Тензорные поля

Подобным же образом мы можем каждой точке пространства поставить в соответствие векторное или тензорное значение, и тогда следует говорить о векторном или тензорном поле соответственно. Примерами полей такого типа могут служить поля скоростей и напряжений в жидкости. [c.30]

Можно показать, что определяемый таким образом вектор не зависит от вектора а и зависит лишь от тензорного поля А. [c.34]

Запишем тождество, аналогичное уравнению (1-6.3), для тензорного поля А (X) [c.44]

V(A-a) = a-v-A + А где А — произвольное симметричное тензорное поле и а — произвольное векторное поле. Указание доказательство вести в компонентной форме, поскольку в исходное тождество входит градиент тензора А. Выяснить, где именно требуются условия симметрии. [c.54]

При изменении положения точки О изменяются компоненты тензора инерции, изменяется и геометрический образ его — эллипсоид инерции. Таким образом, можно говорить о тензорном поле инерции, геометрическим образом которого является в каждой точке свой эллипсоид инерции. [c.174]

Покажем, что тензорное поле инерции [c.174]

Тензорные поля. В ортогональной декартовой системе координат радиус-вектор любой точки имеет вид [c.15]

В каждой точке пространства и в каждый момент времени i тензоры имеют свои значения, образуя тензорное поле. Последнее называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты тензора являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями х, t. Если компоненты тензора не зависят от времени t, то тензорное поле называется стационарным. Поля тензоров в индексных обозначениях можно записать в таком виде скалярное поле ф = ф(х,-, t) или <р = ф(х, ) векторное поле v = v(xi, t) или г>=г(х, t) поле тензора второго ранга aa = aij(xt, t) или au = aij(ii, t). [c.15]

Тензорные поля. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная. Геодезические кривые [c.385]

Рассмотрим некоторые обобщения понятий, введенных в 204. Скалярные и векторные поля представляют собой частные случаи тензорных полей. Тензорным полем называется часть пространства, каждой точке которого можно поставить в соответствие определенное значение компонент тензора. Тензор, определенный этими компонентами, является функцией точки поля или ее радиуса-вектора. [c.385]

При более подробном изучении свойств тензорных полей мояшо рассмотреть также интегральные теоремы Остроградского. Здесь эти теоремы не рассматриваются. [c.389]

Учитывая независимость v от Хз, заключаем, что поле напряжений в пластинке приближенно может быть описано с помощью двух тензорных полей в двумерной области й тензора усилий (xi, х,) [c.78]

Дифференцирование тензорных полей и интегральные теоремы [c.320]

Аналогичным образом определяется градиент любого тензорного поля f (x) [c.323]

Определение дивергенции и ротора (вихря). Дивергенцией тензорного поля Pt х) называется свертка вектора v с тензором Pt (х) [c.323]

Сравнивая формулу (6) с выражением вектора количества движения для поступательно движущегося тела или материальной точки q = niv, видим, что подобно массе т, характеризующей инертность тела в его поступательном движении, тензор инерции J выражает инертность абсолютно твердого тела при его вращении вокруг некоторого центра. В этом заключается физическое значение тензора инерции. Тензор инерции имеет различные значения в разных точках твердого тела он является функцией точки, т. е. образует в твердом теле тензорное поле. Связь между тензорами инерции в разных точках твердого тела будет установлена далее. [c.283]

Во многих случаях напряженное состояние меняется при переходе от одной точки к другой. Это неоднородное напряженное состояние. Следует различать напряженное состояние точки (задается тензором напряжений) и напряженное состояние тела (определяется тензорным полем). Тензорное поле отличается от скалярного и векторного полей. Пример скалярного поля — распределение температуры в теле, а векторного поля — распределение сил инерции в теле и скоростей движущейся жидкости. Поле напряжений не может быть скалярным или векторным, оно может быть тензорным. При изгибе балки напряжение в сечении меняется в зависимости от длины и расположения точки от нейтральной оси. [c.8]

Рассмотрим тензорное поле в некотором пространстве. Если в нем возьмем какую-нибудь кривую, проходящую через любую точ- [c.25]

