Фокусы кинетические сопряженны

Фокусы кинетические сопряженные 469 [c.569]

Фокусы кинетические сопряженные 651, 665 [c.824]

Перебирая таким образом индексы s=I, п, в случае п несоизмеримых частот находим п кинетических фокусов, сопряженных с начальной точкой Л . [c.286]

Казалось бы, из наших рассуждений следует, что принцип Ферма является истинным минимальным принципом, а не принципом стационарного значения, если сравнение происходит в локальном ) смысле, т. е. если истинные траектории сравниваются с траекториями, находящимися поблизости. Однако для справедливости нашего вывода требуется, чтобы вдоль всей траектории Т волновые поверхности были хорошо определенными, однозначными поверхностями с определенными нормалями. Между тем может возникнуть и другая ситуация (рис. 22). Рассмотрим пучок лучей, исходящий из точки М. Эти лучи вначале расходятся, но затем они могут снова начать сходиться, так что соседние траектории Т и Т могут пересечься в какой-то точке /И. В этом случае волновая поверхность, которой принадлежит точка М., вырождается в точку, (В оптических инструментах каждому точечному источнику световых волн М должно соответствовать изображение Л1, где волновые поверхности вырождаются в точку.) Наше заключение о настоящем относительном минимуме справедливо лишь до точки Л1, но не может быть распространено на область яа точку /И, так как в этом случае близкие траектории проходят через область, где они не пересекают никаких волновых поверхностей. Тогда величина О перестает быть действительной, а неравенство > становится иллюзорным. При соответствующе ситуации в механике точка М называется кинетическим фокусом , сопряженным с точкой М на траектории Т. После того как мы проходим через кинетический фокус, принцип наименьшего действия перестает быть минимальным принципом. [c.310]

При достаточном удалении точки A от точки Aq может оказаться, что краевая задача имеет решения, соответствующие бесконечно близким прямым путям, проходимым механической системой за одно и то же время — to. В этом случае точки Aq и Ai расширенного координатного пространства называют сопряженными кинетическими фокусами. [c.469]

Экстремальное свойство действия по Гамильтону. Рассмотрим окрестность начального положения системы, достаточно малую, чтобы в ней отсутствовали сопряженные кинетические фокусы. Тогда можно считать (п. 217), что за заданное время — to система может перейти из своего начального положения в конечное положение, расположенное в выбранной окрестности, только по одному прямому пути. Покажем, что в этом случае действие по Гамильтону на прямом пути будет наименьшим по сравнению с его значениями на окольных путях системы. [c.476]

Проведенное рассуждение показывает, что если конечная точка Ai лежит перед кинетическим фокусом, сопряженным с начальной точкой Ао, то действие по Гамильтону на прямом пути A Ai имеет минимум. [c.480]

Кинетическим фокусом, сопряженным с произвольной начальной точкой А, является диаметрально противоположная точка А на сфере, так как два больших круга, проходящих через А, пересекаются только в А. [c.481]

Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжу решается точно так же, как и для принципа Гамильтона-Остроградского при помощи рассмотрения сопряженных кинетических фокусов. [c.484]

Кинетическая картина фазового перехода представляется фазовыми портретами, показанными на рис. 2, 3, 5, 6, 8-11, и временной зависимостью пути, пройденного точкой по траектории (рис. 4). В случае перехода второго рода (рис. 2-6) фазовый портрет имеет при Se < S притягивающий узел D, отвечающий неупорядоченной фазе при Se > 5с он трансформируется в седло и появляется дополнительный узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе. В отличие от этого на фазовом портрете первого рода (рис. 8-11) при 5е = 5 происходит бифуркация, в результате которой появляются седою 5, отвечающее энергетическому барьеру на зависимости V t ), и притягивающий узел/фокус О, соответствующий упорядоченной фазе при этом притягивающий узел D неупорядоченной фазы остается неизменным. С ростом управляющего параметра в интервале (5 , 5с) седло 5 стремится к узлу D, поглощая его в точке 5с, а узел/фокус О смещается в сторону возрастания величин параметра порядка и сопряженного поля. [c.43]

Будем предполагать, что на действительной траектории нет кинетических фокусов, сопряженных точке д (включая точку д ). [c.118]

Точки д и д будут сопряженными кинетическими фокусами, если они диаметрально противоположны. Если этого нет, то единственная дуга большого круга, проходящая [c.119]

Важное значение имеет рассмотрение случая суш ествования между положениями системы и А, соединяюш.их их бесконечно близких истинных путей, проходимых за одно и то же время. Такие два положения системы называются сопряженными кинетическими фокусами. Известный пример представляет движение точки при отсутствии сил на поверхности сферы. Такое движение происходит по большому кругу сферы (геодезической линии) с постоянной скоростью. Сопряженными кинетическими фокусами будут положения точки на концах одного и того же диаметра сферы, так как их можно соединить бесконечно близкими большими полукругами, прохождение которых осуш.ествляется за один и тот же промежуток времени при задании одинаковых по величине скоростей. [c.651]

