Ортогональность функций на отрезк

Ортогональность функций на отрезке 155 [c.313]

Полиномы Лежандра образуют полную систему ортогональных функций на отрезке — 1 <х< 1 [c.39]

Обладающий требуемыми свойствами набор решений получается из (1.13) на основании следующих соображений. Поскольку необходимо удовлетворить граничные условия на сторонах % = а, то искомое решение должно содержать полные и ортогональные системы функций на отрезке < ft Для этого в первой группе частных решений (1.13) выберем такую последовательность значений [c.163]

Наконец, можно показать, что в волноводе с любыми импедансными стенками функции распределения давлений или дг-компо-ненты скоростей частиц для всех нормальных волн образуют полную ортогональную систему функций на отрезке (О, h), хотя эта система функций является набором косинусов некратных дуг. Эти функции имеют вид os ( z + е), где все значения Сие определяются из граничных условий. Во всех случаях полнота системы обеспечивает возможность представить данное распределение давления (или х-компоненты скорости частиц) по сечению суперпозицией соответственных распределений по сечению для [c.254]

Покажем, что найденные собственные функции (х), т. е. решения задачи (4.121), (4.122), ортогональны на отрезке [О, /]. Пусть Хт, Хп два каких-либо решения задачи (4.121), (4.122) с фиксированными (выбранными) краевыми условиями, соответствующие различным собственным числам Ф fi . Имеем тождества [c.162]

Итак, собственные функции задачи (4.121), (4.122) ортогональны на отрезке [О, /], а это, как уже известно, является одним из условий, обеспечивающих реализацию метода Фурье. [c.164]

Тогда спектр оператора оказывается расположенным на отрезке ш Я М. Действительно, положим, что Я < т, тогда (Аи — — Хи,и) (т — Х)(и,и). Следовательно, оператор А — ХЕ положительно определенный, поэтому обратный оператор (А — ХЕ)- существует и, следовательно, значения X <С т не принадлежат спектру оператора А. Аналогичные рассуждения проводятся для точек полупрямой Я > М. Покажем также, что собственные функции, соответствующие различным значениям Я1 и Ха, ортогональны между собой. Имеем [c.145]

Функции o(J )> i(- ).--- на отрезка а < дг 6 называются ортогональными, если [c.305]

Метод Бубнова—Галеркина основан на свойстве ортогональности функций. Система функций фо(л), tpi(x),. .., фк(л ),. .. образует на отрезке [а, Ь ] ортогональную систему, если при кф1 выполняется условие [c.451]

Если полученный ряд (183) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, то функция L (у) — f(x) ортогональна на отрезке Ixg, каждой функции Vi i(x) системы (180), а так как система (180) полная, то L(y) — f(x) = О, а это значит, что у является решением уравнения (179) или (178). Очевидно, у удовлетворяет и краевым условиям у (хц) = у х = О, так как все Wi (хц) = Wt (х ) = 0. [c.118]

Функции Jf (x) ортогональны на отрезке [О, /] с некоторым весом р (х), т.е. [c.109]

В методе суперпозиции произвол в решении (1.13) используется иначе. Здесь решение формируется так, чтобы ответственными за удовлетворение любых граничных условий на сторонах г = ft были постоянные Ф и Л. При этом в качестве I целесообразно выбрать такую последовательность чисел чтобы системы функций sin Xi и os Xi были полными и ортогональными на отрезке Xi а. Из этого требования в качестве возможных следуют значения [c.163]

Функции (ро (х), ф] (х). .. на отрезке (/ X называются ортогональными, если [c.76]

Используя ортогональность функций sh Uk z на отрезке [О, h дем Bk из условия [c.59]

Из соотношения (4.25) определим постоянные Dk, используя свойство ортогональности на отрезке [О, а] функций [c.161]

Для определения Хк и ук воспользуемся условием ортогональности функций ( os у ) на отрезке [0,7] [67] [c.174]

При расположении полости целиком в одном из слоев структуры или в полупространстве, на малом удалении от границы, целесообразно использовать метод сведения задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений [8, 9] с использованием аппроксимационного подхода при описании закона распределения контактных напряжений. При аппроксимации закона распределения напряжений под штампом точным образом учитывается порядок особенности в угловых точках штампа. Гладкая составляющая определяется в виде отрезка ряда по полной системе ортогональных функций с неопределенными коэффициентами. Наряду с этим используется метод коллокаций и естественное представление вспомогательных функций напряжения на цилиндрической поверхности в виде ряда Фурье. При усложнении постановки задачи возникают технические [c.316]

Благодаря тому, что функции os ортогональны на отрезке I, [c.66]

Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [а, Ь] квадратом, ортогональной ко всем функциям ф (х), п = 1, 2,. ... [c.534]

По аналогии с определением ортогональности функций одного переменного на отрезке действительной оси, мы скажем, что семейство функций (4.8) от двух переменных образует в силу (4.58) ортогональную систему функций на сфере единичного радиуса. [c.177]

Здесь Ьп [х) — полиномы Лагерра [5], составляющие полную ортогональную на отрезке [О, °о) с весом систему функций. Условие ортогональности для них может быть записано в форме [5] [c.140]

Рассмотрим вначале граничные условия на поверхностях г — и г = г . Решение предыдущей задачи для полного кольца показывает, что в этом случае частные решения (1.20) следует конкретизировать так, чтобы получить полную и ортогональную систему функций в отрезке О 0 Эр. Такое требование позволяет определить область допустимых значений а. Этому требованию, очевидно, удовлетворяют а, " = - (п = О, 1, 2,. ..), af = (n = О, [c.16]

