Усредненная система

Дифференцируя последние соотношения по t [с учетом (5.185)] и применяя метод осреднения, получим соответственно для первой и второй нормальных форм колебаний усредненные системы дифференциальных уравнений [c.256]

Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более простой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения x(t, е) называется такая функция x t, е), что разность x(t, е)—x(t, е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения t, если параметр e- l. Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при t to, асимптотически близки на интервале /—В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78]. Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. [c.167]

A. Положим х = 0, т. е. осцилляторы независимы. В этом случае, /(Лг)т] (яо—iIY- Поэтому л 2=/ц. Далее находим <71,2= — Решение усредненной системы / (/) = 0, 9i(/) = 0, /3 (/) = / , Фз (О = = — 2т]/о/ = — ХаЧ 16(0о. [c.307]

В первом приближении решение уравнения (122) есть j = , где находят из усредненной системы [c.86]

Во втором приближении решение определяется выражением (126), но следует находить из усредненной системы второго приближения [c.86]

Систему (69) можно назвать по аналогии с (38) усредненной системой первого приближения, хотя, согласно методу Крыло- [c.34]

Если 7 = 0 (ф1( X, u, й) — р 1, z) + (a + Pu)u, т. e. имеет лишь квадратичную нелинейность) и нет резонанса между частотами (1) и V, тогда усредненная система (145), (146) принимает вид [c.169]

Мы научились интегрировать усредненные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вопрос жо о близости функций Xn t), x- t) к функциям x t), x- t) остается открытым для п = 1, 2,. .., так как в настоящее время нет строгой теоремы обоснования метода усреднения для бесконечных стандартных систем дифференциальных уравнений. [c.171]

Задание частных производных нового гамильтониана П в виде (60) фактически означает, что каноническая система сравнения (59) является усредненной системой любого приближения в смысле Боголюбова для (1), полученной с помощью оператора Му[Н], т. е. [c.206]

Система уравнений (9.63) может быть получена также путем усреднения системы (9.43). Отметим, что система уравнений (9.63) в известных терминах максвелловских полей 8,В,Т> жН удобна для использования в случае задания каких-либо граничных условий. [c.291]

Принцип усреднения для системы (1) состоит в ее замене другой системой, называемой усредненной системой [c.257]

В качестве правой части усредненной системы (2) получим тогда [c.258]

Поскольку 0)7 0, применима теорема об усреднении (стр. 259), Усредненная система имеет вид [c.264]

Проблема, которая теперь возникает, заключается в следующем какая существует связь между истинным возмущенным движением I Ь) и динамикой усредненной системы при О < < 1/е Выполняется ли неравенство (22.5) [c.101]

Ясно, что усредненная система имеет вид [c.102]

Усредненная система имеет вид (см. рис. 22.10) [c.104]

Эта система имеет вид (22.3) с к < п, I = 2п — к а усредненная система представима в виде [c.107]

Если полученная таким образом усредненная система интегрируема (как, например, в плоской задаче трех тел) или близка к интегрируемой (как, например, в планетном варианте задаче п тел), то можно доказать существование соответствующих квазипериодических решений исходной системы. Эти квазипериодические движения обладают к быстрыми частотами (а 1,. .., о ) 1, происходящими от невозмущенной системы, и I = п — к медленными частотами (о /г+1,. .., и п) е, происходящими от усредненной системы. [c.107]

Усредненная система см. Система эволюции Устойчивость неподвижной точки 217 [c.280]

Принцип усреднения основан на представлении, что и в общем случае отброшенные при усреднении осциллирующие члены приводят только к малым осцилляциям, которые накладываются на дрейф, описываемый усредненной системой. Д [c.154]

