Производящая функция бесконечно малая

G g,p) производящая функция бесконечно малого контактного преобразования, [c.407]

Кстати говоря, из соотношений (15) непосредственно следует, что производящей функцией бесконечно малых канонических преобразований, реализующих действительное движение механической системы, является гамильтониан (с чем и связана его фундаментальная роль в механике и физике). В самом деле, взяв в качестве бесконечно малого параметра г = dtn положив G = Н, получим, используя канонические уравнения системы [c.234]

Для того чтобы показать это, вернемся к развитой ранее теории бесконечно малых преобразований (см. гл. VII, п. 7). Будем считать S-функцию Якоби производящей функцией бесконечной последовательности непрерывно изменя- [c.300]

Но из равенства (8.67) можно заключить, что бесконечно малое каноническое преобразование, осуществляемое такой производящей функцией, не изменяет величины гамильтониана Н. Поэтому можно высказать следующее утверждение [c.288]

Все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан. [c.288]

В качестве еще одной иллюстрации рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование, соответствующее повороту системы в целом на угол dQ. Физический смысл производящей функции этого преобразования, очевидно, не зависит от выбора канонических координат, и поэтому мы будем пользоваться декартовыми координатами точек системы. Кроме тог( , не уменьшая общности, можно считать, что рассматриваемый поворот совершается вокруг оси z. Тогда координаты каждой точки будут изменяться так, как будто система остается в покое, а координатные оси поворачиваются на угол — dQ. Поэтому с точностью до величин первого порядка относительно dQ мы будем иметь следующие выражения для новых координат [c.289]

Так как ось z может иметь произвольное направление, то мы приходим к выводу, что производящая функция, осуществляющая любой бесконечно малый поворот, имеет вид [c.290]

Скобки Пуассона и кинетический момент. Отождествление кинетического момента с производящей функцией вращения приводит к ряду интересных и важных соотношений, содержащих скобки Пуассона. Согласно равенству (8.66) изменение векторной функции F (q, р) при бесконечно малом повороте системы равно [c.290]

Первоначально производящей функцией была названа функция Р, но в случае бесконечно малого преобразования прикосновения обычно это наименование присваивается функции <5. Таким образом, уравнения (7.56 ) определяют бесконечно малые изменения сопряженных переменных, которые порождаются произвольной производящей функцией О. [c.101]

Канонические преобразования, производимые каноническими уравнениями. Основной относительный интегральный инвариант. КП, которые мы рассматривали, были конечными преобразованиями. Для того чтобы получить бесконечно малое КП, т. е. преобразование, близкое к тождественному, вспомним, что тождественное преобразование было дано формулами (88.22) соответственно следуя плану (88.20с), вводим производящую функцию [c.307]

До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые каноническими уравнениями. В приведенной выше интерпретации II) мы рассматриваем все точки пространства 2jv+2i как заданные бесконечно малыми перемещениями, соответствующими некоторому фиксированному бесконечно малому значению dw. Однако из групповых свойств КП следует, что последовательное выполнение бесконечно малых КП есть опять КП и, следовательно, приходим к заключению, что если мы переместим точки пространства Ег +2 вдоль лучей или траекторий с общим значением конечного приращения Дгг для всех их, то тогда результирующее преобразование пространства E2N+2 в себя будет конечным КП. Покажем теперь, как может быть построена производящая функция этого конечного КП (предполагается, что канонические уравнения движения интегрируемы). [c.308]

Теперь, если гамильтониан Я инвариантен относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого соотношениями (15) с производящей функцией G, то [c.234]

Бесконечно малые канонические преобразования. Рассмотрим фазовое пространство переменных / , q2,...,qh, ри Р2, , pk-Каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией W t, q, Q), определяет множество преобразований этого пространства с помощью формул преобразования [c.477]

Функцию Гамильтона Н называют в связи с этой теоремой производящей функцией канонического бесконечно малого преобразования . Заметим, что, в отличие от производящих функций 5, функция Н есть функция точки фазового пространства, инвариантно связанная с преобразованием. [c.237]

Но значения канонических переменных в любой момент времени удовлетворяют уравнениям движения (33.4). Поэтому преобразование (35.15) является каноническим. Исходя из таких представлений о механическом движении, можно далее показать, что все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями некоторых бесконечно малых (или непрерывных) канонических преобразований, не изменяющих гамильтониан механической системы. [c.201]

