерности объемлющего симплектического многообразия). Такое отображение называется лагранжевым включением, если его особые точки образуют подмногообразие меньшей размерности. [c.150]

Гипотеза Гивенталя. Лагранжевы включения поверхностей, единственными особенностями которых являются раскрытые зонтики и, разумеется, самопересечения), плотны в пространстве всех лагранжевых включений. [c.151]

Лучи (характеристики гиперповерхности), проходящие через точки начального многообразия, образуют (локально) подмногообразие в (2п — 2)-мерном симплектическом многообразии характеристик. Это подмногообразие изотропно и в общем случае [п — 1)-мерно. При п = 3 это подмногообразие является лагранжевым включением поверхности. В [8] Гивенталь доказал, что единственными особенностями соответствующих лагранжевых включений являются раскрытые зонтики (при условии, что начальное многообразие принадлежит некоторому открытому и плотному множеству в пространстве всех подмногообразий размерности п - 1). [c.151]

Естественная проекция (определяемая кратным дифференцировав нием многочленов) отправляет 2тп-мерное пространство многочленов степени 2т - - 1 в (т - - 1)-мерное пространство многочленов степени т + 2. Этой проекцией раскрытый ласточкин хвост размерности т отображается на обычный тп-мерный ласточкин хвост (образованный многочленами, имеющими кратный корень). Это отображение однозначно везде, за исключением линии самопересечения ласточкина хвоста (при п = 2). Каждая точка этой линии, за исключением вершины ласточкина хвоста, имеет 2 прообраза на раскрытом ласточкином хвосте. Топологически раскрытый ласточкин хвост гомеоморфен евклидову пространству. Этот гомеоморфизм сохраняет все особенности обычного ласточкина хвоста, за исключением самопересечений. Таким образом, поднятие обычного ласточкина хвоста на раскрытый (топологически эквивалентное нормализации в алгебраической геометрии) упрощает топологическую структуру и разрезает некоторые петли в точках самопересечения. Название раскрытый как раз и отражает этот факт. Как мы увидим ниже, раскрытые ласточкины хвосты управляют особенностями систем лучей на препятствии. Здесь же мы используем эти тп-мерные особые лагранжевы многообразия для определения раскрытых зонтиков. Забудем про симплектическую структуру объемлющего 2т-мерного пространства. Конормальйое расслоение т-мерного раскрытого ласточкина хвоста лежит в 4тп-мерном симплектическом пространстве кокасательного расслоения над пространством многочленов. Это многообразие лагранжево, чётной размерности 2т, оно является образом лагранжева включения. [c.152]

Как было упомянуто выше, поверхности с ненулевой эйлеровой характеристикой не могут быть иммерсированы в симплектические пространства как лагранжевы подмногообразия. Однако, Гивенталь построил лагранжевы включения в стандартное симплектическое 4-пространство поверхностей с произвольной эйлеровой характеристикой [c.153]

Рассмотрим произвольное лагранжево включение поверхности в симплектическое многообразие M . Гивенталь доказал, что [c.154]

Из приведённой выше конструкции Гивенталя следует, что уничтожение пар раскрытых зонтиков лагранжевых включений поверхности возможно, если поверхность имеет достаточное число ручек. [c.156]

Неизвестно, допускают ли бутылка Клейна, проективная плоскость И поверхность эйлеровой характеристики —1 гомеоморфные лагранжевы включения в стандартное 4-пространство (включения, имеющие раскрытые ласточкины хвосты и самопересечения, были построены Гивенталем в [141]). [c.157]

Лагранжа двойственность 175 Лагранжа множители 175 Лагранжев (цилиндрический) кобордизм 116 Лагранжев идеал 207 Лагранжев край 115 Лагргшжева особенность 26 Лагранжева эквивалентность 25 Лагранжево включение 150 Лагргшжево двойственная функция 175 Лагранжево многообразие 22 [c.334]

Рассмотрим турбулентное течение воздуха с частицами углерода диаметром 5 и 50 мк при колшатной температуре и атмосферном давлении. Исходные физические параметры имеют следующие значения V = 0,157 см сек, р = 1,18-10 г см , Рр = 2,25 г см , что дает для частиц меньшего и большего размеров соответственно а = 7,52-10 и а = 7,52-10 сек- р = 0,00079. Лауфер 14701 показал, что при полностью развитом турбулентном течении воздуха в трубе диаметром 254 мм и Не == 5-10 турбулентность на оси трубы практически изотропна и ее интенсивность равна 85,5 см сек, что соответствует примерно 2,8% скорости на оси, или 80% скорости трения. На фиг. 2.7,а представлены данные работы [4701 по энергетическому спектру турбулентности. Включение этих данных в используемую здесь лагранжеву систему осуществлено по методу Майкельсона [24, 537]. На фиг. 2.1,а приведены две кривые, характеризующие изменение в зависи- [c.55]

В области Q рассмотрим движение сплошной композитной среды М, представляющей собой объединение среды-окружения Л/а и нескольких сред-включений Л/р. Пусть в этой области построено множество функций Lk, определяющих по формуле (1.2.95) поле скоростей среды-окружения. В областях Qp Q, занятых средами-включениями, множество лагранжевых координат построим на множестве ла-гранжевых координат среды-окруж шя как на основном решении [c.81]

Достаточно простым и эффективным способом феноменологического моделирования процесса разрушения как для однородных материалов, так и для компонентов КМ с учетом их взаимодействия при реализации явных схем расчета являются корректировка напряжений в расчетных ячейках или дискретных элементах при превышении напряжений, деформаций или их комбинаций заданных предельных значений и последующее изменение жесткостных соотношений между приращениями деформаций п напряжений. Некоторые варианты таких способов моделирования разрушения в однородных материалах приведены в работах [100, 109, 136]. Образование в теле несплошностей или трещин требует использовать в расчетах трудоемкие алгоритмы перестройки сетки [52, 53] с выделением способных поверхностей и отслеживанием взаимного расположения границ образовавшихся пустот. Существенное упрощение таких алгоритмов достигается включением в расчет разрушенных элементов , которые представляют собой дискретные элементы или лагранжевы ячейки из материала с измененными (ослабленными) жесткостными свойствами. При этом не возникает необходимости в перестройке сетки и выделении свободных поверхностей. Описание разрушенного материала может быть проведено на континуальном уровне путем включения в определяющие соотношения — закона связи между напряжениями, деформациями и их приращениями — дополнительных параметров плотности, пористости, микроповрежденпп и других феноменологических величин, изменение которых задается функциональной связью, полученной в результате обработки экспериментальных данных, например по откольному разрушению [9, 19, 34, 50, 61, 70, 108, 153, 155-157, 187, 210]. К этим вопросам примыкают исследование и разработка моделей пористых материалов [108, 185, 211, 212], например, для определения зависимости давления от плотности и пористости, модуля сдвига и предела текучести от величины пористости материала. [c.30]

В разд. 2.2 описываются различные примеры конечных элементов, являющихся или и-симплексами [симплициальные конечные элементы), или -прямоугольниками (прямоугольные конечные элементы) со всеми степенями свободы—значениями в точках (лагранжевы конечные элементы) или некоторыми степенями свободы — производными по направлениям (эрмитовы конечные эле-менгы), что приводит к включению Хд(=Я (й) (конечные элементы кло1(а ё ) или включению Х (=Я ( 2) (конечные элементы класса й ), если они объединяются в пространство конечных элементов Х/у [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...