Теорема 5 — замена переменных

Некоторые приложения этой теоремы будут даны ниже ( адиабатические инварианты ). Заметим, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущение) важнее самой теоремы это — одна из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений она встречается уже в элементарном курсе в виде метода вариации постоянных . [c.259]

Алгоритм нормализации гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Снова рассмотрим систему (3), предполагая матрицу Н( ) вещественной и непрерывной 2тг-периодической по t. Согласно теореме Ляпунова, система (3) приводима. Но матрица L( ) замены переменных (15), приводящей систему (3) к системе с постоянными коэффициентами, определяется неоднозначно. Опишем алгоритм построения такой матрицы L( ), чтобы соответствующее ей преобразование (15) было вещественным, каноническим, 2тг-периодическим по и приводило бы систему (3) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Л/, системы (3) чисто мнимые (Л/. = где [c.549]

Теорема. После канонической замены переменных уравнения (11) преобразуются в уравнения [c.275]

Ж-3.5. Теорема 5 — замена переменных [c.335]

Однако независимыми переменными у нас служат 5 и У вместо S и /7. Поэтому, воспользовавшись теоремой 5 о якобианах (замена переменных), можно написать [c.336]

Контур интегрирования в выражении (V.53) можно преобразовать из действительной оси в указанную гиперболу путем использования интегральной теоремы Коши и леммы Жордана [58]. После замены переменной интегрирования на т при помощи соотношения (V.54) находим, что [c.119]

Т. е. замена переменной 5 в изображении функции на ( —а) соответствует умножению оригинала функции па величину Эту теорему часто называют теоремой смещения. [c.479]

Пример. Замена переменных в форме. Пусть в К имеются две системы координат х , х , х и у , у , у . Пусть со — 2-форма в К . Тогда по последней теореме в системе ж-координат со записывается в виде О) = Д 3 + / + Х в-х Д где А, Хг, Хд — функции от x , х , х , и в системе у-коорди-нат — в виде со = У йу Д + V Лу Д (/г/, + У йу Д (1у , где 1, У2, Уз — функции от Уг, у , Уз- [c.156]

Теорема [116]. Не суш,ествует никакая невырожденная дифференцируемая замена переменных [c.817]

Чтобы установить эту двойственность, мы должны определить интегралы форм. С этой целью сначала заметим, что интеграл -формы по погруженному -симплексу может быть определен как интеграл по прообразу, соответствующему погружению. По формуле замены переменных результат зависит только от образа при погружении. Полезный для интегрирования форм результат — следующая теорема Стокса. [c.709]

Пользуясь соотношением dx = det ф (х) dx, теоремой о дивергенции тензорных полей для произвольной подобласти А в 2, а также формулой замены переменных в кратных интегралах, получаем [c.74]

Замена переменных первого приближения из п. 1.2 отличается от тождественной ва величину порядка е. Она приводит точную систему к усредненной с добавлением малого (порядка е ) возмущения. За время 1/е это возмущение может изменить значение медленной переменной, по сравнению с ее значением в усредненной системе, лишь на величину порядка е. Возвращаясь к исходным переменным, получаем результат теоремы. [> [c.161]

Введем фазу в качестве новой независимой переменной (нового времени). Рассмотрим два отображения в себя То — отображение сдвига за (новое) время 2я для усредненной системы. Г —такое же отображение для точной системы, преобразованной с помощью замены переменных первого приближения, построенной в пункте 1.2. Отображения То и Т сдвигают точку на величину порядка е, а отличаются друг от друга на величину порядка е. У отображения То имеется невырожденная неподвижная точка J,. По теореме о неявной функции у отображения Т при достаточно малом е имеется неподвижная точка /=/,+0(е). Очевидно она служит начальным условием для искомого предельного цикла. > [c.163]

Как и в доказательстве теоремы 6, надо по отдельности рассмотреть движение в нерезонансных и резонансных зонах. В нерезонансной зоне движение хорошо описывается усредненной системой. Условие А показывает, что точка не застревает в этой зоне. Как и в теореме 6, суммарная погрешность усреднения, набирающаяся в нерезонансных зонах, не превосходит si/e. В резонансной зоне определена замена переменных п. 1.3, приводящая в первом приближении систему к частично усредненной с учетом этого резонанса. Из условия А поэтому вытекает, что застревание в резонансной зоне также невозможно. Время пребывания точки в одной такой зоне имеет порядок ширины зоны, деленной на е. Остальные оценки — как в доказательстве теоремы 6. [> [c.177]

Предложение 3 ([108], ср. теорема 2). Гамильтониан одночастотной аналитической системы с плавно изменяющимися параметрами (38) с помощью симплектической, на 0(е) отличающейся от тождественной замены переменных, может быть преобразован к сумме двух членов, первый из которых не зависит от фазы, а второй экспоненциально мал [c.222]

Теорема 6 (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (О не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка I и меньше. Тогда существует такая симплектическая замена переменных р, ( в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени I с точностью до членов степени Ь+ [c.272]

Теорема 7 ([156]). Предположим, что собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям степени и меньше, за исключением, быть может, соотношений (к, (й) =0, Ле/С. Тогда существует такая симплектическая замена переменных р, д Р, Q в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к резонансной нормальной форме степени для резонансов из К с точностью до членов степени -1-1. [c.273]

Теорема 2.4. Пусть ряд Ли (2.11) используется в качестве замены переменных [c.23]

Доказательство существования очень похоже на доказательство теоремы 8.2. Пусть / имеет вид (9 1), выберем некоторое решение с уравнения = а . Тогда у отображения f z/ ), сопряженного с / относительно линейной замены переменных, начальный коэффициент разложения в степенной ряд будет равен +1, и мы можем без ограничения общности считать, что f z) = z"(l + biZ + +. ..), или, более коротко, [c.114]

