Координатные системы и тензорные поля

Координатные системы и тензорные поля 379 [c.379]

Допущения, вводимые при замене реальных твердых тел и жидкостей идеализированными сплошными средами, как раз гарантируют условия такие, чтобы идеализированный материал был определенным выше непрерывным трехмерным многообразием. Следовательно, возможно привести два разных применения указанного выше формализма в одном случае координатные системы и тензорные поля определяются для телесного многообразия, а в другом—для пространственного многообразия. Назовем их телесными и пространственными координатными системами и полями и будем использовать в дальнейшем там, где это возможно, греческие буквы для обозначения телесного многообразия и римские — для пространственного. [c.387]

Соответствующий изоморфизм между пространственными и телесными полями определяется следующим образом. По определению, будем рассматривать любое заданное контравариантное тензорное поле второго ранга, имеющее компоненты Р Цх) относительно заданной пространственной координатной системы х Пусть в состоянии t выполняется равенство =х , т. е, телесная координатная система совпадает с пространственной. Определим теперь телесное поле Ф - следующим образом [c.392]

Это свойство изоморфизма обусловлено формальным сходством уравнений, определяющих изоморфизм с уравнениями, связывающими компоненты одного и того же тензорного поля в двух координатных системах. Значит, изоморфизм отражает и воспроизводит инвариантные соотношения всех типов независимо от того, включают ли они сложение, вычитание, свертку, ковариантное дифференцирование или внешнее умножение тензорных полей. Именно в этом заключается свойство воспроизводимости, оправдывающее применение термина изоморфизма для взаимно однозначного соответствия —между телесными и пространственными полями. [c.394]

Координатная форма записи (6.17) оказывается весьма удобной (хотя, конечно, и не обязательной) при формулировке и исследовании уравнений в вариационных производных (см. ниже 8—10). Она в равной мере применима и к любым другим полям в частности, тензорная размерность Ф и никак не специализируется (с тем лишь очевидным условием, чтобы произведение Г Ф было инвариантно относительно преобразований симметрии, допустимых в данной системе). [c.58]

Поскольку а и — тензорные поля, интегралы (9.217) — (9.221) инвариантны (или псевдоинвариантны) при произвольных координатных преобразованиях. Однако, вследствие того, что эти уравнения получены с помощью правила интегрирования по частям (см. доказательство теоремы Гаусса в трехмерном пространстве в приложении 1), они будут выполняться в любой системе координат, даже если и = — F не имеют тензорных свойств. Конечно, тогда интегралы (9.217) — (9.221) уже не будут инвариантными, но сами уравнения все еще будут выполняться. Поэтому если Tf — 16 произволь- [c.243]

Компоненты заданного векторного или тензорного поля могут быть определены в любом поле базисов. Если эти базисы не нормальны ни к каким семействам поверхностей, то они называются неголонамными. [Нкпример, реперы главных осей тензора напряжений, вообще говоря, неголономны. — Ред.] Неголономные компоненты вполне позволяют определить нли задать векторные и тензорные поля, однако они не являются компонентами по отношению ни к какой координатной системе. [c.91]

Частные npoHiBOimbie компонент тензорного поля по координатам х уже не являеотся, вообще говоря, тснзор-ны.м полем. Это связано с те.м, что при переходе or одной точки к другой изменяются не только компоненты тен юра (для простоты иногда тензорное поле будем называть тензором), но и локальная координатная система, в к-рой определяются эти компоненты. Поэтому разность между [c.70]

Принцип эквивалентности Эйнштейна, изложенный не очень строго в 8.2, теперь может быть точно сформулирован следующим образом в каждой точке Р все законы природы, выраженные через локальные лоренцевы координаты У, имеют ту же форму, что и в СТО. Тогда простым координатным преобразованием эти же законы можно выразить и в общей системе координат, где присутствуют гравитационные поля. (Необходимое для этого развитие тензорного анализа в римановом пространстве будет продолжено в следующих параграфах.) Лоренцево вращение (9.95) тетрады в (9.105) приводит к новой локальной лоренцевой системе координат, связанной с первоначальной преобразованием Лоренца. Если тетрада удовлетворяет условию (9.100), то для частицы с 4-скоростью I7 в точке Р преобразование (9.105) приводит к локальной инерциальной системе покоя 5° (Р). Если же в (9.105) используем тетраду типа (9.97), то получаем систему S (Р) с локальными лоренцевыми коорди- [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...