Алгебра Якоби

Аналогичный факт справедлив и для искривленного пространства — т.е. существует аналог вектора Лапласа-Рунге-Ленца, который, однако, образует с компонентами момента L, задаваемого соотношениями (10.9), не обычную алгебру Ли, а некоторую квадратичную алгебру, названную в [68] алгеброй Якоби. [c.337]

Полное собрание сочинений Лагранжа издано в 14 томах в период с 1866 по 1892 год. Нет такой области математического анализа, геометрии, механики, которую Лагранж не двинул бы далеко вперед. Им почти целиком создана сферическая тригонометрия, результаты его исследований но теории чисел, по алгебре, дифференциальному и интегральному исчислениям переполняют существующие монографии и курсы, и, наконец, его работами было фактически определено все дальнейшее развитие механики XIX века. Такие великие математики, как его современники Пуассон, Лаплас, а в дальнейшем Остроградский, Якоби и др., развивали методы Лагранжа. И в настоящее время, когда читаешь Аналитическую механику , то не можешь оторваться от мысли, что современные курсы механики (например, курс Аппеля) в большей своей части пересказывают и комментируют эту классическую работу. [c.585]

Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группами, ни с операторами и определяется посредством введения в линейном пространстве операции умножения билинейной, кососимметрической и удовлетворяющей тождеству Якоби. Пример трехмерное векторное пространство с операцией векторного произведения есть алгебра Ли. [c.215]

Для того чтобы получить уравнение (8.5), надо умножить первые уравнения (8.4) на с ., просуммировать по и воспользоваться тождеством Якоби для структурных постоянных алгебры д. [c.107]

А. Алгебра Ли. Примером алгебры Ли является трехмерное ориентированное евклидово линейное пространство, снабженное операцией векторного умножения. Векторное произведение билинейно, кососимметрично и удовлетворяет тождеству Якоби [c.181]

Определение. Алгеброй Ли называется линейное пространство Ь вместе с билинейной кососимметричной операцией Ь X Ь Ь, удовлетворяющей тождеству Якоби. [c.181]

Можно проверить, что введенная таким образом в касательное пространство ТС операция коммутирования превращает его в алгебру Ли (т. е. операция билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби). Эта алгебра называется алгеброй Ли группы Ли С. [c.186]

Величина С (а, Ь) является билинейной кососимметрической функцией на алгебре Ли. Из тождества Якоби вытекает, что [c.338]

А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция скобки Пуассона функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор а(1о= а, (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля Гц. [c.422]

Классический (явно указанный С. Ли, 1890, но по существу рассматривавшийся уже Якоби) пример пуассонова многообразия — дуальное пространство (конечномерной) алгебры Ли. Элементы самой алгебры можно рассматривать как линейные функции на этом пространстве. Пуассонова структура определяется как продолжение структуры алгебры Ли с этого конечномерного подпространства пространства гладких функций (на дуальном исходной алгебре Ли пространстве) на все пространство гладких функций. Такое продолжение существует и единственно если <Й1,. . ., (о — базис исходной алгебры Ли, то [c.423]

Замечание 1. По теореме Якоби, согласно которой скобка Пуассона двух интегралов снова является интегралом, их полное семейство образует некоторую, вообще говоря, бесконечномерную алгебру Ли. Один из таких примеров рассмотрен в приложении. [c.75]

Некоторые результаты, связанные с интегрированием классических систем (типа Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Чаплыгина) на пучках скобок Пуассона, были получены авторами в [34, 197]. Отметим, что метод разделения переменных случая Горячева-Чаплыгина, приведенный в предыдущем параграфе, позволил также явно указать его обобщение, например, на алгебру so(4), получить которое какими-либо особыми приемами не удавалось. Такой подход близок к первоначальной идее Якоби, который советовал идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183]. [c.305]

