Инвариант кубический

Связь между корнями уравнения (2.16), входящими в общее решение (2.19), и постоянными из выражения (2.15) однозначно определяется посредством инвариантов кубического уравнения [18 [c.68]

Компоненты напряженного состояния, входящие в выражения коэффициентов /j, /2 и /д, зависят, как мы видим, от исходных компонент напряженного состояния. Но корни кубического уравнения (4) определяются характером напряженного состояния, и от выбора исходных осей, т. е. от нашего произвола, меняться не могут. Значит, какую бы систему секущих площадок мы ни выбрали за исходную, решение будет одним и тем же. А это возможно только в том случае, если коэффициенты кубического уравнения при повороте секущих площадок не меняются. Таким образом, три величины /1, /2 и /3 являются инвариантами напряженного состояния. Они инвариантны по отношению к повороту осей координат. Значит, какую бы тройку взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через данную точку, мы ни взяли, сумма нормальных напряжений /1 и величины /2 и /3 остаются неизменными. Они так и называются первый, второй и третий инварианты напряженного состояния. [c.26]

В некоторых частных случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Если, например, инвариант /3 = О, мы можем без колебаний утверждать, что напряженное состояние во всяком случае не трехосное, ибо по крайней мере один из корней кубического уравнения (4) [c.26]

Вообще все, что было ранее сказано по поводу напряженного состояния в точке, полностью переносится и на деформированное состояние. Деформированное состояние в точке, как и напряженное, определяется шестью компонентами и представляет собой тензор второго ранга. Главные деформации определяются из кубического уравнения, коэффициенты которого являются инвариантами деформированного состояния. [c.38]

Механический смысл приведения тензора напряжений к главным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряженного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его действуют только нормальные напряжения Oi, 02 и Оз. Перефразируя этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем утверждать существование такого бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачиваются в отношениях 1 + е,, 1 + е , 1 + е , но прямые углы остаются прямыми. Для инвариантов, представляющих собою коэффициенты соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы (7.5.1) с заменой О на С . [c.222]

Аналогично главным напряжениям можно найти главные.де-формации, т. е. такие деформации, в плоскости которых отсутствуют сдвиги. Для их определения получаем кубическое уравнение, три корня которого 1, е , равны главным деформациям. Коэффициенты кубического уравнения представляют собой инварианты деформированного состояния [c.29]

До сих пор рассматривался общий случай трехосного напряженного состояния, когда все три главных напряжения с(1, Оз, а, отличны от нуля. Частным случаем является такой, когда одно из главных напряжений равно нулю. Такое напряженное состояние называется двухосным. Для того чтобы одно из главных напрян епий равнялось нулю, необходимо, чтобы третий инвариант /за был равен нулю. Тогда кубическое уравнение (1.6) превращается в квадратное [c.20]

В гл. 1 было получено кубическое уравнение (1.6) для определения главных напряжений о,, 02, О3. Там н е получены выражения для инвариантов /,а, Ьч, Ьч, являющихся коэффициентами кубического уравнения. Если в выражения для инвариантов подставить компоненты напряжений, характеризующих девиатор напряжений Оа, то первый и второй инварианты девиатора напряжений будут иметь следующий вид [c.273]

Для определения главных деформаций (Я,, Яг, Яз) ранее было получено из определителя (1.27) кубическое уравнение (1.28), коэффициенты которого являются инвариантами. [c.276]

Первым инвариантом этого кубического уравнения является сумма относительных линейных деформаций, равная относительному изменению удельного объема тела [c.276]

Инварианты напряженного состояния в точке. Сопоставляя (5.25 ) с другой формой записи того же кубического уравнения, (имеющего те же корни а.2 и аз) [c.414]

Особенностью девиатора является равенство нулю первого его инварианта (суммы диагональных элементов). Вследствие этого кубическое уравнение для отыскания главных значений диагональных компонентов девиатора (s , s , Sg) изображается так [c.419]

Равенство нулю первого инварианта девиатора деформации свидетельствует о том, что ему соответствует деформация изменения объема, равная нулю. Главные значения Эи и Эз находятся из кубического уравнения [c.464]

О виде напряженного состояния можно также судить по значениям инвариантов тензора напряжений. Так, например, при /з = 0 напряженное состояние является двухосным, так как при этом один из корней кубического уравнения (4.18) равен нулю. Если же /2 = /з = 0, то равны нулю два корня уравнения [c.87]

Решение. По формулам (1.86) вычисляем инварианты / = 3, /, = —17, /з —35. Тогда кубическое уравнение (1.82) принимает вид (Т ) — 3 (Т ) — [c.46]

Тригонометрическая форма главных компонент. Поскольку первый инвариант девиатора равен нулю, кубическое уравнение [c.49]

Сделайте подробный вывод кубического уравнения (1.82) и его коэффициентов — инвариантов симметричного тензора второго ранга. [c.50]

Инварианты Tg найдем по формулам (III.30), учитывая, что в прямоугольной декартовой системе координат матрицы и совпадают. (7 ) == О, 2 ( s) = —0 /4, /а (Tj) = 0. Кубическое уравнение (III.31) принимает вид [c.110]

Решение. По формулам (IV.24) найдем инварианты тензора напряжений h (Т о) = /2 (Т о) = —lOi h — (Та) = —5. Тогда кубическое уравнение (fV.25) примет вид А. — 6А, — ЮА. -f- 5 = 0. Его корни — главные нормальные напряжения — найдем по формулам (IV.37). Для этого вначале найдем по формуле (IV.34) интенсивность напряжений Ои = 8,124, а по формуле (IV.29) — среднее напряжение а = 2. Затем по формуле (IV.30) найдем /3 (Do) = 31, а по [c.127]