Так как функции со образуют на отрезке [0 / ] полную ортогональную систему и со т со п =гО, при , [c.73]

При минимально допускаемой ошибке ф =- 10 вычисленные углы согласовались в пределах О, Г. Графическая проверка основана на том, что если даны три ортогональных проекции любой трехмерной конфигурации, то действительная длина любого отрезка этой конфигурации может быть определена. Инвариантность длин звеньев является одной проверкой, изменение осевого расстояния в функции от угла, как в случае винтовой пары, является другой проверкой соблюдение замкнутости является еще одним критерием так же, как и сохранение ортогонального 290 [c.290]

Как известно из теории рядов Фурье, эти косинусы образуют лолную ортогональную систему функций на отрезке (О, К), и поэтому любое распределение сторонних давлений (если оно удовлетворяет некоторым условиям, всегда оказывающимся выполненными в случаях, имеющих физический интерес) можно динственным способом представить в виде такого ряда. Разложение будет иметь вид [c.253]

Систему функций называют ортогональной на отрезке faJb [c.55]

Т. о., эргодич. теоремы позволяют говорить о предельных временных средних или о временнь1х средних пй бесконечному отрезку времени. Существование последних — признак нек-рой регулярности в поведении траектории ДС, но эта регулярность связана с усреднением, а потому носит лишь статистич. характер. Что касается предельного временного среднего, то его можно охарактеризовать в гсом. терминах, не прибс1 ая к помощи усреднения. Здесь ключевую роль играет понятие инвариантной функции. Так называются ф-пии, постоянные вдоль траекторий почти всех точек фазового пространства. Множества, индикаторы к-рых инвариантны, наз. инвариантными множествами. В пространстве инвариантные ф-ции образуют линейное подпространство, и предельное временное среднее / любой ф-ции feL совпадает с её ортогональной проекцией на это подпространство. Аналогичным образом можно охарактеризовать / ив том случае, когда / имеет лишь интегрируемый модуль, т, е. принадлежит пространству L . [c.627]

Включение в правую часть уравнения (106) сил, передаваемых со стороны жидкости, и д(1ссипативных сил, связанных с конструкционным демпфированием при упругих колебаниях корпуса, а также использование собственных функций Ц/ (j ) краевой задачи (107), ортогональных на отрезке [О, / , приводит к следующим уравнениям возмущенного движения рассматриваемой конструкции [c.88]

Путем непосредственного вычисления можно убедиться, что функции os 0/n не ортогональны на отрезке [О, 1], однако ортогональны функции sin в т). Свойство су)тогональности используем для вычис ления коэффициентов j из (2.51). С этой целью разложим функцию п в ряд [c.82]

С учетом уравнения (2.80) можно доказать ортогональность функций os 0jTi на отрезке (О, 1]. Используя это свойство, найдем [c.97]

Система функций г[ )(х), (х). .. называется полной на отрезке asgXig /., если для любой непрерывной функции f (х) на [а, Ь] всегда можно подобрать п и коэффициенты Со. l, с так, что среднее квадратичное отклонение (х) = СоЧ]),, (х) -f (х) + +. .. +с Фл(х) от (х) становится меньше любого сколь угодно малого положительного числа, т. е. говорят, что S (х) сходится в среднем к функции /(х). Условие полноты системы ортогональных функций iji,, (х), [c.76]

Доказательство справедливости основных формул (36), (37), (48) можно найти в книгах по математике [10—12]. Здесь мы укажем лишь, что их вывод, так же как и некоторые другие свойства рядов и интегралов Фурье, основан на том, что система экспоненциальных функций ехр 2лШх (а также гармонических, чере которые она может быть представлена) является ортогональной. Для этих функций, ортогональных на отрезке [О, а], справедливо условие [c.23]

Подставляя предполагаемое решение (55) в уравнение (53) и используя ортогональность sin lnxL ) на отрезке от О до L, находим неизвестные функции [c.704]

Выберем теперь следующую систему криволинейных ортогональных коордннат (рис. 174). Проведём в точках контура С нормали к С, и пусть нормаль через произвольную точку М, лежащую вблизи контура С, пересекает этот контур в точке N. Выбрав на контуре С определённую точку О за начало отсчёта дуг, будем определять положение точки М координатами j = s и q n, где S и п суть взятые с надлежащими знаками длины дуги кривой 0N и отрезка нормали NM. Возьмём соседнюю с М точку М и вычислим расстояние da между точками М и yVr. Бесконечно близкие нормали AIjV и M N пересекаются в центре кривизны К кривой с, соответствующем точке N. Обозначим радиу-, кривизны кривой С в точке N через г (s) и предположим, что г (s) есть непрерывная функция от s вместе со своей первой производной. [c.551]

Отметим, что довольно просто можно оценить количество двузвенных траекторий трехмерного биллиарда. Действительно, сопоставим каждой точке ф выпуклой поверхности Г, задающей биллиард, длину отрезка [ф, 91], ф1еГ, ортогонального к Г в точке ф. Получаем гладкую функцию I на сфере 5 . Типичным критическим точкам функции / соответствуют периодические траектории биллиарда. Функция t достигает максимума в некоторой точке феГ 52. Но тогда соответствующая точка ф1 также является максимумом для I. Аналогично I имеет два минимума на S . Так как эйлерова характеристика сферы равна 2, то I не может иметь в качестве критических точек только два изолированных максимума и два изолированных минимума, следовательно, у функции t имеется еще одна критическая точка. Таким образом, мы получили, что выпуклый трехмерный биллиард в общем случае имеет по крайней мере три двузвенные периодические траектории максимальную , минимальную и седловую . Отметим, что теорема 2 гарантирует существование лишь двух таких траекторий. [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...