Функция, не возрастающая на траектории

Так как по условию теоремы в об-ласти У > О производная У положительна, то вдоль выбранной траектории функция У монотонно возрастает. Следовательно, при > 0 будем иметь [c.525]

Нетрудно убедиться в том, что при условии (4.2) в силу критерия Сильвестра [13] квадратичная форма в правой части (4.7) является определенно отрицательной. Поэтому из (4.7) следует, что функция Vi не возрастает по t на некотором (г, +ос) вдоль любой траектории системы (4.5). Отсюда для любой ограниченной траектории x t,XQ) в силу ограниченности функции V x t, xq)) получаем суш,ествование конечного lim Vi x t, xq)) = L. [c.267]

Рассмотрим траекторию х 1,хо) точки х Е при > 0. В силу условия 3) леммы и свойств множества функция у х 1, хо)) не возрастает и ограничена на (0,+ос). Поэтому при 1 +ос существует конечный предел Иту х 1, хо)) = Ь. [c.268]

Р 4- Ф (q, 0) > о при IqI < Q, то вдоль каждой траектории системы (4) О есть монотонно-возрастающая функция от t. Из равенств (G) следует, что при движении по траектории в сторону возрастания (убывания) t обе величины t и 0 (t) либо одновременно ограничены сверху (снизу), либо обе возрастают до оо (убывают до — оо). В самом деле, если, иапример, величина t ограничена сверху, t [c.170]

В реальных условиях вязкой среды анизотропия формы частиц приведет к тому, что, даже в спокойном масле, их траектории и скорости окажутся случайными функциями, зависящими от пространственной ориентации частиц в начальный момент их движения к магниту. Вследствие этого погрешность определения массы отдельных (индивидуальных) частиц может возрасти в такой степени, что измерения потеряют практический смысл, С другой стороны, измерение средней массы достаточно большого количества частиц, очевидно, может быть сделано с погрешностями, близкими к рассмотренным выше погрешностям определения массы отдельных частиц в идеализированных условиях. [c.297]

Так как по условию теоремы в области F > О производная V положительна, то вдоль выб[)анпой траектории функция V моиотон-но возрастает. Следовательно, нри t > /о будем uMeii. [c.376]

Геометрическое обоснование этой теоремы в значительной Boei части совпадает с аналогичным обоснованием теоремы И. Н, Красовского об асимптотической устойчивости — см. 2.3. Действительно, возьмем начальную точку М (Xq) такую, чтобы в ней выполнялось условие V (хд) > 0. Так как в этой точке Fo > О и Г>0 (предполагаем вначале, что М не принадлежит многообразию К), то функция V будет возрастать, а изображающая точка М будет удаляться от начала координат. Если при своем движении изображающая точка М попадет на К, или Л/о принадленсит К, то вскоре она дол жна будет покинуть это многообразие (оно не содержит целых траекторий) и снова начнется удаление точки М от начала координат. Строгое доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. Н. Красовского [27]. [c.52]

Докажем теперь, что оба определения устойчивости означают, по существу, одно и то же С-устойчивость означает / -устойчивость, а / -устойчивость означает С-устойчивость. Аналогичные утверждения справедливы и в отношении асимптотической устойчивости, а также неустойчивости. Доказательство этих утверждений основано на следующей лемме. Пусть х (t), как и ранее, обозначает траекторию, начинающуюся в точке ж (0). Если в момент t = О изображающая точка находится в положении ас (0), та в момент t она занимает положение x(t). За промежуток времени О i изображающая точка проходит отрезок траектории, который мы будем называть т-сегментом, начинающимся в эс (0). Возьмем положительное число г, и пусть S (г) будет множеством точек всех т-сегментов, начинающихся в точках х(0) внутри гиперсферы радиуса г, описанной вокруг точки О. Пусть г будет верхней гранью расстояний точек множества S (г) от точки О. При указанных условиях г будет непрерывной монотонно возрастающей функцией от г, обращающейся в нуль вместе с г. Положим г = f (г ) функция / (г ) непрерывна и монотонно возрастает, причем / (0) = О и О С / (г ) г, если г > 0. (В частном случае линейного приближения / (г ) = Кг, причем К = onst и О < < 1.) [c.421]

При с = 0 имеем движение по прямой ф = сопз1. При с О (для определенности пусть с>0) функция ф=ф(0 монотонна (возрастает), имеет обратную, и потому траекторию движения r = r t), Ф = Ф(/) целесообразно задавать в виде /- = г (ф). [c.153]

