Группа симметрий дифференциального уравнения

Группа симметрий дифференциального уравнения. [c.35]

Все симметрии дифференциального уравнения образуют группу с операцией суперпозиции, называемую группой всех симметрий этого уравнения. . [c.35]

Линеаризованную систему дифференциальных уравнений осесимметричного изгиба получим из уравнений (8.1.1) — (8.1.9), опуская в них нелинейные и динамические слагаемые и выполняя упрощения, связанные с осевой симметрией напряженно-деформированного состояния. Эта система уравнений включает в себя следующие группы зависимостей [c.229]

Нелинейную систему дифференциальных уравнений слоистой ортотропной композитной конической оболочки, несущей поперечную нагрузку, получим из общих уравнений (8.1.1) — (8.1.9), опуская в них динамические слагаемые и выполняя упрощения, связанные с осевой симметрией, отсутствием тангенциальных составляющих нагрузки и угловой составляющей перемещений. В эту систему уравнений включены следующие группы зависимостей [c.238]

Если на полученное соотношение смотреть как на на условие для нахождения группы симметрий, то оно представляет собой уравнение в частных производных относительно двух неизвестных функций (х, у) и т] х, у). Это уравнение распадается, как правило, на переопределенную систему, поскольку искомые функции не зависят от производных и необходимо приравнять нулю коэффициенты при всех степенях и произведениях всех у/ х. Решений такой системы может не существовать, что означает, что симметрий рассматриваемого типа у изучаемого дифференциального уравнения нет. Во-вторых, это дифференциальное уравнение может быть переписано в нормальной форме Коши [c.247]

Факторизацией по орбитам действия группы симметрий можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений. Примерами служат переход к барицентрической системе отсчета и знаменитый.результат Якоби об исключении узлов в задаче многих тел. Развивая эти идеи. Софу с Ли доказал интегрируемость в квадратурах системы п дифференциальных уравнений, допускающих (п— 1)-мерную разрешимую группу симметрий. Алгебраический аналог теории Ли — знаменитая теория Галуа групп подстановок корней многочленов. [c.14]

Наличие группы симметрий существенно упрощает исследование динамической системы. Например, в тех же специальных переменных х, ..., Хп подсистема дифференциальных уравнений [c.74]

Следуя работе [101], применим метод Пуанкаре к задаче о наличии групп симметрий у систем дифференциальных уравнений (1.1). Будем рассматривать симметрии, порожденные системой уравнений [c.190]

Предположим, что система (9.2) допускает группу симметрий — фазовый поток системы дифференциальных уравнений х = = У х,у), у = IV х, у), правые части которых 2тг-периодичны по координатам Х1,..., Xk [c.234]

Интегралы и группы симметрий квазиоднородных систем дифференциальных уравнений [c.338]

Наличие у всех матриц из группы монодромии собственного значения, равного единице, создает затруднения технического характера при решении задач об интегралах и группах симметрий. Поэтому полезно понизить число независимых переменных в уравнениях (5.3). С этой целью в окрестности комплексной кривой Г = z = zo(i), t е X введем координаты i,..., п-ь п так, чтобы координатные линии переменных. .., n-i были трансверсальны Г, а кривая Г локально задавалась уравнениями =. .. = = = 0. Линеаризуя исходные дифференциальные уравнения [c.360]

Упрощение задачи, возникающее при переходе от дифференциального уравнения (2.1) к уравнению (2.15), похоже на разделение переменных в линейном случае. Вместо уравнения для вектор-функции со значениями в пространстве V, мы пришли к уравнению в самом пространстве V. Получилась своего рода задача на собственные значения, в которой роль параметра играет элемент а алгебры Ли группы симметрии С. [c.249]

Ввиду (4.8), поле V касается 1а при всех значениях постоянных а. Это же свойство для векторных полей вытекает из соотношения (4.7). Таким образом, к + 1 полей (4.12) касаются к + 1)-мерных интегральных поверхностей (4.13), линейно независимы в каждой точке и попарно коммутируют. После этого интегрируемость в квадратурах системы (4.1) вытекает из теоремы Ли об интегрируемости дифференциальных уравнений с абелевой группой симметрий. [c.211]

