Уравнения динамики стержней и пластин

В главах I и V рассматриваются уравнения динамики сплошной упругой среды, идеальной сжимаемой жидкости и уравнения стержней и пластин. Математические модели являются определенной идеализацией реальных сред или конструкций, поэтому основное внимание уделено выяснению областей применимости уравнений, установлению связи между уравнениями теории упругости и приближенными уравнениями динамики стержней и пластин. [c.5]

Уравнения динамики стержней и пластин [c.215]

В качестве объекта для исследования и сравнения между собой точных и приближенных решений уравнений динамики стержней рассмотрим наиболее простую для математического исследования нестационарную задачу, когда плоское движение безграничной пластины вызывается сосредоточенными на плоскости объемными силами, изменяющимися по закону [c.233]

Из приведенного обзора легко обнаружить частичные, а в некоторых случаях даже полные пробелы в теории и приложениях уточненных уравнений динамики стержней, пластин и оболочек. Отметим некоторые из вопросов, требующие дальнейшего развития. [c.228]

Очевидно, что ограничения области применимости уравнений динамики пластины (35.29), (35.30) те же, что и аналогичных уравнений для стержня. При выводе уравнений для тонких оболочек делается, кроме указанных, еще одно предположение толщина оболочки считается малой по сравнению с радиусами кривизны. [c.222]

Стремление расширить область применимости уравнений динамики элементов конструкций привело к формулировке уточненных теорий, отличающихся меньшим числом допущений или большим числом степеней свободы при описании зависимости перемещений от координат, лежащих в том сечении тела, размер которого мал. Среди уточненных уравнений хорошо известны уравнения С. П. Тимошенко [99], описывающие динамический изгиб стержня. В них по существу исключены наиболее существенные допущения, положенные в основу уравнения Бернулли—Эйлера, а именно учтены (приближенно) продольные инерционные силы и податливость на сдвиг. Уравнения аналогичной степени точности выведены также применительно к динамическим деформациям пластин [104] и оболочек [132. [c.222]

В первом разделе рассмотрена общая процедура решения задач статики, динамики и теплопроводности с помощью МКЭ, даны методы, формулы и библиотека подпрограмм вычисления соответствующих матриц и векторов простых типовых конечных элементов прямолинейных стержней постоянного поперечного сечения (рис. 1.2), прямоугольных в плане оболочек (рис.. 3), тонких треугольных, четырехугольных и прямоугольных в плане пластин (рис. 1.4), круговых колец треугольного, четырехугольного и прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.5), четырех-, пяти- и шестигранных объемных элементов (рис. 1.6). Изложены методы и алгоритмы расчета приведена библиотека подпрограмм решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных функциональных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.11]

В предыдущем разделе была рассмотрена дискретная система (система с конечным числом степеней свободы). Такие системы являются удобными моделями, позволяющими наиболее просто исследовать их динамику. Любая упругая система (стержни, пластинки, оболочки и их сочетание) является системой с бесконечно большим числом степеней свободы (системы с распределенными параметрами) и ее движение описывается уравнениями в частных производных, что несколько затрудняет их исследование. Собственно, если решение ищется в виде разложения по главным формам колебаний, то все осложнения заключаются в определении форм собственных колебаний и если частоты собственных колебаний близки между собой, а для упругих систем типа пластин и оболочек они могут оказаться близкими в учете взаимной корреляции между формами колебаний. [c.79]

Задачи о нестационарных волнах, возникающих в элементах конструкций при действии локальной неподвижной нагрузки, разбираются в главах V и VI. Здесь исследуются продольные и изгиб-ные волны в стержне, пластине, круговом кольце и в круговой цилиндрической оболочке. Сопоставляются результаты, вытекающие из теории упругости и из приближенных уравнений. Анализируется действие принципа Сен-Венана в динамике. [c.6]

С точки зрения исследования распространения волновых процессов одним из существенных качеств применяемой модели динамики сплошной среды является ее гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнениям так называемого гиперболического типа. Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание при построении математических аппроксимаций. Это обстоятельство особенно важно для построения упрощенных теорий. Такие приближенные теории строятся обычно как асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или как некоторые аппроксимации точно поставленных задач математической теории упругости. Гиперболические аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими. Они, в отличие от параболических аппроксимаций, характеризуют процессы распространения волн с разрывами и поэтому способны описать динамические явления в областях, расположенных ближе к реальным волновым фронтам, предсказываемым трехмерной теорией. Иначе говоря, если рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-временного дифференциального оператора), то с помощью первых можно построить теории, применимые при более высоких частотах гармонических составляющих [2.54]. Все сказанное относится к модели динамической теории упругости, которая, как известно, является гиперболической, и ее аппроксимациям— теориям стержней, пластин и оболочек. Условию гиперболичности не удовлетворяют классические тео- [c.6]

С точки зрения оценки практического значения уравнения продольных колебаний и уравнений С. П. Тимошенко эта утрата, однако, не очень существенна. Как будет видно из дальнейшего, в задачах о распространении деформаций в пластинах и стержнях интерес представляют не столько истинные фронты, сколько квазифронты, на которых напряжения хотя и не терпят разрыв, но имеют существенно большие градиенты. Энергия волнового пакета, непосредственно следующего за истинным фронтом, на достаточно большом расстоянии от источника возмущения х > 1) относительно мала. Подавляющая же часть энергии следует за квазифронтом. Это в значительной мере снижает интерес к описанию картины движения в окрестности фронта и заставляет проявлять внимание к области, где сосредоточена большая часть энергии движения. Последнее необходимо иметь в виду при оценке возможностей приближенных уравнений динамики пластин и стержней. Более того, заботясь преимущественно о правильной оценке распространения энергии, нельзя безоговорочно отвергнуть даже уравнение Бернулли—Эйлера (35.17) как аппарат для изучения распространения изгибных деформаций вдоль стержней лишь на том основании, что в нем принимается ах = аз = О, т. е. скорости распространения фронтов считаются бесконечно большими. В следующих параграфах приводятся примеры, иллюстрирующие высказанные выше положения и проливающие свет на степень точности и на области применимости различных приближенных вариантов уравнений динамики стержней и пластин. Попутно приводятся и некоторые количественные данные относительно распространения самоуравновешенных возмущений. [c.233]

Конечные элементы могут быть построены различной формы, для различных видов деформации (плоская задача, изгиб пластин, деформации элемента оболочки, стержня и т. д.). Каждый из элементов характеризуется его матрицей жесткости R. Если они построены, то метод конечных элементов позиоляет по изложенной схеме создавать любые композиции (ансамбли) из различных конечных элементов. Причем определение деформированного состояния такой композиции или ансамбля (приближенно заменяющего реальную конструкцию) сводится к составлению и решению системы линейных алгебраических уравнений типа (8.71). В настоящее время существуют автоматизированные комплексы программ, позволяющие рассчитывать по методу конечных элементов очень сложные конструкции с числом неизвестных перемещений, соствляющим тысячи или даже десятки тысяч единиц. Он успешно также применяется в решении нелинейных задач и задач динамики деформируемых систем. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...