Гамильтоново векторное поле

ГАМИЛЬТОНОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ [c.246]

Теорема. Фазовый поток gn- гамильтонова векторного поля И состоит из канонических отображений. [c.259]

Гамильтоново векторное поле (1.2) для краткости будем обозначать Уц[г). [c.20]

Доказательство теоремы 1 базируется на применении обобщенной теоремы Ли из п. 3. Естественное отображение алгебры Ли функций Fi,..., на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей uf,,..., Vf является изоморфизмом ввиду (3.23) и того факта, что линейная комбинация кГк есть тождественная константа только при Al =. .. = Л = О (так как Fi,..., F функционально независимы). [c.83]

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

Векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии также образуют алгебру Ли. Операции в этих алгебрах называются скобками Пуассона. [c.175]

Здесь определены симплектические многообразия, гамильтоновы векторные поля на них и стандартная симплектическая структура в кокасательном расслоении. [c.175]

В. Гамильтоновы векторные поля. Риманова структура на многообразии устанавливает изоморфизм между пространствами касательных векторов и 1-форм. Симплектическая структура также устанавливает подобный изоморфизм. [c.177]

Определение. Векторное поле I йН называется гамильтоновым векторным полем, Н — функцией Гамильтона. [c.177]

А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (М , (О ) — симплектическое многообразие, Н М К — функция. Предположим, что соответствующее В гамильтоново векторное поле I д,Н задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Л/ ", [c.177]

Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. Функции Гамильтона также образуют алгебру Ли операция в этой алгебре называется скобкой Пуассона функций. Первые интегралы гамильтонова фазового потока образуют подалгебру алгебры Ли функций Гамильтона. [c.187]

Следствие 6. Гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. [c.190]

Определение. Локально гамильтоновым векторным полем на симплектическом многообразии (М ", [c.191]

Фазовый поток, заданный локально гамильтоновым векторным полем, называется локально гамильтоновым потоком. [c.191]

При исследовании поведения решений уравнения Гамильтона вблизи положения равновесия часто недостаточно ограничиваться линеаризованным уравнением. Действительно, асимптотически устойчивые положения равновесия для гамильтоновых систем невозможны по теореме Лиувилля о сохранении объема. Поэтому устойчивость линеаризованной системы всегда нейтральная собственные числа линейной части гамильтонова векторного поля в устойчивом положении равновесия все лежат на мнимой оси. [c.351]

Определение 5.5.11. Пусть (М, о,) — симплектическое многообразие и Я М Ж — гладкая функция. Тогда векторное поле Хц = Я, определенное условием Xg.Jш = dH, называется гамильтоновым векторным полем, связанным с Я, или симплектическим градиентом Н. Поток для которого ф =Хд, называется гамильтоновым, потоком Я. [c.230]

Гамильтоново векторное поле С-гладко тогда и только тогда, когда функция Гамильтона С" " -гладка. Таким образом, можно отождествить пространство С-гамильтоновых потоков, которое является замкнутым линейным подпространством Г (ГМ), с пространством С " (М, К). [c.230]

Это немедленно привносит структуру алгебры Ли на совокупность гамильтоновых векторных полей. [c.233]

Замечание. Таким образом, гамильтоновы векторные поля образуют алгебру Ли. [c.233]

Предложение 5.6.1. Гамильтоново векторное поле Х на Т М сохраняет 1 -форму в тогда и только тогда, когда гамильтониан может быть выбран положительно однородным степени один относительно р, т. е. H q, Хр) = ХН д, р) для Л > 0. [c.237]

V — в точности гамильтоново векторное поле. Оказывается, что контактные формы всегда могут быть получены таким способом с помощью некоторого обобщенно однородного гамильтониана (см. предложение 5.6.4). И наоборот, из замечания в конце 5.3 и наблюдений, приведенных в предшествующем пункте, вытекает такое предложение. [c.238]

Покажите, что для гамильтонова векторного поля Vp функции Р выполнено равенство ind 0= = 1 — п. [c.330]

Показать, что векторы гамильтонового векторного поля касаются поверхности уровня функции Гамильтона Я(p,q). [c.700]

Картина. Шрёдингера —подход, основаппый на гамильтоновом векторном поле. Гамильтониан И (ф-ция на С, ы.) задаёт векторное поле гд ио правилу отвечающее гд поле ковекторов должно совпадать с дифференциалом ёН ф-ции Гамильтона. Движение фазовой точки со скоростью од описывается системой дифференциальных ур-ний, к-рая в координатах Дарбу принимает вид ур-вий Гамильтона [c.521]

Классик, подход к спину. Векторное произведение в З-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектик. слои в данном примере — концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия — линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h) и приводит к неприводимым представлениям группы вращений — как векторный , так и спинорным . [c.522]

Он является оператором ди( )ференцирования вдоль гамильтонова векторного поля лишь при условии г + /3, = О (1 г п). [c.326]

Гамильтоново векторное поле 20, 22 Геодезически выпуклая область 142 Геодезический поток 150 Г простат 42 Группа монодромии 358 -- приведенная 360 [c.427]

