Теорема об устойчивости равновесного состояния системы

Возможность использования функций Ляпунова для суждения об устойчивости равновесного состояния системы, определяемого нулевыми значениями основана на следующих теоремах, устанавливающих важнейшие свойства этих функций. Рассмотрим сферу (е), [c.391]

Если параметры системы удовлетворяют неравенству (2.59), то будут выполнены все условия теоремы Н. Н. Красовского об асимптотической устойчивости 2.3. Действительно, функция V определенно-положительна, а ее производная согласно равенству (2.58) и соотношению (2.59), отрицательна вне К и равна нулю я К i = О, и ф 0). Поэтому равновесное состояние системы i — = 0, U = О будет асимптотически устойчиво относительно тока [c.74]

Мы внесем как в формулировку теоремы, так и в ее доказательство некоторые изменения, не затрагивающие существа ее содержания, но лучше подчеркивающие ее непосредственную связь со вторым методом Ляпунова. Изменения будут заключаться в том, что мы будем рассматривать устойчивость равновесного состояния или покоя системы, предполагая, что в этом состоянии все обобщенные координаты и скорости системы равны нулю, и вести рассуждения, пользуясь представлением полной энергии в фазовом пространстве. [c.397]

ТЕОРЕМА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ. Если уравнения возмущенного движения системы таковы, что можно найти знакоопределенную функцию ( ,. .., ), производная которой по времени была бы в силу уравнений возмущенного движения знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние системы, определяемое нулевыми значениями координат [c.395]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает достаточное условие устойчивости равновесного состояния консервативной системы. Будет ли справедлива обратная теорема, т. е. можно ли утверждать, что все равновесные состояния консервативной системы, в [c.399]

Прямой (или второй) метод Ляпунова относится к группе методов, при которых условия устойчивости определяются только на основе однородной системы уравнений без использования их решений [56, 57, 59]. А. М. Ляпунов ввел в рассмотрение некоторую функцию V q, q,. . <" >), называемую функцией Ляпунова Функция V называется знакопостоянной, если она кроме нулевых значений может принимать значения только одного знака. Знакопостоянная функция, принимающая нулевые значения только при равенстве,нулю всех ее переменных, называется знакоопределенной. На основании первой теоремы, доказанной А. М. Ляпуновым, если дифференциальное уравнение свободных колебаний таково, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V, вычисленная согласно этому уравнению, была бы знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равной нулю, то равновесное состояние устойчиво. [c.75]

Пример вьппеприведенной классификации показан на рис. 7.3.16. Тяжелое тело, например цилиндр, находится на недеформируемой зубчатой цилиндрической поверхности и удерживается от движения влево при помощи упора - аналога храпового механизма. Условие связи имеет вид (1д/(1т>0 или, после интегрирования, ( 2) - ( 1) о при /2 > t . Таким образом, связь является неголономной. В случае 1 состояние системы субравновесно и, следовательно, устойчиво, в случае 2 оно равновесно и устойчиво. Случай 3 соответствует равновесному нейтральному состоянию, случай 4 - равновесному неустойчивому состоянию. В случае 5 имеем неравновесное й, следовательно, неустойчивое состояние. Данный пример аналогичен иллюстрации к теореме Лагранжа (тяжелый цилиндр на гладкой цилиндрической поверхности - см. рис. [c.485]

Условие бП = О позволяет выделить равновесное бостояние системы. Об устойчивости этого состояния можно судить с помощью теоремы Лагранжа — Дирихле. Если равновесное состояние устойчиво, то полная потенциальная энергия системы имеет минимум (6П=0, б П О), если неустойчиво — максимум (бП = О, 62П<0) безразличному равновесию соответствует постоянная величина энергии (бП = О, б П = 0). Здесь бП, б П — первая и вторая вариации полной энергии. Эта теорема впервые была сформулирована Лагранжем, доказательство ее для системы с конечным числом степеней свободы было дано Дирихле. [c.53]

