Пространство компактное локально компактное

Пространство R локально компактно, а движение f p, О не устойчиво по Лагранжу в положительном направлении. [c.105]

Определение. Пусть X — локально-компактное пространство и У — метрическое пространство. Для любого f из пространства Мар(Х, У) непрерывных отображений из X в У мы определим семейство N1 (/) как базу окрестностей отображения / следующим образом для любого компактного подмножества К С X и любого > О обозначим через (/) множество всех Мар(Х, У), удовлетворяющих условию [c.44]

Так как конечномерное гладкое многообразие обладает естественной локально компактной топологией, теория гладких динамических систем естественно использует понятия и результаты топологической динамики. Другая, более глубокая, причина зависимости дифференциальной динамики от топологической состоит в том, что при изучении асимптотического поведения гладких динамических систем часто возникают весьма сложные негладкие явления, которые в других ситуациях были бы отброшены как патологические. В частности, некоторые важные инвариантные множества гладких систем, например аттракторы (см. определение 3.3.1), могут не обладать никакой гладкой структурой, и, следовательно, такие множества должны исследоваться с другой, негладкой, точки зрения. Символическая динамика, область, изучающая специальный класс топологических динамических систем, которые возникают как замкнутые инвариантные подмножества преобразования сдвига в пространстве последовательностей (см. 1.9), является особенно важной в этом отношении. Для дальнейшего рассмотрения связей между топологической и гладкой динамикой мы отсылаем читателя к 2.3. [c.22]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

В некоторых специальных случаях автоморфизмы и эндоморфизмы некомпактной локально компактной группы определяют преобразования компактного однородного пространства этой группы. Примеры такого рода рассматриваются в 17.3, где С — нильпотентная, но не коммутативная группа Ли. [c.241]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

Так как концы любого отрезка геодезической переставляются симметрией, соответствующей его середине, и любые две точки могут быть соединены геодезической ломаной, группа изометрий глобально симметрического пространства, равно как и компактного локально симметрического пространства, очевидным образом, действует транзитивно на самом пространстве. [c.555]

С другой стороны, иногда фазовое пространство ие является ни компактным, ни локально компактным. Таковы бесконечномерные функциональные фазовые пространства, с которыми [c.166]

ТОПОЛОГИЯ, определенная на пространстве В , Подмножество s4 топологического пространства называется относительно компактным, если его замыкание в компактно. Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает открытой окрестностью, которая относительно компактна. [c.79]

Говорят, что действительная функция /, определенная на локально компактном пространстве имеет компактный носитель, если существует компактное подмножество Е в пространстве такое, что / = О на — Е. Обозначим через о класс всех непрерывных функций f ->R с компактным носителем. [c.79]

ГЛ. 5, 4, п. 3] в ш ТОПологии. Рассмотрим далее линейное пространство 21 как подмножество пространства, сопряженного (двойственного) с пространством, сопряженным с 21 (т. е. рассмотрим элементы пространства 21 как линейные функционалы на 21 ). Пространство 21 полно в 21 в том смысле, что из равенства (х Л) = 0 для всех Л е 21 следует заключение о равенстве нулю элемента х - Таким образом, 9Г, если его снабдить -топологией, становится локально выпуклым топологическим линейным пространством [91, гл. 5, 3, п. 3]. Множество в -топологии является компактным подмножеством локально выпуклого топологического пространства и, следовательно, содержит некоторые крайние точки [91, гл. 5, 8, п, 2]. Это позволяет дать ответ на заданный нами ранее вопрос о существовании чистых состояний. Кроме того, поскольку множество выпукло, по теореме Крейна — Мильмана [91, гл. 5, 8, п. 4] оно совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек (т. е. с пересечением всех замкнутых выпуклых подмножеств пространства 2[ , содержащих крайние точки множества 6). Обозначим через множество всех чистых состояний на 21 (иначе говоря, 6 —множество всех крайних точек множества <5). Предположим теперь, что для некоторой пары (Л, В) элементов алгебры 2[ и всех выполняется неравенство (ф ЛХ(р В). Поскольку [c.85]