Разложение тензорного поля напряжений. Принцип наименьшей работы в форме метода сил [c.59]

Так как совокупность тензоров напряжений для всех точек тела образует тензорное поле напряжений, последнее, по П. Ф. Папковичу, представляется составленным из основного и корректирующего тензорных полей напряжений. [c.61]

Напряженное состояние оболочки представляется совокупностью трех тензорных полей [c.67]

Примеры простейших тензорных полей. [c.403]

Тензорное поле нулевого ранга (скалярное поле) задается одной функцией трех переменных [c.403]

Тензорное поле первого ранга (векторное поле) задается тремя функциями трех переменных [c.403]

Тензорное поле второго ранга задается девятью функциями трех переменных [c.403]

Примерами тензорных полей второго ранга являются поле напряжений и поле деформаций твердого тела. [c.403]

Рассмотренные алгебраические операции над тензорами применимы и к тензорным полям, т. е. к тензорам поля в произвольной его точке. [c.403]

Пусть задано тензорное поле, например, третьего ранга [c.404]

Дифференциальные операции в векторном поле обобщаются на тензорные поля любого ранга. [c.406]

Дивергенция тензорного поля есть вектор, обозначаемый символом divA или V-A и имеющий довольно сложное определение. Рассмотрим поле транспонированного по отношению к А тензора и некоторый фиксированный вектор а. Поле А -а есть векторное поле, дивергенцию которого можно вычислить. Дивергенцией тензора А называется вектор, который удовлетворяет следующим равенствам [c.34]

При порлощи формул (92.44) и аналогичных формул для J--, Jzz и J-yi,. / МОЖНО построить тензорное поле инерции заданного тела. [c.175]

Формула (2.501) находится с помощью формулы Гаусса—Остроградского для тензорных полей с использованием свойств симметрии тензоров Uijkh и е,у [c.122]

Если используется общая для всего пространства декартова или косоугольная система отсчета, то все введенные выще определения, касающиеся компонентов тензорного поля Pt (х) и операций с ними, в каждой фиксированной точке X сохраняются. Однако во многих случаях приходится использовать криволииейные системы координат, когда в каждой точке х е. Q набор базисных векторов свой и меняется от точки к точке. [c.320]

Займемся теперь выяснением вопроса о том, как изменяется тензорное поле при переходе из данной точки х в бесконечно близкую точку j + dj . Начнем со случая векторного поля а = а(х). Никаких проблем не возникает, если система отсчета — декартова или косоугольная, общая для всего пространства здесь применяются формулы и определения классического анализа При использовании криволинейных систем и компонента а> вектора а и базисные векторы ei = dxjda<- зависят от точки j , поэтому [c.321]

Использовав формулы (1.117), (1.122) и полиадные представления тензорного поля в локальном базисе, можем получить формулу для ковариантной пронзБоднон любых компонентов тензора любого ранга например, [c.322]

Приведенные выше для строительной механики единичные самоуравновешенные состояния соответствуют в методе Папко-вича самоуравновешенному корректирующему тензорному полю. [c.62]

Указанные два этапа, вместе взятые, если применить терминологию из главы I, представляют собой построение так назь1-ваемого основного тензорного поля напряжений. [c.68]

Третий этап расчета заключается в нахождении корректирующего тензорного поля, т. е. поправок к первому и второму этапам расчета. Эти поправки позволяют обеспечить-взаимное соответствие в деформациях ранее рассмотренных отдельных колец (поправка ко второму этапу) и не стеснять депла-нацию поперечных сечений (поправка к первому этапу расчета). Иными словами, корректирующее тензорное поле напряжений позволит обеспечить условие неразрывности деформации оболочки в целом. [c.68]

Если в каждой точке М х V (т. е. в точке М, принадлежащей области V) задан тензор одного и того же ранга р как функция ее координат х то область V называется тензорным полем ранга р, а тензор назьгаается тензором поля. [c.403]

Дивергенция тензорного поля представляе собой тензор, получае-ыьш свертыванием двух последних индексов у компонент градиента тензора поля. Так, для тензора второго ранга (а ) его дивергенция [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...