Соотношение (13.11) показывает, что при этом процессе движения функция Гамильтона определяющим образом входит в бесконечно малую производящую функцию. [c.80]

В силу общей формулы (7.5) для бесконечно малой производящей функции выполняется равенство [c.80]

Следовательно, здесь речь идет о бесконечно малом каноническом преобразовании, обладающем именно тем свойством, что подстановка в функцию Гамильтона преобразованных переменных в соответствии с равенством (14.1) приводит к такой величине ДЯ, которая связана с частной производной по времени от бесконечно малой производящей функции зависимостью (14.7). Поэтому для преобразований симметрии, согласно (14.6), имеем [c.81]

Таким образом, бесконечно малая производящая функция преобразования симметрии является константой движения. Поскольку параметры входят в эту производящую функцию, как правило, линейно, отсюда получается столько независимых констант движения, сколько имелось независимых параметров. Такое положение дел будет продемонстрировано ниже. [c.81]

Применим теперь развитую выше теорию к замкнутой системе, состоящей из N материальных точек, при наличии внутренних сил. Будем исходить из бесконечно малой производящей функции, включающей все известные симметрии ньютоновой механики и отражающей глубокие познания, достигнутые длительным развитием физики. Эта функция выглядит так [c.81]

Эти три равенства представляют собой формулы преобразования соответствующих величин, полученные при помощи бесконечно малой производящей функции. [c.82]

Как уже упоминалось, приведенная выше бесконечно малая производящая функция / исчерпывает все симметрии функции Гамильтона. Следует также показать, что выполняется равенство [c.83]

Таким образом, наша бесконечно малая производящая функция является константой движения рассматриваемой механической системы. Выясним, что дает этот результат. [c.85]

В механике под преобразованием симметрии мы понимали преобразование, определяемое бесконечно малой производящей функцией, не зависящей от времени в силу определения (14.7), и гарантирующее инвариантность формы функции Гамильтона. В теории поля на первый план вместо формализма Гамильтона выдвигается формализм Лагранжа, поскольку именно он обеспечивает релятивистскую ковариантность. Поэтому здесь при определении преобразования симметрии исходят из плотности лагранжиана и сообразно этому требуют [c.116]

Принимая во внимание еще и зависимость (13.1), которая связывает производящую функцию В и бесконечно малую производящую функцию / и которая в векторной формулировке представляется так [c.129]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений q t) и p t) они приобретают значения, равные q t- -di) и p t- -di). Следовательно, изменение состояния системы за время dt можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда следует, что изменение состояния системы за время от to до t можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от qito), р((о) к q(t), p t) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от t. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. [c.286]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Следовательно, задача 1штегриров-ания сводится к задаче нахождения производящей функции для данной непрерывной последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Если эту задачу решить, то остальное получается при помощи дифференцирований и разрешения конечных уравнений. [c.256]

Речь идет о следующей теореме все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан системы, и обратно. Формулировка, более близкая, как мы увидим, к лиевской, гласит Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие системы в самое себя, представляют собой по сути дела одно и то [c.232]

Так как преобразования евклидовой] симметрии , образующие подгруппу группы точечных преобразований, могут рассматриваться и как преобразования, образующие подгруппу группы канонических преобразований, то шести бесконечно малым преобразованиям этой группы должны, в согласии с лиевским вариантом взаимосвязи, отвечать шесть интегралов движения — законов сохранения количества движения и момента количества движения. Конкретный вид генераторов евклидовой группы позволяет благодаря соотношениям (15) вычислить соответствующие производящие функции, отождествляемые с шестью упомянутыми первыми интегралами. [c.234]

Однако, для того чтобы в рамках лиевского варианта пол5гчить непосредственно законы сохранения движения центра масс и энергии (как производящие функции некоторых бесконечно малых канонических преобразований), потребовалось бы такое расширение канонического формализма, которое бы придало и времени характер канонической переменной. Но, несмотря на то, что уже Ньютон (и даже некоторые его предшественники) ясно представлял себе однородность времени и галилеев принцип относительности, обе эти симметрии рассматривались как бы совершенно независимо от широко используемой евклидовой симметрии. По существу представление о галилеево-ньютоновой группе G как единой фундаментальной [c.234]

Лодставив выражение (15.1) для бесконечно малой производящей функции / в формулу (23.15), для самой производящей функции F получим [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...