ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование Лежандра из "Математические методы классической механики " Преобразование Лежандра — вспомогательный математический прием, состоящий в переходе от функций на линейном пространстве к функциям на сопряженном пространстве. Преобразование Лежандра сродни проективной двойственности и тангенциальным координатам в алгебраической геометрии яли построению сопряженного банахова пространства в анализе. Оно часто встречается в физике (например, при определении термодинамических величин). [c.59] Преобразованием Лежандра функции / называется новая функция g нового переменного р, которая строится следующим образом (рис. 43). Нарисуем на плоскости х, у график функции /. Пусть дано число р. [c.59] Точка X (р) определяется из условия экстремума дР/дх = О, т. е. / х) — р. [c.59] Ввиду выпуклости функции f (х) такая точка х р) единственна ). [c.59] Пример 2. Пусть / (ж) = — . Тогда g (р) = —. [c.59] Легко проверить, что преобразование Лежандра переводит выпуклые функции в выпуклые. Поэтому его можно применить дважды. [c.59] Задача. Покажите, что областью определения g может оказаться одна точка, отрезок или луч, если функция / определена на всей оси х. Докажите, что если функция / определена на отрезке, то функция g определена ва всей оси р. [c.59] Теорема. Преобразование Лежандра инволютивно, т. е. его квадрат равен тождественному преобразованию если f при преобразовании Лежандра переходит в д, то преобразование Лежандра от д будет снова /. [c.60] Докажем, что G (х, р (х)) = / (ж). С этой целью заметим, что G (х, р) = хр — g р) имеет простой геометрический смысл это ордината касательной к графику/(а ), имеющей наклон р, при абсциссе х (рис. 45). Действительно, при фиксированном р функция G (х, р) есть линейная функция от х, причем dGldx = р, ъ при х = х р) имеем G (х, р) = хр — g (р) = f (х) по определению g (р). [c.60] Определение. Две функции /, g, являющиеся преобразованиями Лежандра друг друга, называются двойственными по Юнгу. [c.60] Вернуться к основной статье