Группа я = Q(g, т) в этом случае называется группой симметрий дифференциальной системы д1сИ = К д). Или, говоря иначе дифференциальная система допускает группу. Если уравнения преобразованиями группы симметрий не изменяются, то это означает, что любые рещения этих уравнений группой симметрий переводятся в решения этих же уравнений. Этот факт может служить другим определением группы симметрий. При этом для эквивалентного дифференциальной системе с1д/сИ = К(д) уравнения Лиувилля дР/д1 = АР имеет место следующее. Если Р[д, г) — решение [c.230]

Принципиально новым шагом в развитии взаимосвязи симметрия — сохранение были открытие и разработка Софусом Ли теории бесконечно малых канонических преобразований и установление на этом пути канонического варианта обсуждаемой взаимосвязи. С. Ли вошел в историю науки, прежде всего, как создатель теории непрерывных групп. Но основной движуш вй силой этих его исследований было стремление разработать обш,ую теорию интегрирования дифференциальных уравнений, аналогичную теории Галуа для алгебраических уравнений Благодаря новой принадлежаш,ей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения (или,что то же самое, касательных или контактных преобразований, совпадающих в механике с каноническими преобразованиями. — В. В.) и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований... Основные понятия и первые применения тео-232 рии канонических преобразований связаны с именем Якоби (см. гл. XI). Но наиболее глубокие результаты в развитии этой теории были, достигнуты лишь благодаря введению Софусом Ли бесконечно малых преобразований. В 1899 г. Дарбу писал в некрологе, посвященном С. Ли [c.232]

Со времени выхода в свет первого издания проблема применения теории групп к задачам интегрирования дифференциальных уравнений и к установлению влияния геометрической симметрии на природу тензорных функциональных связей рассматривалась в русской литературе в монографии Л. В. Овсянникова ) и в работе В. В. Лохина и Л. И. Седова ). В этих работах содержится ряд далеко идущих новых результатов, которые остались незатронутыми в предлагаемой книге. [c.11]

Предположим теперь, что имеется аналитическое поле симметрий и. Пусть ди — фазовый поток системы дифференциальных уравнений, порождаемой полем и. Преобразования из группы ди переводят периодические траектории 71 и 72 в себя, поскольку эти траектории невырождены. Следовательно, преобразования из ди переводят двоякоасимптотические траектории в двоякоасимптотические траектории. Па этих траекториях поля и и v линейно зависимы. В противном случае Aj и Aj пересекались бы по двумерным аналитическим площадкам и поэтому совпадали бы по свойствам регулярности и аналитичности. Отсюда вытекает, в частности, что и и v линейно зависимы во всех точках Aj и Aj Выше было показано, что в предположениях теоремы 1 объединение Aj и Aj—ключевое множество в М. Следовательно, векторы и х) и v x) зависимы при всех х G М. Так как г О, то и = Аг , и функция А — интеграл уравнений (2.1). Поскольку А — аналитическая функция на М, то А = onst, что и требовалось доказать. [c.262]

Общие утверждения об отсутствии замкнутых траекторий, охватывающга цилиндр, для систем, обладающих центральной симметрией. В предыдущем разделе рассматривались замкнутые траектории систем дифференциальных уравнений, стягиваемых в точку по двумерной фазовой поверхности. Такие траектории представляют часть тривиальной компоненты фундаментальной группы. В отличие от траекторий, рассматриваемых в предыдущем параграфе, замкнутые кривые, которые не стягиваются по фазовому многообразию в точку, могут не существовать. Последнее связано с тем, что топология фазового многообразия может препятствовать существованию нетривиальной компоненты у фундаментальной группы данного многообразия. [c.84]

В частности, если исходное фазовое пространство двумерно, то фазовое пространство факторсистемы одномерно. В этом случае факторсистема интегрируется. Поэтому автономное дифференциальное уравнение с двумерным фазовым пространством, для которого известна однопараметрическая группа симметрий, явно интегрируется в квадратурах. Все приемы элементарного интегрирования дифференциальных уравнений специальных типов (с разделяющимися переменными, линейных однородных к неоднордных, квазиоднородных и т. д.) основаны на том, что в этих случаях имеются очевидные группы симметрий. [c.37]

Дифференциальные уравнения с резонансной линейной частью, записанные в нормальной форме Пуанкаре—Дюлака, имеют, как правило, богатую группу симметрий и допускают понижение порядка. Порядок полученного уравнения (так называемой факторсистемы) равен числу линейно независимых резонансных соотношений на спектр линейной части. В случае, когда это число равно 1, нормальная форма Пуанкаре—Дюла- [c.59]

Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим (и - й)-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде и - fe независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...