Геодезические потоки на торе

Симметрии геодезических потоков на торе [c.157]

Симметрии геодезических потоков на торе соотношения [c.161]

Следствие. Если геодезический поток на торе имеет нетривиальное поле симметрий степени п 5, то существует независимый от Н полиномиальный интеграл степени не выше п. [c.175]

Приложение 2 Геодезические потоки на торе [c.116]

Геодезические потоки на торе 117 [c.117]

Из теоремы 1 можно вывести ряд любопытных утверждений, касающихся условий интегрируемости геодезических потоков на сфере и торе. Они сообщены автору С. В. Болотиным. [c.142]

Козлов В, В., Денисова Н. В, Полиномиальные интегралы геодезических потоков на двумерном торе // Матем, сб,, в печати, [c.421]

Вернемся теперь к нашему торическому бильярду. Движения на нем тоже можно рассматривать как предельный случай геодезического потока на гладкой поверхности. Эта поверхность получается, если рассмотреть тор с дырой как двустороннюю поверхность и придать ей некоторую толщину, слегка сгладив острое ребро. В результате получается поверхность с топологией кренделя (сферы с двумя ручками). [c.282]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Мы уже описали динамику геодезического потока на плоском п в п. 5.2 б. Это вполне интегрируемая система с вектором частот и> на вариантном торе х, г ) х е Т , V = о . [c.214]

Важный класс многообразий отрицательной кривизны получается с помощью алгебраической конструкции, которая обобщает алгебраическое описание поверхностей постоянной отрицательной кривизны из 5. Геометрическое свойство, которое дает нам возможность описывать геодезический поток на сфере, торе и гиперболической плоскости, — наличие группы изометрий, действующей транзитивно на единичных касательных векторах (лемма 5.4.1). Пространства, обладающие таким свойством, называются (глобально) симметрическими пространствами. Сначала дадим традиционное определение, а затем докажем транзитивность группы изометрий в случае ненулевой кривизны. [c.555]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Пример 11.4. В гл. 3 мы рассмотрим обширный класс Т Г-систем — так называемые классические Г-системы. Этому классу принадлежат автоморфизмы торов, геодезические потоки на компактных римановых пространствах отрицательной кривизны, ансамбли упруго сталкивающих ся частиц Больцмана Гиббса и многие другие системы. [c.40]

Но если двусторонний эллипс есть сплюснутый эллипсоид, то двусторонний тор с дыркой есть сплюснутая поверхность рода 2. Таким образом, движение по нашему биллиарду есть предельный случай геодезического потока на поверхности рода 2. [c.80]

Следствие П16.10 (Арнольд [2], [3]). Пусть V — компактное риманово многообразие размерности п 2, не являющееся тором. Если геодезический поток на унитарном касательном расслоении М = Т У эргодичен, то непрерывные собственные функции — константы. [c.149]

Следствие 1. Предположим, что на двумерном аналитическом торе имеется замкнутая геодезическая, гомотопная нулю. Тогда геодезический поток, порожденный метрикой на Т , не имеет непостоянного аналитического интеграла. [c.142]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

Примером служит геодезический поток на двумерной сфере. В этом случае Е диффеоморфно 50(3) и поэтому выполнено (9.2). С другой стороны, на трехмерном торе имеются эрогодические динамические системы с инвариантной мерой и нетривиальными симметриями (см. п. 4 3 гл. И). [c.174]

Сдвиги на компактных коммутативных группах ( 1.3 и 1.4) и линейные потоки на торе ( 1.5) являются примерами соответственно сдвигов и потоков на однородных пространствах. В 17.5 мы покажем, что геодезический поток на компактном факторе плоскости Лобачевского (п. 5.4 е) можно представить естественным образом как поток на однородном пространстве группы Р5Ь(2, Е) всех преобразований Мёбиуса по некоторой компактной (равномерной) решетке Г. Напомним, что Р5Ь(2, Е) — это факторгруппа группы 5Ь(2, К) всех (2 х 2)-матриц с определителем единица по центру, который состоит из двух элементов Ы. Читатель, интересующийся этим конкретным примером, может сразу после окончания этого параграфа перейти к чтению 17.5. В 17.7 мы разовьем этот метод и рассмотрим важные потоки на однородных пространствах, возникающие из геодезических потоков некоторых весьма специальных римановых многообразий размерности больше двух. [c.241]

Пример 7.7. Гамильтонов поток (гл. 1, теорема 1.11) никогда не бывает эргодическим, поскольку энергия Н — инвариантная функция. Тем не менее, геодезический поток на унитарном касательном расслоении в некоторых случаях может быть эргодическим (см. гл. 3, 17.12). Однако если V обычный тор, то геодезические потоки на ТхУ неэргодичны, поскольку функция является инвариантом (см. приложе- [c.25]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...