Исключая инвариант А, приходим к кубическому уравнению относительно В [c.154]

Напряженное состояние в точке — физическое состояние, которое не может зависеть от выбора координатных осей. Поэтому коэффициенты кубического уравнения, из которого определяются главные напряжения, также не должны зависеть от выбора осей, т. е. величины /j, /g, /3 являются инвариантами тензора напряжения по отношению к повороту координатных осей. Это ясно и из соотношений (1.6), которые определяют величины / , /3 через значения главных напряжений. [c.32]

Общие свойства. В изотропном теле условие текучести зависит только от инвариантов тензора напряжений и параметров состояния, поэтому его можно записать в виде Ф(ст, т,/3(Xij))= 1. Здесь /з(ху)—кубический инвариант тензо- [c.17]

В дальнейшем мы пользуемся уже сложившейся терминологией, согласно которой коэ ициенты перед квадратичными членами в разложении внутренней энергии по инвариантам тензора деформации называются модулями второго порядка (иногда линейными модулями), а перед кубическими членами — модулями третьего порядка Последние в обобщенном законе Гука определяют величину квадратичных членов и, следовательно, величину нелинейных эффектов во втором приближении. [c.288]

Материал Мурнагана. При исследовании задач для изотропных сред широко используется предложенное Мурнаганом представление упругого потенциала в виде кубической функции инвариантов тензора деформации Коши-Грина Ik = /f (S), к = 1, 2, 3) [191] [c.25]

Инварианты тензора относительно ортогональных преобразований начальной системы координат х =х определяются как коэффициенты кубического уравнения ц—/1б// =0, их обозначим здесь через а, Ь, с [c.209]

Первые инварианты йц и е девиаторов деформаций тождественно равны нулю. Поэтому девиаторы описывают деформацию сдвига, для которой кубическое расширение равно нулю, [c.131]

Третий (или кубический) инвариант можно рассматривать как развернутый в строку определитель, составленный из компонентов тензора напряжений, [c.19]

Все три корня кубического уравнения (1.58) [196] действительные. Поскольку главные деформации 8 , 83, 83 не зависят от выбора системы координат, коэффициенты кубического уравнения (1.58) также не зависят от выбора системы координат. Они называются соответственно первым (линейным), вторым (квадратичным) и третьим (кубическим) инвариантами тензора деформаций [c.36]

I, т, п — направляющие косинусы в гл. 7 J . /2, Jг — инварианты кубического уравнения для определения главных напряжений при объемном напряженном состоянии Д/эгв — эквивалентные моменты по разным теориям прочности Тэжв — эквивалентные напряжения по разным теориям прочности 1раст — коэффициент интенсивности напряжений (расчетный) [c.8]

Через каждую точку тела можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые действуют главные нормальные напря>кения. Следовательно, значения главных напряжений должны быть одними и теми же независимо от выбора исходной системы координат, в которой были определены компоненты тензора напряжений. Это означает, что коэффициенты /j, 1 и /3 кубического уравнения не меняют своего значения при изменении системы координат. Отсюда можно сделать вывод, что указанные коэффициенты являются соответственно первым (/j), вторым (I ) и третьим I3) инвариантами тензора напряжений по отношению к повороту координатных осей. [c.15]

Кубические комплексы определяются аналогично симплициальным, но вместо симплексов берутся кубы всех размерностей. Особый интерес такие комплексы вызывают потому, что евклидовы пространства допускают правильное разбиение на кубы (решётка). Связанные с кубич. комплексами топологич. задачи возникают поэтому при изучении моделей статистич. физики [9]. При вычислении нек-рых гомотопич. инвариантов пространств (напр., гомологий и гомотопических групп—см. ниже) используются также клеточные комплексы [3]. [c.146]

Величины главных напряжений не зависят от положения координатных осей V, //. г Если вокруг заданной точки вырезать несколько элементарных параллелепипедов с различным направлением граней и подставить значения составляющих напряжений для каждого из параллелепипедов в уравнение (г), то для всех параллапепипедов должны получиться одни и те же значения главных напряжений. Следовательно, корни кубического уравнения (г) не зависят от выбора координатной систе> ы н ко.эффициенты уравнения должны сохранять постоянные значения при преобразовании осей. т. е. они являются инвариантами. Поэтому величины Si. 5.j и 5, называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами напряженно, о госпю.чния Их можно выразить и через главные напряжения, для чего в формулах 1,121 касательные напряжения следует положить равик.гми нулю. j нормальным дать индексы главных напряжений, Tor.ia [c.20]

Для описания нелинейного поведения мягких материалов применяют ряд других зависимостей для IV. Широко известна, например,, модель Муни W = i(/i-3)+ 2(/2-3). Ривлин и Сандерс предложили более общую форму функции энергии деформации W = i(/i-3)+i /2-3). Последнее слагаемое может отличаться дли различных видов материалов, например, как кубический полином от второго инварианта. Тогда [c.184]

Тогда инварианты напряженного состояния, определяемые выражениями (11.1.15), будут равны Л = 100 МПа, J2 = —4100 МПа , J3 = 0. Кубическое уравнение относительно главных напряжений (см. выражение (11.1.14)) запишется в виде — ЮОсг — 4100<т = О, откуда = О, = [c.511]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...