Ранняя книга Кинана [3], опубликованная в 1941 г., оказала благотворное влияние на преподавание термодинамики в учебных заведениях для инженеров в США и Великобритании. Однако, поскольку в этой книге понятия и теоремы классической термодинамики равновесных процессов выводились из циклической формулировки первого и второго законов, в результате получилась нежелательная концентрация внимания на циклических процессах в ущерб более естественным нециклическим процессам. Напротив, закон устойчивого равновесия Хацопулоса и Кинана, из которого первый и второй законы получаются как следствия, по существу, относится к нециклическим процессам. В равной мере это справедливо и для теорем о термодинамической доступности энергии. К сожалению, в циклическом подходе природу истинного источника необратимости не удается выявить слишком долго, в то время как в нециклическом подходе она проясняется с самого начала. Более того, циклический процесс в какой-то степени является искусственной конструкцией. Естественные процессы, протекающие в физическом мире, имеют в основном нециклический характер, причем циклический процесс рассматривается как особый случай, в котором реализуется такая последовательность нециклических процессов, что конечное термодинамическое состояние системы совпадает с начальным. Далее, если исходить из недоказанных утверждений о циклических процессах, то не удается естественным путем прийти к теоремам о термодинамической [c.13]

Теорема. Равновесное состояние консервативной сиспи мы, определяемое нулевыми значениями координат, в которое потенциальная энергия системы не достигает минимума, щ устойчиво, если отсутствие минимума определяется уже чм нами второго порядка в разложении потенциальной энергии п степеням координат q . [c.400]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

Равновесное состояние (10.45) устойчиво, если функция (10.46) — знакоопределенная функция координат Цу, д2,..., ду,..., д - Равновесному состоянию (10.45) системы (Д) соответствует стационарное движение системы (Ь). Мы приходим таким образом к теореме Рауса об устойчивости стационарного движения системы с циклическими координатами. Сам Э. Раус формулировал теорему следующим образом. [c.421]

В настоящей главе читатель получил представление об одном из наиболее трудных понятий классической термодинамики равновесных процессов, а именно об энтропии как одной из термодинамических характеристик системы. Установив, что ключом к энтропии как характеристики является первая теорема об обратимой работе (разд. 10.4), с ее помощью мы показали, что если в бесконечно малом внутренне обратимом процессе в систему, находящуюся при температуре Т, поступает количество тепла (dQr) revj ТО В6" личина ( Qr/7 )rev будет одинаковой для всех внутренне обратимых переходов между заданными начальным и конечным устойчивыми состояниями. Следовательно, эта величина соответствует изменению некоторой характеристики системы, т. е. изменению энтропии dS. Затем мы обсудили вопрос о том, имеет ли смысл изменение энтропии системы, если ее состояние изменяется в результате необратимого процесса. При этом было установлено, что для идентифицируемых начального и конечного устойчивых состояний вычисление изменения энтропии в процессе необратимого перехода вполне осмысленно, и его следует проводить путем использования альтернативного обратимого процесса перехода между теми же состояниями. [c.185]

В макроскопической теории нулевое начало — это обобщение повседневного опыта и наблюдений за термодинамическими системами. В конце концов, системы, не удовлетворяющие этому началу, можно просто исключить из претендентов на звание термодинамических и этим закрыть вопрос. С микроскопической точки зрения это утверждение далеко не самоочевидно. Было даже доказано (Н. Poin are, 1890), что механическое состояние, например, изолированной системы вовсе не переходит с течением времени в некое устойчивое состояние, принимаемое за равновесное, а воспроизводится с заранее обусловленной точностью через конечный промежуток времени. Правда, этот промежуток для системы, состоящей из моля вещества, по самым грубым оценкам включает фактор порядка 10 , так что возраст Вселенной (10 —10 с) не составляет в этом масштабе даже и мига. Правда и то, что фиксируемые с помощью макроскопических приборов состояния уже не представляют собой чистых механических состояний. И несмотря на это, все же проблема, связанная с теоремой возврата, имеет несомненный теоретический и принципиальный интерес. Обсуждение этой проблемы (как и вывод теоремы Пуанкаре) —это достояние той части курса, которая посвящена неравновесной теории (см. ТД и СФ-П). [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...