В этой связи отметим, что произведение (свертку) 3 можно было бы использовать для того, чтобы снабдить пространство ё с структурой группы. Излагаемый ниже метод по духу аналогичен методу, предложенному в гл. 2, 2, п. 3 для построения слабо непрерывных унитарных представлений локально компактных групп. [c.306]

Пространство компактное 78 -- локально компактное 78 [c.419]

Общее определение действия локально компактных групп на пространствах Лебега...........79 [c.6]

Общее определение действия локально компактных групп на пространствах Лебега. Пусть G — произвольная локально компактная сепарабельная группа, а (М, Ж, а,) — пространство Лебега. Имеются две возможности для естественного определения действия группы G на сохраняющего [c.79]

Теорема 3.1. Для всякого непрерывного действия с инвариантной мерой сепарабельной локально компактной группы О на пространстве Лебега существует и единственна [c.81]

Пусть теперь некоторая локально компактная группа и действует автоморфизмами измеримым образом на пространстве Лебега М, Ж, ц) с инвариантной мерой. [c.91]

ЛЕММА 4.8. В локально компактном пространстве R для всякого компактною в себе множества QSR существует такое е>0, кто 5(С, е) компактно. [c.36]

СЛЕДСТВИЕ 2.25. В локально компактном пространстве множество Ф р компактно. [c.106]

СЛЕДСТВИЕ 3.25. В локально компактном пространстве всякое почти рекуррентное движение рекуррентно. [c.106]

Так как в локально компактном пространстве для устойчивости + движения Др, ) необходимо и достаточно, чтобы [c.107]

ЛЕММА 3.26. Если V — окрестность простой точки покоя и V компактно, то / у,1) —локально компактное пространство. [c.115]

Доказательство теоремы 3.26. Поскольку р.является простой точкой покоя, то существует такая окрестность V = 8 р, Гд) этой точки, что ее замыкание компактно и не содержит других динамически предельных точек, кроме точки р. Рассмотрим множество Р = / у, /). По лемме 3.26 оно образует локально компактное пространство. [c.115]

Пространство называется локально компактным, ели для каждое егс точки существует окрестность с компактным замынакием. [c.36]

Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких Г. характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или нек-рого количества ф-ций). В физике используют в осн. Г. линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, Г. диффеоморфизмов гладких многообразий и Г. калибровочных преобразований. Теория таких Г. разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицат. характер эти Г. не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полпой системы унитарных представлений. [c.542]

Пусть X = GjH — однородное пространство, для к-рого локально компактная группа G является группой цреобразованн11, а замкнутая подгруппа Н — стабилизатором нек-рой точки. Для того чтобы на X существовало И. п., необходимо и достаточно, чтобы для всех h H выполиплось равенство Дд (/i) = Д//(/г). В частности, это верно в Случае, когда Н компактна или по-луироста. [c.137]

Представления некоторых групп. Коммутативные г Р У п п ы. Любое неприводимое унитарное представление локально компактной коммутативной группы одномерно, при этом каждому элементу группы ставится в соответствие комплексное число ехр(га). Любое представление коммутативной группы ограни-чеНнымй операторами в гильбертовом пространстве является суммой (дискретной, если группа компактна) одномерных представлений. [c.102]

Топологическая динамика. Фазовое пространство в этой теории — хорошее топологическое пространство, обычно метризуемое компактное или локально компактное (см. 1 приложения). Топологическая динамика рассматривает группы гомеоморфизмов и полугруппы непрерывных преобразований таких пространств. Иногда эти объекты называются топологическими динамическими системами. Так же, как и для эргодической теории, в рамках этой книги мы используем понятия и результаты из топологической динамики прежде всего в качестве инструментов для исследования гладких динамических систем. Хотя мы не пытаемся дать всеобъемлющее введение в топологическую динамику, в данной книге содержится много результатов, относящихся к этой теории, начиная с первого обзора примеров в гл. 1 и затем в гл. 3. В 4.1, 4.5 и далее 20.1 и 20.2 приведены фундаментальные связи между топологической динамикой и эргодической теорией. Некоторые результаты гл. 8 (например теорема 8.3.1), а также гл. 11 и 15 целиком посвящены специальным классам динамических систем без каких-либо предположений о дифференцируемости и поэтому относятся к топологической динамике. [c.21]

Лемма 1.4.2. Пусть f X—>X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44]

