Случай Горячева

Случай Горячева — Чаплыгина. Пусть Л = В -= 4С, [c.201]

Таким образом, в отличие от случая Горячева - Чаплыгина, лишь в исключительных случаях ось динамической симметрии волчка Ковалевской может сколь угодно близко подходить к вертикали. Всюду ниже будем считать, что Ii ф 2/ + /3. [c.206]

Случай Горячева — Чаплыгина (1900 г.) 1 = I2 = 41-з, гз = = О, с = = 0. В отличие от случаев 1)-3), мы имеем здесь интегрируемый случай на одном интегральном уровне Iq. [c.89]

Интегральный инвариант 31 Интегрируемый случай Горячева — Чаплыгина 89 [c.427]

Случай Горячева-Чаплыгина [c.132]

Рассмотрим частный интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина, для которого вектор кинетического момента лежит в горизонтальной плоскости, т.е. (М,7) = 0. Он реализуется почти при тех же ограничениях на динамические параметры, что и случай Ковалевской, но отношение моментов инерции теперь равно не двум, а четырем — = 4. Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют вид [c.132]

Случай Горячева-Чаплыгина 133 [c.133]

Рис. 46. Бифуркационная диаграмма случая Горячева - Чаплыгина. Серым цветом заштрихована нефизическая область интегралов. Указаны также два уровня энергии, для которых построены фазовые портреты (см. рис. 47, 48). Буквами Ai, Bi, i,. .. обозначены периодические решения и сепаратрисы, которые аналогично обозначены на фазовых портретах.

Случай Горячева - Чаплыгина [c.135]

Рис. 47. Фазовый портрет случая Горячева-Чаплыгина при h = 0.3 (сечение плоскостью g = 7г/2). Буквами Ai, Bi, i отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). Точке Bi на бифуркационной диаграмме, для которой / = О, соответствует, во-первых, два маятниковых периодических решения (они расположены на фазовом портрете в полюсах сферы L/G = 1 и в точке I = О, L/G = 0) и, во-вторых, целая прямая LfG = 0,l 0 также заполненная периодическими решениями (решение Горячева) маятникового типа (см. также п. 3).

Рис. 48. Фазовый портрет случая Горячева-Чаплыгина при h = 1.3 (сечение плоскостью g = 7г/2). Буквами А2, В2, G2, В2, F2 отмечены периодические решения, расположенные на ветвях бифуркационной диаграммы (рис. 46). По сравнению с предыдущим портретом добавились неустойчивые решения (и сепаратрисы к ним) — В2 и F2. Также, как и выше, точке В2 на бифуркационной диаграмме соответствует четыре вращательных периодических решения (вращения в экваториальной и меридиональной плоскости с учетом направления) — это точки L/G = 1 и Z = О, тг, L/G = О, а также прямая L/G = О, которая целиком заполнена периодическими решениями (решения Горячева) приведенной системы (см. п. 3).

Рис. 49. Возмущение случая Горячева-Чаплыгина при фиксированной энергии (Н = 1.5) и увеличении константы площадей (приведено сечение плоскостью д = тг/2, серым цветом закрашены области невозможности движения). На рисунках видно, что вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который сначала увеличивается затем уменьшается вместе с областью возможного движения. Любопытно, что при дальнейшем увеличении с, ОВД уменьшается вместе со стохастическим слоем до полного исчезновения.

Общим выводом относительно случая Горячева-Чаплыгина является наблюдение, что при его анализе мы имеем дело с любопытными колебательными (вращательными) движениями в абсолютном пространстве, т. е. можно говорить о некотором сложном маятнике. Однако область применения таких колебаний пока не очень ясна. Отметим также сравнительную простоту движений волчка Горячева-Чаплыгина по сравнению с волчком Ковалевской. Немногочисленные аналитические результаты, полученные при изучении случая Горячева-Чаплыгина, неспособны дать наглядное представление о движении. Компьютерное исследование движения, наоборот, обнаруживает замечательные его свойства, типичные также для родственных интегрируемых систем. [c.142]

Случай Горячева-Чаплыгина . Гамильтониан и дополнительный интеграл имеют форму [c.219]

Обобщенное семейство Горячева-Чаплыгина. Рассмотрим аналогичное обобщение интегрируемого случая Горячева-Чаплыгина на нулевом листе с сингулярными слагаемыми [63] (см. 7 гл. 5). Гамильтониан имеет вид [c.231]

Чтобы перейти от найденной формальной системы к обобщению случая Горячева-Чаплыгина (см. 5 гл. 2), произведем редукцию по линейному интегралу (4.7) в L и А матрицах. Для этого положим в матрице L и гамильтониане (4.6) [c.286]

Найденное нами L — А-представление при = сф Q соответствует случаю Горячева с сингулярным слагаемым. Согласно процедуре, описанной в 1 гл. 4, нелинейность в скобке (4.13) можно устранить с помощью преобразования [c.288]