Алгебру Ли функций Гамильтона можно естественно отобразить на алгебру Ли гамильтоновых векторных полей. Для этого каждой функции Н сопоставим гамильтоново векторное поле Н с функ-гщей Гамильтона Н. [c.190]

Г. Локально гамильтоновы векторные поля. Пусть (ЛЯ", ш ) — симплектическое многообразие, g . Л/ — Ж - — однопараметрическая группа диф- феоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру. Будет ли g гамильтоновым потоком [c.190]

Задача 8. Докажите, что локально гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли всех полей. При втом скобка Пуассона двуж локально гамильтоновых полей — это настоящее гамильтоново поле, его функция Гамильтона однозначно ) определена данными поля.чи %, 1) по формуле [c.191]

Теорема. Симплектизация контактного векторного поля есть гамильтоново векторное поле. Гамильтониан можно выбрать однородным первой степени относительно действия мультипли- [c.327]

Следствие. Симплектизация векторных полей является изоморфным отображением алгебры Ли контактных векторных полей на алгебру Ли всех локально гамильтоновых векторных полей с однородными гамильтонианами степени 1. [c.328]

Однако квадратичная часть функции Гамильтона в устойчивом положении равновесия может и не быть знакоопределенной. Простейший пример доставляет функция Я = 9 — р. — Исследование устойчивости систем с такой квадратичной частью должно учитывать члены ряда Тейлора следующих степеней, прежде всего кубические члены функции Гамильтона (т. е. квадратичные члены векторов поля фазовой скорости). Исследование это удобно производить, приводя функцию Гамильтона (и следовательно, гамильтоново векторное поле) к возможно более простому виду подходящей канонической заменой переменных. Иными словами, для изучения решений полезно подобрать систему канонических координат вблизи положения равновесия так, чтобы по возможности упростить вид функции Гамильтона и уравнений движения. [c.351]

Более общее определение включает 2п-мерное замкнутое гладкое многообразие М, замкнутую невырожденную дифференциальную 2-форму П на Т М, т. е. такую форму, что ( Г2=ОиГ2" 0 (где йО, — внешняя производная формы Г2, а — ее п-кратное внешнее произведение), а также гладкую функцию Н М Ш. Тогда по определению гамильтоново векторное поле — это такое поле Уц, что [c.49]

В отличие от симплектического многообразия, которое допускает множество гамильтоновых векторных полей, контактные многообразия снабжены каноническим векторным полем v, которое определяется соотношениями г = 1 и v d6=0. Оно единственно, поскольку ядро формы одномерно и не пересекается с ядром формы 9 в силу невырожденности. Отметим, что производная Ли 0 обращается в нуль, поскольку = onst, так что поток поля V, называемый характеристическим потоком контактной формы, сохраняет 9 и, следовательно, все структуры, определенные в терминах 9, в частности объем. Таким образом, характеристический поток представляет собой канонический пример потока, сохраняющего объем. [c.238]

Отождествим гладкое 2п-мерное многообразие с фазовым пространством механической системы. Пусть а—ёО — невырожденная замкнутая 2-форма (точная симпликтическая структура) на М, а Н М —>- К — кусочно-гладкая функция. Вне поверхностей П/ функция Н задает гладкое гамильтоново векторное поле sgтa(iH, удовлетворяющее равенству [c.151]

Очевидно, что указанные пересечения трансверсальны и гамильтоново векторное поле з гас1//о— (О, О, рх, р ) трансверсально двумерным поверхностям Од, 0 . В качестве координат на Оо и 0 можно взять Рф И ф. Фазовый поток индуцирует отображения СйОо—и С2 0л— Оо, которые в координатах р ср выглядят следующим образом [c.156]

Гамильтоново векторное поле 151 Гипотеза Ньютона 12 Гироскопическая сила 33 Граф Кокстера 114 Группа диэдральная 28 [c.167]

Лемма скобка Ли двух гамильтоновых векторных полей — I grad F, rf — = I grad G есть гамильтоново поле с функцией Гамильтона — (-F, G). Доказательство см. в приложении 32. [c.210]

Скобку Пуассона f, G можно вычислять по формуле dF(IdG)—значение ковектора dF на векторе IdG. Следова тельно, производная функции F вдоль гамильтонова векторного поля IdH равна как раз F, Н). Таким образом, уравнение Гамильтона (15) можно переписать в эквивалентной форме F= = F, Н . Поскольку координатные функции pi,..., р , qi,-... .., q образуют полный набор независимых функций, то уравнения [c.32]

Это приведение можно осуществить, например, следующим образом. Поскольку гамильтоново векторное поле на М допускает группу (7, тс. его можно опустить на факторпространство [c.110]

Определение. Рассмотрим набор из р+1 целых чисел. <С1р+1 - Гамильтоновым векторным полем Я(1ь. .., 1р+1) на полном пересечении /=0 называется определитель, полученный разложением по первой строке символь- [c.37]

Симплектические координаты для пуасссоновой структуры (3.51) построим следующим образом. Выберем в качестве переменной действия L = ei. Из условия I, L) = следует, что угловая переменная I является параметром времени вдоль интегральной кривой гамильтонова векторного поля [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...