Тогда замена переменных (х,, Хг, Х3) - (9,, дг, д ) взаимно однозначна по теореме о неявной функции. Уравнения движения в криволинейных координатах имеют вид (11.1), где реакция связей К = 1Ч/ + 2 г/2- Найдем компоненты обобщенных сил в (11.1), порождаемые реакцией связей К(0- Имеем [c.66]

Допустим, что каноническая замена переменных (10.2) такова, что в некоторой области фазового пространства существует зависимость р = p(q, Q, t). Это возможно, если det 5Q/ap О и имеет место теорема о неявной функции. Тогда функция [c.166]

Согласно известной теореме высшей алгебры пара квадратичных форм, из которых одна положительно определена, может быть линейным невырожденным преобразованием приведена к каноническому виду, т.е. существует замена переменных [c.205]

Теорему 2.2 можно доказать либо методом, используемым при доказательстве теоремы 2.1, либо сведением системы (2.1) к новой системе при помощи замены независимого переменного и в которой произойдет рождение устойчивого предельного цикла согласно теореме 2.1. [c.72]

ПЕРЕКРЕСТНАЯ СИММЕТРИЯ (кроссинг-симметрия), в квантовой теории поля (КТП) особая симметрия, связывающая амплитуду рождения к,-л. ч-цы с амплитудой поглощения соответствующей античастицы. В основе П, с, лежат два положения 1) инвариантность ур-ний КТП относительно преобразований СРТ, т, е, относительно замены ч-цы на античастицу с противоположным по знаку импульсом и энергией (см. Теорема СРТ) 2) аналитич. св-ва амплитуд амплитуда любого процесса явл. аналитич, ф-цией переменных [c.525]

Теория возмущений п-го порядка в смысле Крылова — Боголюбова содержит возмущения любого порядка (не только до п-го), найденные классическими методами теории вог муще1шй. Если вектор-функция Z(z, t, ) является аналитической относительно р S [О, ji ], то в этом случае можно ожидать, что функции Ui, z,t, ) также окажутся аналитическими относительно р е [О, Z [О, где существование величины ц, , гарантируется теоремой Коши о существовании аналитического реншпия. Но нрп этих условиях функции Uk z,t, ) могут быть представлены в воде рядов по степеняй Р, и, подставляя их в формулу для замены переменных (58), можно перестроить полученные разложения в классические разложения теории возмущений по степеням малого параметра ц. [c.32]

Очевидно, что при любом выборе замены переменных уравнение для определения периодов колебаний должно быть одним и тем же. Поэтому отношения коэффициентов при различных степенях сохраняются неизменными. Обозначим через х детерминант преобразования, т. е. детерминант, строки которого юстоят из коэффициентов при х, у, z п приведенных выше уравнениях преобра-ювання. Тогда п силу известной теоремы из теории детерминантов дискримн- [c.67]

Теоремы 24.1 и 24.2 помогают разобраться в вопросгк замены переменных в уравнениях Гамильтона. В частности, если замена переменных 1, д, р —> 1, д, р в уравнениях (24.2) и в интеграле [c.123]

Теорема 9 (см., например, [133]). Линейная 2л-периоди-ческая по времени гамильтонова система приводится к автономному виду линейной симплектической заменой переменных. Если снстема не имеет вещественных отрицательных мультипликаторов, то приводящую замену переменных можно выбрать 2л-пермодической по времени, а если имеет, то 4л-пери-одическон. Если система гладко зависит от параметра, то и замена переменных выбирается гладкой по этому параметру. [c.282]

Теорема 11. Пусть собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям порядка Ь и меньше, за исключением, быть может, соотношений кхт-Ь. ..+кщШп+ -ЬЛо=0, где ( 1.....кп, ко) К. Тогда существует симплектическая 2л-периодическая замена переменных, приводящая га-мильтс1 иан к неавтономной резонансной нормальной форме степени I для резонансов из /С с точностью до членов степени -I-1. [c.283]

Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н (i). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствуюш ая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Kj системы (1.1) — чисто мнимые, = ia , а все мультипликаторы Pf = exp (i2n Tf ), = Pj (А = 1, 2,. . ., n) различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину. [c.39]

Уравнения (17) обладают одним существенным недостатком. В них не у( Матриваются в явной форме основные частоты задачи, поэтому к ним непосредственно не применима асимптотическая теория, изложенная в гл. III. Сначала необходимо выполнить замену переменных для нреобразоваия уравнений (17), например, в систему вида (1.90), а потом уже воспользоваться теоремами и алгоритмами асимнтотической теории возмущений. Астрономы такие замены разработали давно, и ниже будет приведена наиболее распространенная. [c.135]

Член Pq (w) в правой части представляет собой возмущающую функцию, которая равна нулю при оу = О, т. е. в точке нахождения малой планеты массы v при этом, однако, левая часть вырождается. Подставив в уравнение(6) Pq (w) = О, получим после поворота z = уравнение (2). Таким образом, уравнение (6) оказывается близким к уравнению интегрируемой кеплеровой задачи для малых w, даже когда величина fx = 1 — v не мала. В данном случае наиболее важным моментом вновь является применение условий периодичности (3) после замены х наоу, так как тем самым гарантируется, что якобиан относительно невозмущенного эллиптического решения л (/) не будет равен нулю. Приводить, однако, условия (3) к виду (5) бесполезно, так как в настоящих обстоятельствах нельзя рассматривать х как малый переменный параметр — теперь эта величина фиксирована и близка к единице. Несмотря на это, мы можем разрешить (3) с учетом (4) относительно Т и rjg, как и в случае уравнения (5), с помощью теоремы о неявных функциях, если воспользуемся следующим приемом. [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...