Гамильтониан (4.16) может быть интерпретирован как некоторое обобщение случая Горячева-Чаплыгина, при [L, s) = О, при котором одновременно добавляются слагаемые, линейные по L , и соответствующие постоянному гиростатическому моменту, а также сингулярное слагаемое. Интегрируемое обобщение только с гиростатическим моментом было указано Л. Н. Сретенским [158], обобщение — только с сингулярным потенциалом — самим Д. Н. Горячевым [63], общий случай, когда в гамильтониан можно добавить оба слагаемых с произвольными независимыми коэффициентами, указан в работе [105] (см. также 7 гл. 5). [c.288]

Таким образом, приведенная нами L — А пара справедлива также и для обобщений случая Горячева-Чаплыгина. Она отличается от указанной в работе [193], несколько таинственной L — А пары, которая получается вычеркиванием строки и столбца из соответствующей пары случая Ковалевской. [c.288]

Обобщение случая Горячева-Чаплыгина [c.301]

Используя (7.11), (7.15), найдем обобщение случая Горячева-Чаплыгина частной интегрируемости для пучка Выберем гамильтониан в форме [c.303]

Для алгебры е(3) имеем 7 = 1 и получаем классический случай Горячева-Чаплыгина, для которого указанный метод разделения переменных был предложен В. В. Козловым [92]. При хфО семейство (7.19), (7.20) было найдено авторами [34, 197]. [c.303]

Некоторые результаты, связанные с интегрированием классических систем (типа Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Чаплыгина) на пучках скобок Пуассона, были получены авторами в [34, 197]. Отметим, что метод разделения переменных случая Горячева-Чаплыгина, приведенный в предыдущем параграфе, позволил также явно указать его обобщение, например, на алгебру so(4), получить которое какими-либо особыми приемами не удавалось. Такой подход близок к первоначальной идее Якоби, который советовал идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183]. [c.305]

Случай Горячева-Чаплыгина. Переменные д, [c.319]

Отметим также, что интегрируемость системы и вид интегралов (10.26) сохраняется на всем пучке скобок (аналогично случаю Горячева-Чаплыгина) [c.336]

Рис. 3-4-3. Возмущение константы площадей интегрируемого случая Горячева-Чаплыгина в динамике твердого тела (уравнения Эйлера-Пуассона). х-Ю. у 0, г 10, ( >од(4, 4, ) , ц 4, Е 50, Н-1.

Случай Горячева—Чаплыгина (1900 г.) А1=Аг=4Аз, Гз=0 и постоянная с=<Л(о, е>=0. В отличие от случаев 1—3, мы имеем здесь интегрируемую гамильтонову систему лишь на одном интегральном уровне Мо. [c.134]

Уравнения движения в первых двух случаях подробно изучены с разных точек зрения в классических работах Эйлера, Пуансо, Лагранжа, Пуассона, Якоби. Случай Ковалевской нетривиален во многих отношениях. Он был найден Ковалевской из условия мероморфности решений уравнений Эйлера — Пуассона в комплексной плоскости времени. Случай Горячева — Чаплыгина намного проще его можно проинтегрировать с помощью разделения переменных. Покажем это. [c.89]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82]

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах [92, 97] и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97]. [c.90]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53-56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, по-видимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (М, 7) = О (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. [c.141]

В заключение отметим, что для кватернионных уравнений Эйлера-Пуассона как случай Ковалевской , так и случай Горячева-Чаплыгина являются общими случаями интегрируемости. Это позволяет их использовать для некоторых алгебраических конструкций (построение Ь — А-пар и пр.) и установить некоторые нетривиальные взаимосвязи и аналогии соответствующих случаев интегрируемости в классических уравнениях Эйлера-Пуассона ( 7 гл. 5). [c.219]

В этом разделе мы приведем аналогичные случаю Ковалевской обобщения случая Горячева-Чаплыгина. Отметим, что обобщение на пучок (7.3) связано с введением на нем аналога переменных Андуайе-Депри, которые оказываются разделяющими для всех представителей пучка. Эта идея нахождения аналога случая Горячева-Чаплыгина принадлежит авторам [34, 197], она также проходит при наличии гиростата (но не сингулярного члена, для которого переменные Андуайе-Депри уже не являются разделяющими). [c.301]

Для получения обобщения случая Горячева-Чаплыгина на пучок скобок (7.3) построим на нем аналог переменных Андуайе-Депри. [c.301]

Рис. 7-3. Неинтегрируемость задачи Чоплытна в случае, аналогичном интегрируемому случаю Горячева-Чаплыгина ураенению Эйлера-Пуассона. А-сИод1 , I, 41, В-0, С-0, х-20, у-20, г-0, Е-50, Н-0,1 К

Следуя А. М. Ляпунову, С. Л. Зиглии применил эти результаты к задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Оказалось, что дополнительный голоморфный (и даже мероморфный) интеграл существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...