ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1-го порядка обыкновенные

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

В методе интегральных соотношений область разбивают кривыми линиями, форма которых определяется видом границы области интегрирования. Произвольность выбора аппроксимирующих функций позволяет найти достаточно точное решение при сравнительно небольшом числе полос, что существенно при практических расчетах. Однако если аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет высокий порядок, то эффективность метода сохраняется лишь в случае, когда он дает достаточно точное решение уже при небольшом порядке этой системы. [c.182]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Согласно этим определениям система дифференциальных уравнений (7.1) имеет второй порядок относительно yj t), j = 1, 2,. . ., ni, и порядок п = 2т, где т — число компонент вектор-функции у (t). Система уравнений (7.2) с конструктивной точки зрения значительно проще системы (7.1). В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что если исходная система дифференциальных уравнений порядка п разрешима относительно старших производных, то она может быть приведена к нормальной системе порядка п [72]. Следовательно, система дифференциальных уравнений (7.1) приводится к нормальному виду (7.2), причем компоненты вектор-функции у (t) вычисляются по правилам [c.192]

Система обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующая им система дробно-рациональных передаточных функций, описывающая динамические процессы в блоке, обычно имеет очень высокий суммарный порядок (150—200). Порядком уравнений определяется число необходимых для моделирования интегрирующих усилителей и, в конечном итоге, мощность АВМ. [c.345]

В уравнениях (9,21) исключим величины Qx n и Q m — моменты остаются в виде одной из основных искомых функций. Представляя далее деформации и изменения кривизны в этих уравнениях и в уравнении (9.24) через перемеш,ения по формулам (9.22), получаем систему из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений с постоя-ными коэффициентами. Каждое уравнение имеет второй порядок [c.258]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями qi от независимого переменного t. Порядок этой системы равен 2я. Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голоном-ной системы с я степенями свободы, не может иметь порядок, меньший 2я, так как в силу произвольности начальных значений величин qi и 9 (г=1, я) решение системы должно содержать, по крайней мере, 2я произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок. [c.50]

Система дифференциальных уравнений (7.2) называетея нормальной канонической) системой обыкновенных дифференциальных уравнений [72]. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнений являются х , х , л , которые могут рассматриваться как компоненты вектор-функции л = (х , Х2,. . х ), а наивысший порядок производной функции Xj, входящей в систему, равен д., j = I, 2,. . ., то число q. называется порядком системы относительно х.. Число = называется порядком системы урав- [c.192]

Один из основных подходов к расчету оболочки состоит в разрезании ее на отдельные панели и ребра. При этом решается граничная задача для каждой панели, после чего производится склейка решений с учетом дифференциальных уравнений для ребер. Получаются связанные между собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Число систем равно числу ребер N, порядок каждой системы для классической теории оболочек восьмой. Так как связанность осуществляется через правые части уравнений равновесия ребра, являющиеся, вообще говоря, реакциями со стороны панелей, то уравнения всегда могут быть, проинтегрированы для каждого ребра самостоятельно. В этом случае задача сво=-дится к решению 8N функциональных уравнений или алгебраических уравнений если, например, решение удается разложить в направлении ребра по системе ортогональных функций. Для замкнутой оболочки с меридиональными ребраийг система распадается на независимые системы по 8 уравнений при наличии усло> ВИЙ периодичности по каждому ребру, а при наличии периодичности по отдель -ным группам из п ребер (Л /я — целое) на независимые группы по п связанных систем. Метод разрезания использован, например, Л. И. Балабухом и Л. А. Шаповаловым [3], а также Ф. Фишером [75]. [c.323]

Так как для интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Кутта—Мерсона, имеющий пятый порядок точности, для интерполяции функции одной переменной целесообразно выбрать интерполяционный многочлен пятой степени п = 5). [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...