В линейной алгебре разработан ряд методов, упрощающих решение задачи определения собственных векторов Ра и собственных чисел ка ковариационной матрицы Ц5г 11. Подробное изложение этих методов дается в [44]. В настоящей работе параметры Ра и 1а вычислялись ПО методу Якоби, заключающемуся в приведении матрицы ковариаций к диагональному виду с помощью ортогональных вращений и позволяющему получить весь комплекс собственных чисел и собственных векторов. [c.49]

Вопрос о полной классификации конечномерных алгебр Ли сводится к нахождению всех возможных наборов структурных постоянных, удовлетворяющих указанным выше условиям (и вполне определяющих закон композиции в некоторой окрестности соответствующей группы Ли). Иначе говоря, описание всех типов алгебр Ли эквивалентно нахождению всех решений тождества Якоби на классе вещественных тензоров третьего ранга с одним контравариантным и двумя ковариантными индексами, по последним из которых он антисимметричен. В полной мере эта задача до настоящего времени своего решения не получила. [c.13]

При этом структурные постоянные А, В и С полностью определяют строение максимальной алгебры Ли (с такой локальной частью) в целом и удовлетворяют следующим условиям, вытекающим из тождества Якоби (1.6) [c.19]

Таким образом, для выделения из всей совокупности алгебр Ли (к) интересующих нас здесь алгебр следует конкретизировать рассматриваемую алгебраическую конструкцию, наложив условия простоты (в виде обобщенного критерия Картана невырожденности 4 ормы) и конечности [Я )) роста алгебры. Это приводит к жестким ограничениям на вид матрицы к. Именно, все ее элементы вне (на) главной диагонали — неположительные (положительные) целые числа, причем из к, , — О следует /,==0. (Отметим, что если бы мы допустили возможность кц = Ь при некотором I, то в силу тождества Якоби и соотношений (2.8), это повлекло бы за собой обращение в нуль всей г -й строки и, соответственно, г-го столбца.) Кроме того, для любого набора натуральных чисел й,. .., г , не превосходящих г, справедливо равенство [c.24]

Представлением алгебры Ли в линейном пространстве будем называть гомоморфное отображение F- t F) алгебры в множество линейных операторов в . При этом очевидно, что благодаря свойству гомоморфизма, [f, f ]- [/(f), t F )], тождество Якоби (1.6) удовлетворяется для i F) автоматически. Аналогичным образом определим представление (непрерывной) группы Ли G, g- T(g), geG, в линейном пространстве как непрерывную функцию T g) на G со значениями в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований являющуюся решением функционального уравнения [c.55]

И, следовательно, это отобрал ение является представлением алгебры , которое называется присоединенным. При этом соотношения (5.9) совпадают с тождеством Якоби (1.4). В случае, когда — алгебра Ли связной группы Ли G, такое представление можно всегда продолжить до представления G. [c.57]

Поверхность сечения 97, 228 Подалгебра алгебры измеримых множеств 151 Поле Якоби 186 [c.279]

Во-вторых, Lj, Ьг, Ls, L образуют алгебру Ли. Для доказательства этого утверждения достаточно убедиться в то>1, что операция коммутации не выводит из множества указанных операторов и выполняется тождество Якоби. Вычислим, например, коммутатор iLi, L [c.127]

Таким образом, в гипотезе рассматриваются типичные отображения в многообразие, заданное системой квадратичных однородных уравнений. Это многообразие является очень вырожденным конусом, который может иметь компоненты различных размерностей. Можно дать много, априори неэквивалентных, естественных определений типичности отображений в этот конус (эта же сложность встречается в проблеме классификации типичных алгебр Ли данной размерности, в которой тождество Якоби — система квадратичных уравнений). [c.151]

Как принято в матричной алгебре, матрица первых производных, т. е. (2х2)-матрица [Л, называется матрицей Якоби. [c.260]

X = U6 Y = U6 , Z = — произвольные элементы алгебры Ли. Перепишем для них тождество Якоби (см. 1 гл. 1) следующим образом [c.147]