Теорема П1.22 (теорема Бэра о категории). В полном метрическом пространстве пересечение счетного множества открытых плотных подмножеств плотно. То же верно для локально компактных хаусдорфовых пространств. [c.697]

Определение П 6.6. Пусть X — сепарабельное локально компактное хаусдорфово пространство и В — сг-алгебра борелевских множеств, т. е. сг-алгебра, порожденная замкнутыми множествами. Тогда мера Бореля — это такая мера fi, определенная иа В, что fi B) <оо для компактных множеств В. [c.716]

Теорема П 6.7. Любая борелевская вероятностная мера ц на сепарабельном локально компактном хаусдорфовом пространстве X определяет пространство Лебега. [c.716]

Пусть Я — коммутативная (но не обязательно сепарабельная) С -алгебра. На основании тривиальным образом обобщенной теоремы 9 из гл. 1, 2 мы можем сказать, что 8 точно реализуется (т. е. изоморфно как алгебраически, так и метрически) С -алгеброй 6 (Г) всех непрерывных функций / ГС, где Г — компактное хаусдорфово пространство. Компактность пространства Г связана с принятым нами неявным допущением о том, что алгебра й содержит единицу. Если же мы потребовали бы, чтобы алгебра Я не содержала единицы, то Г было бы лишь локально компактным хаусдорфовым пространством и под (5 (Г) следовало бы понимать -алгебру, порожденную комплекснозначными непрерывными функциями на Г, обращаю- [c.185]

Прежде всего напомним читателю, что борелевские множества локально компактного хаусдорфова пространства Г мы определяли (стр. 79) как элементы сг-кольца Р (< ), порожденного всеми компактными подмножествами пространства Г. Подмножество 5 топологического пространства называется С б-под-множеством, если существует последовательность С/ открытых [c.188]

Груаша G (дискретная или локально компактная) называется амена-бельной, если на пространстве G, т), где т — левая мера Хаара на G, существует левоиивариаитиое среднее, т. е. такой линейный функциовал I, что 1(f) =l(f) для всех т) (здесь черта означает комплексное со- [c.82]

Теорема 3.3. Пусть О — сепарабельная локально компактная группа, эргодически действующая на пространстве Лебега (М, Ж, г) с инвариантной мерой, и спектр О дискретен. Тогда существуют компактная группа/С, гомоморфизм ф 0-5- С на плотную в К подгруппу и замкнутая подгруппа H zK такие, что действие С на М, Ж, д.) метрически изоморфно действию О сдвигами на элементы ф(0) в однородном пространстве К/В правых классов смежности, снабженном образом меры Хаара на К. [c.84]

Теорема 3.1 (Рамсей (А. Ramsey) [102]). Траекторное разбиение любой локально компактной недискретной группы со счетной базой на пространстве Лебега с квазиинвариантной мерой стабильно эквивалентно траекторному разбиению некоторой дискретной группы. [c.99]

Оказывается, что в локально компактных пространствах (каким является, например, я-мерное эвклидово пространство) условие 3.8 в теореме 1.8 излишне. Для доказательства этого установим вначале следующую лемму. [c.36]

ТЕОРЕМА 2.8. Для того, чтоб и в локально компактном пространстве R движение / р, ) било устойтвим по Лагранжу в положительном направлении, необходимо и достаточно, чтоб и множество 2 , било непустим и компактным. [c.37]

Для доказательства этой теоремы необходимо лишь установить, что в локально кoмпaкVнoм пространстве 7 из условий 1.8 и 2.8 теоремы 1.8 вытекает условие 3,8. Допустим, что локально компактно, Яр не пусто и компактно, а условие [c.37]

Предположим теперь, что пространство / локально компактно, а движение /(р, О не устойчиво +. В этом случ1ае все точки пространства / являются точками локальной компактности и на основании леммы 3.25 множество ЧР р=Л. [c.106]

ПРИМЕЧАНИЕ 1.25. В локально компактных пространствах существуют примеры, в которых Ор содержит единственное мг.нкмальное множество, а Для построения такого при- [c.107]

СЛЕДСТВИЕ 4.25. В локально компактном пространстве ЧрфА тогда и только тогда, когда компактно и содержит единственное минимальное множество М. При этом [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...