Геодезический на торе

Следствие. Если уравнения геодезических на торе допускают дополнительный полиномиальный интеграл F, то найдется независимый от функции Н полиномиальный интеграл степени 2. Если при этом степень F нечетна, то существует линейный интеграл. [c.407]

Симметрии геодезических потоков на торе [c.157]

Симметрии геодезических потоков на торе соотношения [c.161]

Следствие. Если геодезический поток на торе имеет нетривиальное поле симметрий степени п 5, то существует независимый от Н полиномиальный интеграл степени не выше п. [c.175]

Задача. Исследовать поведение геодезических на поверхности тора ((г-Л) + 22 = р2). [c.79]

Если характеристическая поверхность допускает дискретные преобразования в себя, то возникает исключительный случай, при котором периодические движения минимального типа должны считаться каждое больше чем один раз. Таков именно вышеупомянутый случай геодезических линий на торе. [c.143]

Следствие 5.4.4. Геодезические на плоском) торе в точности проекции прямых. [c.214]

Используя лемму 5.4.1, обобщите теорему 5.4.2 и следствие 5.4.4 на п-мерный случай, т, е. опишите геодезические на единичной сфере 5" с метрикой, индуцированной вложением, и на плоском торе Т" =K /Z". [c.225]

Постройте пример такой римановой метрики на торе Т , что не все геодезические в ней минимальны. [c.382]

Например, движение свободной точки по геодезическим на трехосном эллипсоиде или торе (см. 1.7, гл. 1 и приложение 2), тяжелое твердое тело (случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) и т.д. [c.93]

Приложение 2 Геодезические потоки на торе [c.116]

Геодезические потоки на торе 117 [c.117]

Из теоремы 1 можно вывести ряд любопытных утверждений, касающихся условий интегрируемости геодезических потоков на сфере и торе. Они сообщены автору С. В. Болотиным. [c.142]

Следствие 1. Предположим, что на двумерном аналитическом торе имеется замкнутая геодезическая, гомотопная нулю. Тогда геодезический поток, порожденный метрикой на Т , не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.142]

Конечно, далеко не каждая метрика на двумерном торе имеет гомотопные нулю замкнутые геодезические. Однако в ряде случаев существование таких геодезических можно установить из простых соображений вариационного характера (рис. 11). [c.143]

Козлов В, В., Денисова Н. В, Полиномиальные интегралы геодезических потоков на двумерном торе // Матем, сб,, в печати, [c.421]

Так, например, рассмотрим тор с некоторой римановой метрикой. Среди всех замкнутых кривых на Г , делающих т оборотов но параллели и п по меридиану, существует кривая кратчайшей длины (рис. 191). Эта кривая — замкнутая геодезическая (доказательство см. в книгах по вариационному исчислению в целом или теории Морса ). [c.218]

Вернемся теперь к нашему торическому бильярду. Движения на нем тоже можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на гладкой поверхности. Эта поверхность получается, если рассмотреть тор с дырой как двустороннюю поверхность и придать ей некоторую толщину, слегка сгладив острое ребро. В результате получается поверхность с топологией кренделя (сферы с двумя ручками). [c.282]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Мы уже описали динамику геодезического потока на плоском п в п. 5.2 б. Это вполне интегрируемая система с вектором частот и> на вариантном торе х, г ) х е Т , V = о . [c.214]

И ДЛЯ поверхностей высшего рода. Для тора нижняя граница задается скоростью роста для плоской метрики, для которой классы минимальных геодезических находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми элементами целочисленной решетки Z , и потому скорость роста является квадратичной функцией длины (с множителем, зависящим от выбора плоской метрики). Произвольная метрика может рассматриваться как проекция периодической метрики на В силу компактности тора эта метрика ограничена и сверху, и снизу произведением евклидовой метрики на некоторые множители, так что индуцированное расстояние равномерно эквивалентно расстоянию, индуцируемому евклидовой метрикой (т. е. отношение расстояний заключено между парой положительных чисел). Поскольку длина кратчайшей замкнутой геодезической в гомотопическом классе, соответствующем к Z , равна min d p,p + f ), для любой метрики скорость роста [c.384]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Опишите такую метрику на трехмерном торе Т , что для некоторого свободного гомотопического класса найдется кратчайшая геодезическая, не являющаяся глобально минимальной. [c.384]

Важный класс многообразий отрицательной кривизны получается с помощью алгебраической конструкции, которая обобщает алгебраическое описание поверхностей постоянной отрицательной кривизны из 5. Геометрическое свойство, которое дает нам возможность описывать геодезический поток на сфере, торе и гиперболической плоскости, — наличие группы изометрий, действующей транзитивно на единичных касательных векторах (лемма 5.4.1). Пространства, обладающие таким свойством, называются (глобально) симметрическими пространствами. Сначала дадим традиционное определение, а затем докажем транзитивность группы изометрий в случае ненулевой кривизны. [c.555]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Доказательство. Пусть 7 — замкнутая геодезическая на Т , стягиваемая в точку. Предположим сначала, что 7 не имеет самопересечений. Тогда 7 делит на две геодезически выпуклые области, одна из которых гомеоморфна диску, а эйлерова характеристика другой области отрицательна. Отсутствие интеграла вытекает из теоремы 1. Рассмотрим теперь общий случай, когда геодезическая 7 имеет самопересечения. Реализуем тор как факторпространство по целочисленной решетке Z . Метрика на индуцирует метрику на причем геодезическая 7 поднимается до геодезической 7 на Поскольку 7 гомотопна нулю [c.142]