Таким образом, зависимость от фаз оказывается отнесенной в члены порядка Если отбросить эти члены, то система уравнений для I отщепится. Если найти ее решения, то изменение фазы определится с помощью квадратуры. Возвращаясь к исходным переменным, видим, что изменение I сводится к медленному дрейфу (описываемому уравнением для /), на который накладываются малые быстрые осцилляции (описываемые с помощью замены переменных), точно так же, как в примере 1 и на рис. 27. Изменение ф представляется как вращение с медленно изменяющейся частотой, на которое также накладываются осцилляции. В первом приближении эта процедура приводит к усредненной системе (с добавлением уравнений, приближенно описывающих изменение фаз). [c.157]

Теорема 1. Различие между медленным движением /(/) в точной системе и J i) в усредненной системе остается малым в течение времени 1/е [c.161]

Замена переменных первого приближения из п. 1.2 отличается от тождественной ва величину порядка е. Она приводит точную систему к усредненной с добавлением малого (порядка е ) возмущения. За время 1/е это возмущение может изменить значение медленной переменной, по сравнению с ее значением в усредненной системе, лишь на величину порядка е. Возвращаясь к исходным переменным, получаем результат теоремы. [> [c.161]

Исследование усредненной системы часто позволяет установить существование предельных циклов и инвариантных торов исходной системы и приближенно их вычислить. [c.162]

Введем фазу в качестве новой независимой переменной (нового времени). Рассмотрим два отображения в себя То — отображение сдвига за (новое) время 2я для усредненной системы. Г —такое же отображение для точной системы, преобразованной с помощью замены переменных первого приближения, построенной в пункте 1.2. Отображения То и Т сдвигают точку на величину порядка е, а отличаются друг от друга на величину порядка е. У отображения То имеется невырожденная неподвижная точка J,. По теореме о неявной функции у отображения Т при достаточно малом е имеется неподвижная точка /=/,+0(е). Очевидно она служит начальным условием для искомого предельного цикла. > [c.163]

Заметим, что в аналитической системе предельный цикл, рождающийся из равновесия усредненной системы, аналитичен и аналитически зависит от е (это видно из доказательства теоремы 3). При рождении тора из цикла усредненной системы картина совершенно другая. [c.164]

Окружность р= 1— предельный цикл усредненной системы. Легко определяется инвариантный тор точной системы [c.166]

Если усредненная система имеет вырожденное положение равновесия (цикл), то вопрос о существовании и устойчивости периодического решения (тора) точной системы, как правило", может быть решен с помощью высших приближений процедуры исключения быстрых переменных. [c.166]

Теорема 4. Если частоты невозмущенного движения постоянны и сильно несоизмеримы, то различие между медленным движением /(О в точной системе и /(/) в усредненной системе остается малым в течение времени 1/е [c.167]

Широкое применение метод усреднения получил после популяризации Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси метода Ван-дер-Поля. Создание строгой теории метода усреднения принадлежит Н. Н. Боголюбову [11, 12], который показал, что Этот метод органически связан с суш,ествованием некоторой замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей уравнений с произвольной степенью точности относительно малого параметра 8. При эгом Н. Н. Боголюбов, исходя из физических соображений, указал, как строить не только систему первого приближения, но н усредненные системы высших приближений, решения которых аппроксимируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед заданной точностью. [c.85]

Развитие и применение аналитического аппарата для построения замен переменных ( 40) и (45) в прикладных задачах становятся эффективными и математически обосноваппыми, если удается получить оценки для нормы Hz(i, д,) —z(i, ц)И, где z t,n)—решение первоначальной стандартной вистомы (36), г (i, ц) — ронтенио усредненной системы первого приближения (39) или усредненной системы любого конечного тп-го приближения [c.30]

Если к правым частям системы (151) примепея оператор усреднения (168), то усредненная система первого приближения для (151) принимает вид [c.59]

Принцип усредаения и асимптотика уклонений при больших возмуш ениях. Лля исследования уравнения (12.67) обратимся к принципу усреднения [67], по которому траектории x t) исходной системы (12.67) и усредненной системы x t) будут близки в вероятностном смысле. [c.389]

