Особенности вариационно-разностного метода

Четвертая глава посвящена важнейшему вариационно-разностному методу решения краевых задач — методу конечных элементов. Изложена основная идея метода и особенности его программной реализации на примере решения двумерного стационарного уравнения теплопроводности в области сложной формы. Материал данной главы не связан с последующей. [c.5]

Особенностью расчета кольцевых элементов является то обстоятельство, что большинство задач по определению напряженного состояния этих элементов сводится к решению ряда не зависящих одна от другой систем обычных дифференциальных уравнений первого порядка при одной независимой переменной. Поэтому основное внимание уделяется традиционным методам расчета, основанным на аналитическом или численном решении дифференциальных уравнений. Эти методы дают существенную экономию машинного времени ЭВМ и позволяют избежать трудоемкой работы по подготовке исходной информации, а также облегчают анализ и расшифровку результатов расчета. Кроме того, аналитические решения позволяют наглядно представить взаимную зависимость различных параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние конструкции, и тем самым облегчают работу конструктора по выбору оптимальной схемы. В некоторых задачах традиционные методы либо не применимы, либо не эффективны. Как правило, это имеет место в тех случаях, когда в конструкции сопрягаются по линии или площади кольцевые элементы и элементы другой конфигурации. В таких задачах могут быть использованы различные модификации разностных и вариационно-разностных методов. Наиболее широко в настоящее время применяется метод конечных [c.3]

Дискретно-вариационный метод является эффективным способом получения дискретных моделей сред. Он основан на сочетании и обобщении конечно-элементных и вариационно-разностных представлений при численном моделировании континуальных сред. Его особенность состоит в том, что дискретная модель среды может быть построена как первичная модель исследования, а не как некоторая аппроксимация исходной континуальной модели при этом вид континуальной модели всегда может быть восстановлен с помощью специального предельного перехода. Параметры дискретизации связываются с масштабом пространственного [c.85]

Известно, что для тел сложной формы и со сложным характером нагружения наиболее целесообразной является итерационная схема решения контактных задач, предусматривающая использование одного из численных методов, например вариационно-разностного, или метода конечных элементов. В данном случае связь между нагрузками и перемещениями на каждом шаге итерации находилась при помощи метода конечных элементов, который позволил при расчете учесть особенности геометрии диска, наличие сил трения в зоне контакта пальцев с диском, возможную геометрическую нелинейность, связанную с большими перемещениями, и некоторые другие особенности. При решении задачи использовались четырехугольные изопараметрические элементы, позволившие сравнительно просто осуществить автоматизированную подготовку исходной информации и несколько уменьшить ширину ленты глобальной матрицы жесткости, что весьма существенно в условиях дефицита оперативной памяти вычислительной машины. Не останавливаясь на подробностях способа нахождения связи между нагрузками и перемещениями, который в принципе уже описан ранее, изложим непосредственно метод нахождения контактных напряжений на контурах отверстий упругого диска. [c.76]

Подводя итог, отметим, что для одномерных разностных уравнений удовлетворительная теория возможна, но она не тривиальна. Для многомерных задач, таких, как уравнения в частных производных, доказательство сходимости в литературе по численному анализу почти всегда основано на принципе максимума. Когда этот принцип не работает, для задач специального вида можно использовать некоторые соображения, но общая теория сейчас развивается в таком направлении, что, по-видимому, ее чрезвычайно трудно применить. Вся трудность в том, что одно дифференциальное уравнение допускает множество различных разностных аппроксимаций, особенно при криволинейных границах. В противовес этому вариационные методы подчиняются более строгим правилам, и именно эти ограничения позволяют сделать теорию более полной. [c.36]

Операторный способ тесно связан с реализацией на ЭВМ ме-. тода конечных разностей и вариационно-разностного метода. Суть его заключается в наличии набора типовых операторов (например, 13-членный оператор конечно-разностного аналога бигар-монического дифференциального уравнения для изгибаемой пластины), с которым связаны номера составляемых уравнений. Возможность быстрого составления уравнения с любым номером, что особенно важно при использовании различных итерационных методов, является большим преимуществом. Однако при различного рода нерегулярностях число нетиповых операторов быстро возрастает, что зачастую становится непреодолимым препятствием для применения операторного способа. [c.99]

Нельсон и Палазотто [85] с помош,ью программы STAGS основанной на вариационно-разностном методе и конструктивно ортотропной теории оболочек, исследовали влияние на устойчивость оболочек эксцентриситета стрингеров, длины оболочек, квадратного выреза заданных размеров и граничных условий. Оболочки считались нагруженными равномер-ньщ осевым сжатием. Вырез располагался в средней части вдоль образующей. Исходное напряженно-деформированное состояние моментное. Рассмотрено восемь вариантов граничных условий, четыре из которых соответствуют шарнирному опиранию, а другие четыре — защемлению краев оболочек. Отмечается существенное влияние моментности исходного состояния, особенно у оболочек с внутренними стрингерами. Наличие выреза приводит к снижению величин критических усилий, при этом рнижение больше у оболочек с наружным расположением стрингеров. Из граничных условий наибольшее влияние на устойчивость оболочек оказывает ограничение продольных смещений. При этом при шарнирном опирании к этим ограничениям более чувствительны оболочки с наружными стрингерами, а при защемлении — с внутренними. [c.303]

Глава, посвященная вариационным и разностным методам (гл. VIII), также написана в иллюстративном ключе, на примерах решения конкретных задач. Это объясняется тем, что вариационные и особенно разностные методы решения систем уравнений с частными производными являются весьма обстоятельно разработанными разделами вычислительной математики (в частности, и в плане применения к задачам теории упругости), концентрированное изложение которых не представляется возможным в силу ограниченности объема предлагаемой книги. В то же время частные примеры решения с достаточной полнотой выявляют преимущества и недостатки этих методов. [c.9]

До недавнего времени расчеты тонкослойных резинометаллических элементов (ТРМЭ) проводили с использованием трехмерных уравнений теории упругости, применяли вариационные, конечно-разностные методы и метод конечных элементов (МКЭ). Указанные подходы нельзя признать эффективными и достоверными, особенно в определении напряжений и перемещений слоев, ввиду чрезвычайной сложности их численной реализации. К вычислительным трудностям решения больших систем (пакет может иметь несколько десятков слоев) добавляются проблемы, связанные с малой объемной сжимаемостью резины и приводящие к плохо обусловленным системам уравнений. [c.4]

Поэтому особенности могут появляться, только когда граница или некоторые из исходных данных не будут гладкими. К сожалению, эти случаи встречаются часто, например в задачах механики разрушения, и при наличии особенностей продолжение исследований методом конечных элементов на равномерной сетке даст совершенно неудовлетворительные результаты. Как и в разностных аппроксимациях, эффективным приемом работы с. особенностями оказалось локальное сгущение сетки (в том смысле, который обсуждался в предыдущих главах). Однако о природе особенностей, возникающих в эллиптических задачах, известно много и специальная форма вариационного метода стимулирует нас к использованию этой информации в приближении Ритца-Галёркина. Данная глава и посвящается этой задаче. Мы начнем с выявления аналитической формы особенностей, которые могут возникнуть. [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...