Переменные канонически сопряженные

Так как при столь общих преобразованиях, как (41.9), величины утрачивают свое первоначальное значение обобщенных импульсов, то величины Р/г, Qk лучше назвать каноническими переменными в этом случае говорят, что и Qk являются канонически сопряженными . Уравнения Гамильтона, вследствие их инвариантности относительно этих преобразований, называются также каноническими дифференциальными уравнениями . [c.294]

Если, с другой стороны, мы хотим заменить только одну из первоначальных переменных, например, у на канонически сопряженную переменную У, то мы должны видоизменить (42.8) следующим образом [c.300]

Гамильтон предложил записывать уравнения движения в переменных Qi, pi t. В этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в разрешенную относительно производных систему 2п уравнений первого порядка, имеющую замечательно симметричную форму записи. Эти уравнения называют уравнениями Гамильтона (или каноническими уравнениями). Переменные qi и р (г = 1, 2,. .., п) называются канонически сопряженными. [c.284]

Примеры 2 и А показывают что при канонических преобразованиях может исчезнуть различие между координатами и импульсами. Применение названий импульс и координата может стать чисто условным. Поэтому для пары переменных Qi и очень удобно название канонически сопряженные переменные . [c.346]

И, быть может, от времени (в наборе 2п переменных (65) отсутствуют пары канонически сопряженных переменных pi или Qj Pj). При [c.353]

Т. е. функция Гамильтона зависит от п функций /, каждая из которых зависит только от одной пары своих канонически сопряженных переменных pi. Будем предполагать, что [c.363]

Пусть функция Н выражается последовательно функцией от функции , где каждая функция / зависит от предыдущей функции / и своей пары канонически сопряженных переменных pf. [c.364]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Введенные канонически сопряженные переменные Д, /25 wi, W2, W3 называются каноническими переменными Делонэ или кратко, элементами Делонэ. Следуя Делонэ, для них часто используются обозначения G, L, /г, g, I (не путать обозначения L, h элементов Делонэ с обозначениями функций Гамильтона, Лагранжа и константы интеграла энергии ). Элементы Делонэ связаны с обычными элементами орбиты П, г, а, е, j, т следующими получаемыми из (68)-(72) соотношениями [c.386]

Две системы канонических элементов Пуанкаре. Для многих приложений (например, связанных с исследованием движения планет) целесообразно иметь канонически сопряженные переменные, среди которых есть такие, которые малы для малых значений эксцентриситетов и наклонений орбит. Пуанкаре ввел две системы таких переменных. Их называют элементами Пуанкаре. [c.387]

Во второй системе элементов Пуанкаре величины Л, Л — те же канонически сопряженные переменные, что и в первой системе, а остальные четыре элемента определяются формулами ( , р — импульсы, q [c.387]

Будем считать, что при = О система (1) интегрируема (т. е. мы можем получить ее общий интеграл), а канонически сопряженные переменные qi Pi выбраны так, что функция Гамильтона Яо, соответствующая невозмущенной задаче, зависит только от импульсов, т. е. [c.392]

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Я2, имеет только простые чисто мнимые корни (/с = 1, 2,..., п). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Н2 можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных [c.399]

Введем новые канонически сопряженные переменные Q, Р при помощи унивалентного канонического преобразования (см. пример 6 п. 170) [c.511]

Импульсы р,- являются каноническими сопряженными переменных [c.654]

Вариационные принципы время и энергия как канонически сопряженные переменные [c.143]

Мы завершим эту главу, рассказав, как можно ввести время и энергию (с отрицательным знаком) в качестве канонически сопряженных переменных. Для этих рассуждений нам придется отбросить то ограничение, которого мы до сих пор придерживались, а именно считать, что гамильтониан уже может содержать время t явно. Нетрудно убедиться, что в этом случае канонические уравнения движения (5.108) по-прежнему справедливы, но что вместо (5.111) мы получим теперь [c.148]

В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие требования а) гамильтониан системы является функцией только половины переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона — Якоби которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны, но причины введения переменных действие — угол значительно хитрее. II действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так называемыми адиабатическими инвариантами. Мы определим [c.172]

Канонически сопряженными параметрами состояния назовем параметры, относящиеся к одной степени свободы. Например, для термомеханической системы с двумя степенями свободы канонически сопряженными параметрами будут V и р (механическое взаимодействие), и Г и S (тепловое взаимодействие). Приведенное выше основное соотношение термодинамики (уравнение 44) выражено через независимые переменные s и 0. В общем случае для термомеханической системы независимые переменные можно выбирать произвольно из следующего ряда параметров [c.55]

Первые две совокупности переменных в этом ряду являются канонически сопряженными, т. е. они относятся к одной и той же степени свободы. В последующих четырех совокупностях независимые переменные относятся к различным степеням свободы. В этой связи для системы с двумя степенями свободы можно определить четыре зависимых переменных U, /, f, Ф), в то время как до сих пор использовалась только одна из них — внутренняя энергия U. [c.55]

Воспользуемся преобразованием Лежандра, согласно которому, для замены в уравнении (44) одной независимой переменной (например v) канонически ей сопряженной (т. е. р) надо из зависимой переменной U вычесть произведение этих двух канонически сопряженных переменных (в нашем случае pv). [c.55]