Крзошомасштабные аберрации в неустойчивых резонаторах. В случае неустойчивых резонаторов разлагать в ряды по собственным функциям нельзя [28], и от теории возмущений приходится отказаться зато геометрический подход может быть использован уже без каких-либо оговорок и в еще более простой модификации. Дело в том, что ход лучей, соответствующих низшим модам плоского резонатора, сильно меняется под воздействием самых ничтожных фазовых аберраций (ср. рис. 2.18 и ЪПа), В то же время на протяжении большей части сечения неустойчивого резонатора шаги луча по зеркалу столь велики ( удаление луча от оси на каждом двойном проходе возрастает в М раз), что небольшие аберрации на траекторию луча практически не влияют. Поэтому здесь можно считать ход лучей совпадающим с ходом при идеально однородной среде, а величину набегающего за счет неоднородности искривления волнового фронта — равной разности оптических путей по соответствующим траекториям. [c.159]

Предложенный B. . Ленским [13] принцип запаздьшания скалярных свойств, формулировка которого для двухзвенных траекторий деформаций относительно величины о аналогична формулировке принципа запаздывания векторных свойств, фактически не был обследован из-за очевидной ограниченности возможной области его применимости. Действительно, этот принцип был обоснован опытами по двухзвенным траекториям деформаций при изломе траектории на угол t o 90° на кривой o—s наблюдается нырок напряжений, после которого кривая o—s, забывая предысторию, постепенно выходит на кривую о = 0(s) простого нагружения. Отметим, что такая идеальная схема наблюдалась позднее лишь в отдельных работах (например, в [20] для значений i o =45,90,135°), а в ряде других кривая 0—S после нырка шла ниже о = Ф(5), оставаясь примерно параллельной ей, или иногда пересекала ее (см. [10]). Так или иначе, если даже для двухзвенных траекторий деформаций принцип запаздьюания признать справедливым, ясно, что он не вьшолняется при произвольном (активном) сложном нагружении. Например, известно [22], что при сложном нагружении с постоянной интенсивностью напряжений о - onst наблюдается рост пластической деформации э , а при сложном циклическом деформировании после нескольких десятков циклов величина о практически перестает возрастать [19] таким образом, если после одного из названных экспериментов начать деформирование по прямолинейной траектории, кривая 0—S не выйдет на кривую о = Ф(х) хотя бы потому, что при полученном s функция Ф может быть не определена (при простом нагружении это значение S недостижимо). Более того, в работе [19] показано, что при циклическом деформировании по траектории пластической деформации в виде окружности радиуса 10 = 4 достигается величина а, существенно превосходящая (почти в 2 раза) характерное значение о на кривой чистого кручения o-s . [c.48]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Но поскольку реализованная процедура аналитического метода расчета лишь приближенно описывает движение КА, то тем самым и многообразие условно-периодических траекторий определено также приближенно. В частности, в точном решении задачи о движении КА, определяемом начальными данными, соответствую-Ш ими условно-периодическому движению приближенной задачи, неизбежно будут присутствовать экспоненциально возрастаюнще функции времени. Для оценки точности приближенного метода было проведено сравнение с результатами численного интегрирования строгих уравнений движения в декартовых координатах. Эти результаты рассматривались как эталонные. Вообш е говоря, достаточно точное вычисление координат КА в окрестности неустойчивой особой точки с помощью численного интегрирования также является некоторой проблемой, так как методические ошибки аппроксимации и ошибки округления экспоненциально возрастают. Оценки показали, что их суммарная погрешность на интервале 10 сут не превышает примерно 10 м, что существенно меньше ошибок приближенного метода. Поэтому для наших целей результаты численного интегрирования можно принять за эталон. [c.294]

Н-теорел1а. Как уже упоминалось в отступлении 3, Больцман ввел некоторую if-функцию, которая, как было показано, не возрастает при соударениях молекул газа. Против этого утверждения были выдвинуты два серьезных возражения. Лошмпдт указывал, нто основное свойство if-функции находится в противоречии с обратимостью законов механики, т. е. их симметрией по отношению к прошлому и будуш ему. Цермело отмечал, что утверждение Больцмана противоречит известной теореме возврата Пуанкаре. Согласно этой теореме, траектория в фазовом пространстве по истечении достаточно дли- [c.236]

Смотреть страницы где упоминается термин Функция, не возрастающая на траектории : [c.317] [c.421] [c.385] [c.532] [c.161] [c.66] [c.439] [c.207] [c.170] [c.209] [c.145] [c.276] [c.545]

Динамические системы-1 (1985) -- [ c.209 ]

ПОИСК

Возраст

Траектория

Траектория е-траектория

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...