Рассмотрим теперь алгебру Ли, образованную векторными полями дивергенции нуль на торе с однозначной функцией тока. Соответствующая группа SoDiffJ состоит из оставляюищх на месте центр тяжести тора и сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов. Она вложена в группу SDiff всех сохраняющих элемент площади диффеоморфизмов как вполне геодезическое подмногообразие (т. е. такое подмногообразие, что каждая его геодезическая является геодезической в объемлющем многообразии). [c.304]

Сдвиги на компактных коммутативных группах ( 1.3 и 1.4) и линейные потоки на торе ( 1.5) являются примерами соответственно сдвигов и потоков на однородных пространствах. В 17.5 мы покажем, что геодезический поток на компактном факторе плоскости Лобачевского (п. 5.4 е) можно представить естественным образом как поток на однородном пространстве группы Р5Ь(2, Е) всех преобразований Мёбиуса по некоторой компактной (равномерной) решетке Г. Напомним, что Р5Ь(2, Е) — это факторгруппа группы 5Ь(2, К) всех (2 х 2)-матриц с определителем единица по центру, который состоит из двух элементов Ы. Читатель, интересующийся этим конкретным примером, может сразу после окончания этого параграфа перейти к чтению 17.5. В 17.7 мы разовьем этот метод и рассмотрим важные потоки на однородных пространствах, возникающие из геодезических потоков некоторых весьма специальных римановых многообразий размерности больше двух. [c.241]

Теорема 13.2.6 была доказана независимо французским физиком Обри [31] и Мазером [199]. Метод Мазера использовал вариационный подход на некотором бесконечномерном прос анстве, метод Обри был основан на построении глобально минимальных состояний (как в 3). До того как работа Обрн стала известна математикам, Каток [141] предложил торошение доказательства результата Мазера, основанное на рациональных приближениях. В пункте а данного параграфа мы следуем [141] и [142]. Бангерт [34] показал, что классический результат Хедлунда [118] о глобально минимальных геодезических иа торе очень близок к конструкции аналога множеств Обри — Мазера для лотоков. [c.732]

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = U1 — максимальное критическое значение интеграла энергии. При h > U1 область возможных движений совпадает со всей S0 3). На любом римаповом S0 3) существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических h область В имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. 4 гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно [55, 56] диффеоморфна х [О, 1] (Т — двумерный тор) или X В" S — окружность, а В" — двумерный диск). В первом случае граница дВ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфпых Т , и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое [c.143]

Примером служит геодезический поток на двумерной сфере. В этом случае Е диффеоморфно 50(3) и поэтому выполнено (9.2). С другой стороны, на трехмерном торе имеются эрогодические динамические системы с инвариантной мерой и нетривиальными симметриями (см. п. 4 3 гл. И). [c.174]

Теперь мы определим параллельное перенесение вектора на поверхности вдоль ломаной, составленной из нескольких дуг геодезических (рис. 230). Чтобы перенести век- перенемки° вд гео тор вдоль ломаной, мы переносим его из девической ломаной первой вершины во вторую вдоль первой дуги [c.267]

Метод минимакса. Посредством метода минимакса можно устанавливать существование дальнейших периодических движений. Простейшую иллюстрацию этого метода мы получим, если будем рассматривать геодезические линии на поверхности вида тора в обыкновенном трехмерном пространстве. Изложенный выше метод минимума, очевидно, дает нам для каждого класса эквивалентных замкнутых кривых, не сводимых в точку, по крайней мере одну геодезическую линию, принадлежащую этому классу. Будем теперь деформировать замкнутую кривую I таким образом, что в начальном и в конечном положении она будет совпадать с упомянутой минимальной геодезической линией и по крайней мере одна из угловых координат увеличится при деформации на 2ктт. Конечно, во время этого движения длину I придется, вообще говоря, увеличивать по сравнению с начальной, и эта длина пройдет через некоторый максимум. Рассмотрим деформацию, для которой этот максимум будет наименьшим. В некотором положении Г кривая I действительно достигает этого максимума. Это положение I [c.141]

Напротив, для каждой связной полупростой группы Ли без компактных факторов и максимальной компактной подгруппы К (которая определена однозначно с точностью до сопряжения внутренним автоморфизмом G) существует единственная глобально симметрическая структура на М = G/K, а именно, каждая левоинвариантная риманова метрика на G, которая является правоинвариантной относительно К, тогда превращает М в риманово многообразие и фактор М по действию слева решетки Г в ( будет тогда компактным римановым фактором М. Эти факторы являются прямым аналогом тора и компактных факторов гиперболической плоскости RH из 5.4. В этой модели геодезические, проходящие через Id, соответствуют однопараметрическим подгруппам G/K. [c.558]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...