Пусть заданы аналитические в некоторой области Огп функции i x, у), S x, у) канонически сопряженных переменных х = хи Хг,. .., Хп), У=(Уи Уг,. Уп) И определены следующие операторы [c.216]

В новых переменных гамильтониан (5) равен Н — Ho R,J, t) + + J, (f, ф, t). Канонически сопряженными парами переменных являются [c.172]

Введем импульс P , канонически сопряженный времени i, и переменную г = = et. Тогда систему можно рассматривать как автономную гамильтонову систему с тремя степенями свободы и с гамильтонианом Н Ри,и, Py,v, Pi,t) — Н Канонически сопряженными парами переменных в этой системе являются (Ри,и), Ру, г ), и [Pt, е т). Рассмотрим динамику системы при значении гамильтониана Н = 0. Обозначим к = —2Р (в невозмуш енной системе А > О, так как значение гамильтониана (14) больше 0). Введем новое время t так, что [c.179]

Положим G в качестве второй импульсной переменной и построим канонически сопряженную ей координату д. Для этого выберем Н = G в качестве нового гамильтониана, тогда соответствующий ей поток на всем пучке имеет вид [c.302]

Таким образом, преобразование (35.10) сводится к взаимному переименованию координат и импульсов (новые координаты совпадают со старыми импульсами, а новые импульсы отличаются от старых координат только знаком). Этот пример наглядно указывает на равноправие координат и импульсов в методе Гамильтона, в силу чего переменные VI п называют канонически сопряженными величинами. Вместе с тем это указывает на условность наших представлений о переменных как о пространственных координатах и о р как динамических переменных, измеряемых произведением массы на скорость. Различие между ними практически состоит только в названии, и поэтому при рассмотрении любого механического процесса нельзя противопоставлять его кинематику динамике и наоборот, ибо кинематическое и динамическое в движении любой механической системы составляют единое целое. [c.200]

Введение канонически сопряженных переменных (/, О) осуществляется для одной степени свободы с помощью соотноше- [c.13]

Пусть I,,. .., / — обобщенные импульсы (действия), канонически сопряженные углам Oi,. .., Ojt. Это означает, что уравнения движения в этих переменных имеют вид [c.23]

Поэтому преобразование (1.5) сохраняет фазовый объем, а переменные (у, ) могут быть выбраны в качестве канонически сопряженной пары. В целях упрощения положим далее [c.63]

Как мы увидим дальше, переменной, канонически сопряженной со-временем будет обобщенная энергия, ьзятая с обратным знаком и выраженная в канонических переменных. [c.283]

Гамильтон нредло5кил записывать уравнения движения в переменных qi. Pi, 1. И этих переменных уравнения Лагранжа (1) переходят в ра.зрешенную относительно производных систему 2п уран-нений первого норядка, имеющую замечательно симметричную с орму записи. Эти уравнения называют уравнениями Гамильтона Дилн каноническими уравнениями). Переменные qt и pi (i=l,2,...., п) называются канонически сопряженными. [c.241]

Теперь рассмотрим пару канонически сопряженных переменных /25 2- Из (53), (59) и (66) следут, что /2 = с, т. е. /2 — это величина кинетического момента точки Р относительно притягивающего центра. Но из (45) видно, что с = лУка 1 — е ). Поэтому [c.386]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

Каданова теория критический явлений I 371 КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера) теорема II 361 Канонические преобразования I 24, 30, 55, 65 Канонический ансамбль I 140 Канонически сопряженные переменные I 20 Каца потенциал I 336 Кинетический оператор эволюции II 178, 192 [c.392]

Прежде всего примем, следуя Вейлю [91, что эрмитовский оператор, соответствующий действительной классической функции Ф (г, р) канонически сопряженных переменных г и р, определяется следующим соотношением [c.208]

Конструктивный перехс5д к циклическим координатам возможен, в частности, при выполнении следующих дополнительных условий любая пара канонически сопряженных переменных должна являться совокупностью ограниченных периодических функций времени с одинаковым периодом Г/, либо каждый импульс Р( должен представлять собой периодическую функцию координаты дк В этом случае переход к переменным действие — угол [ 16], [22, с. 436] приводит [c.78]

Пусть биллиард медленно вращается с угловой скоростью uj, причем параметры с и а медленно изменяются с = et), а = а (et). Пусть в декартовой системе координат х,у) фокусы биллиарда имеют координаты (с, 0) и (—с,0). Обозначим импульсы, канонически сопряженные (х,у), через PxtPy)- Переходя к новым переменным Ри,и, P ,v) с помощью канонической замены переменных с производящей функцией W = с(рж osh v os w — Ру sinh г sin и) [11], получим следующий гамильтониан [c.178]

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ, принцип неопределенности, — фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что ие существуют такие состояния физ. системы, в к-рых две динамич. неременные А а В имеют вполне определенные значения, если эти переменные канонически сопряжены друг другу в духе гамильтонова формализма (см. Канонические переменные). Т. о., никакой эксперимент не может привести к одновременному точному измерению таких А и В. Неточность в измерениях при этом связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными свойствами исследуемой системы. Количественная формулировка С. и. — произведение погрешностей измерения канонически сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше ностояпной Планка й Д--4 Дй > й. [c.580]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...