Разностная производная для уравнении теплопроводное

После представления рассматриваемого тела в виде сетки составляются уравнения теплового баланса для каждого узла. Система балансовых уравнений представляет собой разностный аналог дифференциального уравнения теплопроводности, в котором производные заменены отнощениями конечных приращений (разностей) независимых переменных. [c.122]

Конечно-разностная аппроксимация уравнений распространения тепла. Приступим к построению разностной схемы для уравнения энергии и соотношений для потоков теплопроводности и излучения. Для этого предварительно преобразуем тождественно закон сохранения энергии (VI. 1). Используем значения и / из уравнений состояния (VI. 13) и производную от потока поглощаемой энергии из закона Бугера— Ламберта (VI.2). В результате получим [c.172]

Все рассмотренные нами ранее разностные схемы для решения уравнений теплопроводности являются реализациями метода конечных разностей. Системы алгебраических уравнений для определения численного решения мы получали путем замены производных в дифференциальном уравнении и в граничных условиях или в уравнениях теплового баланса для элементарных ячеек конечными разностями. Таки.м образом, в методе конечных разностей отправной точкой для получения приближенного решения является дифференциальная краевая задача. Однако искомое поле можно находить и из решения соответствующей вариационной задачи. На ее численном решении основан получивший широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ) [7, 27]. [c.128]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Анализ показал влияние на решение так называемой счетной теплопроводности , являющейся следствием одностороннего представления первых производных в уравнении энергии. Отбрасываемая добавка при разностной аппроксимации первого порядка точности имеет смысл дополнительного диффузионного переноса. Влияние счетной теплопроводности на численный результат было определено при применении в качестве теста чисто противоточного теплообменника, для которого известно аналитическое решение. [c.212]

Формулы для параметров -сетки, как в [3, 4], получены следующим образом. Записываем уравнение в конечных разностях, аппроксимирующее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных, и уравнение, полученное по закону Кирхгофа, для цепи, сходящейся в узел. Для аналогий необходимо, чтобы величины сопротивлений — параметры -сетки, входящие в уравнение закона Кирхгофа, соответствовали коэффициентам, стоящим при членах конечно-разностного уравнения теплопроводности. [c.401]

Разумеется, приведенные формулы (2) —(5) для замены производных разностными отношениями не являются единственно возможными. Иногда бывает целесообразно проводить другие замены, однако при численном интегрировании уравнений теплопроводности наиболее часто применяют именно эти формулы. [c.60]

НОЙ катастрофе. Классическим историческим примером здесь является явная схема Ричардсона для параболического уравнения теплопроводности, в которой использовались конечно-разностные аппроксимации производных центральными разностями как по пространственным переменным, так и по времени. О Брайен с соавторами [1950] показал, что эта схема безусловно неустойчива ). [c.18]

Функция у здесь отнесена к полуцелым точкам. Как будет видно в дальнейшем, именно так аппроксимируется в уравнении энергии член, соответствующий процессам теплопроводности. Символ УаГ УД 5м использовать для обозначения разностной производной второго порядка на неравномерной сетке. Погрешность аппроксимации указанного оператора выглядит так [c.106]

В практических задачах времт тоже должно быть дискретизировано, что предполагает применение метода конечных разностей. Например, схема- Кранка — Николсона симметрична относительно п+1/2 при вычислении uf tn+ ) через и потому имеет точность порядка At . Таким образом, окончательно вычисленное приближение содержит эту ошибку, как и ошибку метода Галёркина, вызванную дискретизацией по х. Последнюю из них мы проанализируем подробно и покажем, что при к 2т ее оптимальный порядок для 5-й производной тоже р -вен Этот результат применяется к уравнениям параболического типа, например к уравнению теплопроводности Ь — эллиптический оператор того же типа, что и в стационарных задачах. В случае гиперболических уравнений, не содержащих диссипативных членов, возможности метода конечных элементов несколько меньше трудности в сравнении с явными разностными методами- могут оказаться слишком большими. Тем не менее даже в этом случае достигнуты значительные результаты исследование границ можно проводить почти автоматически в гл. 7 включен набросок теории метода конечных элементов для гиперболического случая. [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...