Исследования движения планет и других тел солнечной системы, которыми занималась классическая небесная механика, были, как правило, несколько утилитарны — приспособленными к случаю орбит, лежаш.их почти в одной плоскости и мало отличаюш ихся от круговых. Такой подход, конечно, был оправдан запросами астрономической практики. С запуском космических аппаратов приобрели интерес исследования, не накладываюш ие никаких ограничений на форму и взаимное расположение орбит. Так как орбита, как правило, на небольшом интервале времени мало отличается от кеплеровской, то очень интересно проследить эволюцию орбиты за достаточно большой кусок времени. Цикл работ в этом направлении выполнен М. Л. Ли-довьш [14]. В исследованиях он широко пользовался асимптотическими методами нелинейной механики, а именно, методом усреднения по быстрым движениям и анализом получаюш,ейся усредненной системы дифференциальных уравнений. В небесной механике подобный подход, по-видимому, долгое время не котировался, но совершенно напрасно. Теоретические исследования последнего времени и сравнение с чис- [c.42]

Я, if) и (J, ф). Из вида гамильтониана следует, что ф представляет собой быструю переменную, и по ней можно выполнить усреднение. Переменная J является интегралом движения усредненной системы и в дальнейшем рассматривается как параметр. Совершим еще одно каноническое преобразование (Я, ip) i-> —) (Р, (р) с производящей функцией Wi = (Р + Rres J t)) чтобы ввести новую переменную действие Р = R — Rres , сопряженной ей угловой переменной будет (р. В малой окрестности резонанса, где Р есть величина порядка -y/i, гамильтониан принимает следующую форму [c.172]

А. Положим А = О, т.е. осцилляторы независимы. Тогда тг2( ) = /о-Далее находим = —rjlot тг/4. Решение усредненной системы [c.434]

I = onst. Поэтому g = (2я) J i/ф = О, и в усредненной системе / не меняется вовсе J (t) = J (0). [c.264]

Можно подробно исследовать окрестности частных решений усредненной системы (например, окрестности положений равновесия F = 0)). Притягивающим точкам системы (22.4) соответствуют притягивающие торы (аттракторы) системы (22.3). Ясно, что в окрестности такого тора имеет место устойчивость (О < i < схэ). Существование притягивающих торов для возмущенных систем доказано П. П. Боголюбовым [2], Ю. Мозером [2] и И. Купкой [1]. [c.103]

В примере (22.6) условие А ф О ие выполняется функция А 1 (р) = = 12 — Iia os (fi — (f2) изменяет знак при Д = /2, если а > 1. Этот пример показывает, что условие А ф О невозможно заменить аналогичным условием для усредненной системы. [c.105]

В общем случае, когда усредненная система неинтегрируема, о связи между решениями возмущенной и усредненной задач известно мало даже при Q < t < 1/е. Единственные результаты, которые известны, получены в рамках подходов 2 и 3 из (22.8). [c.108]

Замечание. Ниже всюду в формулировках теорем опускаются естественные условия продолжимости решений предполагается, что решение усредненной системы J(t) при O i 1/е не подходит слишком близко к границе области определения системы. Л [c.161]

Теорема 3 ([9]). Пусть усредненная система имеет невырожденное положение равновесия. Тогда точная система имеет предельный цикл вдоль которого медленные пepe eнныe изменяются в окрестности указанного равновесия размера порядка е. Если все собственные значения усредненной системы, линеаризованной около этого равновесия, имеют отрицательные вещественные части, то цикл асимптотически устойчив. Если вещест- [c.162]

Если усредненная система имеет предельный цикл, и характеристические показатели линеаризованной около него системы имею1 ненулевые вещественные части (кроме одного, который соответствует сдвигу вдоль цикла и равен нулю), то точная система имеет двумерный инвариантный тор, устойчивый или неустойчивый вместе с циклом, вдоль которого мед- [c.163]

Дв 1жсние на двумерном инвариантном торе, рождающемся из цикла усредненной системы, характеризуется введенным [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...