Итак, положения Л я А, соединены двумя бесконечно близкими, истинными путями, т. е. являются сопряженными кинетическими фоку сами. Вместе с тем доказано, что действие есть минимум, если конечное положение проходится системой ранее того момента, когда достигается сопряженный рассматриваемому начальному положению кинетический фокус ). [c.652]

Пусть А и А, — сопряженные кинетические фокусы. Рассмотрим истинный путь ABA,Q, в котором конечное положение Q (рис. 89> [c.652]

Проведенное геометрическое рассмотрение позволило установить наличие минимума действия по Гамильтону на истинном пути, не проходяш.ем через сопряженный кинетический фокус, и отсутствие минимума на пути, его содержаш.ем. Однако оно не дает средств для разыскания сопряженного данному начальному положению кинетического фокуса и не решает вопроса о его существовании. [c.652]

Если пути С пересекают в моменты t — tQ и 1 — то соответствующие конфигурации системы будут сопряженными кинетическими фокусами. Приходим к однородной системе 2п линейных уравнений [c.665]

Сопряженные кинетические фокусы можно найти по выражению главной функции, приравнивая нулю обратную величину гессиана (9) [c.706]

Пусть / 2 представляют фокусы эллиптической траектории, — сопряженный начальной точке кинетический фокус (рис. 96). По свойству эллипса [c.747]

Лекции по динамике , стр. 42, ОНТИ, 1936. Геометрические построения, связанные с сопряженными кинетическими фокусами в эллиптическом движении, приведены также в Теоретической механике Г. К. Суслова (стр. 489 издания, указанного в сноске на стр. 743). [c.748]

ТО на отрезке 03 траектории Со найдется сопряженный кинетический фокус. [c.751]

Будем говорить, что они разделяют траектории пучка на высокие и пологие . Любая точка области, ограниченной кривыми и А может быть соединена пологой траекторией с началом пучка — действие по Лагранжу по этим траекториям минимально. Вместе с тем, через каждую точку области, ограниченной параболой безопасности и кривой проходит высокая траектория пучка траекторий, ортогональная ветви 2 Действие по куску этой траектории, содержащему сопряженный началу кинетический фокус, не будет минимальным. [c.754]

Теорема 23.2 (необходимое условие минимума). Если действие но Гамильтону (21.1) нрн любом варьировании прямого пути с закрепленными граничными точками ( о, д ), ( 1, д ) достигает минимума на прямом пути, то при о < < отсутствуют кинетические фокусы, сопряженные точке (Ьо, д ). [c.104]

Если точка В достаточно близка к точке А, то эта краевая задача всегда имеет лишь когечное число решений ). При удалении точки В от точки А может, однако, оказаться, что существуют такие точки, что, выбрав их в качестве точки В, мы получим краевую задачу с бесконечным числом решений. Такого рода точки расширенного координатного пространства называются кинетическими фокусами, сопряженными с точкой А. [c.283]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Пусть теперь Ai — сопряженный кинетический фокус для точки Ао, а конечная точка прямого пути F лежит за точкой Ai (рис. 170). Здесь уже действие на прямом пути AqBAiF не будет минимальным. Для доказательства укажем такой окольный путь, на котором действие по Гамильтону меньше, чем на пути AqBAiF. Для этого на ранее построенном прямом пути AqHAi возьмем точку G, настолько близкую к F, чтобы действие на соединяющем эти точки прямом пути GKF было минимальным. Тогда [c.480]

В общем случае между двумя данными положениями можн( провести несколько отличных друг от друга прямых путей, п( которым движение происходит за одно и то же время. Если дв положения Ао и Ai таковы, что могут быть соединены между o6oi несколькими различными прямыми путями, то такие положени5 называются сопряженными кинетическими фокусами. [c.464]

Геометрическое место кинетических фокусов, сопряженных началу рассматриваемого пучка траекторий, представляет сопряженную этому началу фокальную поверхность. Так, в примере движения материальной точки в поле силы тяжести этой поверхностью служила парабола безопасности (14.19), а в случае эллиптического кеплерова движения — эллипс (16.35). От расположения этой фокальной поверхности относительно начала пучка зависит протяженность примыкающей к нему достаточно малой области , о которой выше говорилось. Ее граница определяется той поверхностью семейства Л = onst, на которой расположен ближайший к началу кинетический фокус. Нет нужды доказывать, что действие по Лагранжу на траектории, соединяющей начальное положение с конечным, расположенным за кинетическим фокусом, не является минимумом, так как доказательство свелось бы к дословному повторению сказанного в п. 12.3 и иллюстрируемого рис. 89. [c.750]

Плоский математический маятник длины I совершает малые колебания (в соотвествие с линеаризованными уравнениями). Рассматривая расширенное координатное пространство (ф, ), где Ф — угол отклонения маятника от вертикали, нарисовать прямой и окольный пути. Для различных начальных положений маятника (фо, о) указать кинетический фокус, сопряженный начальной точке. [c.218]

Материальная точка массы т движется в однородном ноле тяжести. Выписать выражение для действия но Лагранжу Ж. В трехмерном координатном пространстве частицы найти все кинетические фокусы (сопряженные для начальной точки (жо, 05 о))5 которые возникают нри рассмотрении принципа Монертюи-Лаг-ранжа. [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...