При помощи будем обозначать матрицу первых производных векторной функции [ (х) векторного аргумента (матрицу Якоби). Решение системы линейных алгебраических уравнений Ах = Ь будем формально записывать в виде х -= А" Ь, где А" — матрица, обратная А, хотя фактически для нахождения х операция обращения матрицы не производится, а система Ах = Ь решается стандартным методом гауссовского исключения с выбором ведущего элемента и с использованием стандартных программ линейной алгебры, например, приведенных в сборнике [28]. [c.17]

КОММУТАТОР — операция в линейном пространстве, ставящая в соответствие любым двум элементам а и Ь третий элемент [а, 6], со свойствами 1) [aa-fp6, = —гх[а, с] + р[Ь, с] (линейность) 2) [а, Ы+1Ь, а) = 0 (антисимметричность) 3) [а, [Ь, с]]+[Ь, [с, а]]+ с, 1а, Ь]] = 0 (тождество Якоби), где а, — нек-рые числа, К. в алгебре наз. также произведением Ли. В ассоциативной алгебре задаётся выражением [а, Ь] = аЬ—Ъа. Если [а, f ] —О, то элементы о и Ь наз. ком-мутирующими. [c.427]

Поэтому удобен т. в. инфинитезимальный ire д х од, когда исследование П. г. сводят к исследова-йй представлений их алгебр. Каждому элементу У Из алгебры Ли А группы Ли G ставится в соответствие оператор ad (У) = [У, X], для любого X ш А. Т. к. из юждества Якоби следует, что ad ([У, X]) = (ad(y), d(i)J,, то операторы, аД(У) образуют представление 11ИЕ1гебры А. Это представление наз. присоеди- гЦ.Вным представлением алгебры Ли. щт Xj,.,., Х — базис алгебры А, то матричные эле- ищт операторов ad(X /) в этом базисе совпадают со структурными константами алгебры Ли (ad(X()) = [c.103]

Определение П 8.2. Алгеброй Ли иааьшается линейное пространство g с антисимметричной билинейной операцией [ , ] дхд- д, удовлетворяющей тождеству Якоби (П 3.2). Идеалом называется такая подалгебра ас g, что [д, а] с а. [c.720]

В свою очередь, классификация всех полуиростых алгебр Ли сводится к классификации простых алгебр Ли, так как согласно теореме Картана любая полупростая алгебра Ли единственным образом представима в виде прямой суммы попарно ортогональных простых подалгебр. Для простых алгебр Ли удается полностью решить систему уравнений Якоби (1.4) для структурных постоянных на соответствующем классе тензоров и тем самым описать все эти алгебры. В конце прошлого века Киллингом и Картаном были классифицированы комплексные простые алгебры Ли, и менее чем через четверть века после этого Картан установил все их вещественные формы. Знания последних достаточно для перечисления всех вещественных простых алгебр Ли ввиду возможности редукции вещественного случая к комплексному путем комплексного продолжения. [c.21]

Теорема 6.1. Если нулевое приближение (6.1) возмущенной системы вполне декомпозируемо в соответствии со структурой обертывающей алгебры 83, задаваемой соотношениями (6.3) то, выбирая в качестве базиса 83 операторы (6.4), составляющие базис 93 , < = 1, г, систему Якоби можно привести к д независимо инт егри- [c.126]

Принцип Рэлея — Ритца привел к матричной задаче на собственные значения К0 — 1М0, которую и надо теперь решить. Однако эта задача не тривиальна, и она почти не рассматривается в обычных учебниках по линейной алгебре. Эффективный алгоритм ее решения должен учитывать симметричность и положительную определенность матриц К и М, а также их разреженность. Последнее свойство, например, потерялось бы, если бы мы разложили М в произведение (исключение Холесского) и вычисляли собственные значения матрицы с помощью обычного алгоритма. (Мы выбрали бы р/ -алгоритм, начинающийся с преобразования исходной, матрицы в треугольную, а не более старый метод Якоби.) Эта потеря разреженности не будет слишком серьезной в небольших задач, которые можно решать при наличии лишь оперативной памяти ЭВМ, но для больших систем этот подход не эффективен. [c.273]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...