Равнораспределения средней энергии

И наконец, два последних раздела задач посвящены известным теоремам классической статистической механики — теореме о равнораспределении средней энергии по степеням свободы, теореме о вириале и микроскопической формулировке закона соответственных состояний. [c.77]

Задача 44. С помощью канонического распределения вывести теорему о равнораспределении средней энергии по степеням свободы классической статистической системы и, используя эту теорему, определить теплоемкость многоатомного идеального газа и твердого тела. [c.129]

Равнораспределения средней энергии по степеням свободы теорема 129, 130 Радиус экранирования 316, 319 Распределение Бозе—Эйнштейна 145 [c.429]

ТЕОРЕМА О РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИИ СРЕДНЕЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ [c.424]

Равнораспределения средней энергии по степеням свободы теорема — 424 [c.798]

Начнем с обсуждения наиболее простых качественных соображений. Прежде всего классическая брауновская частица в соответствии с теоремой о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы обладает средней кинетической энергией [c.38]

Вращение частицы вокруг оси и его влияние на движение мы рассматривать не будем, хотя реально оно существует и согласно теореме о равнораспределении его средняя энергия в равновесном состоянии также равна 0/2. Пусть [c.87]

Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы (12.30) позволяет определить среднюю кинетическую энергию любой классической системы, теорема же о равнораспределении вириала по степеням свободы (12.34) дает возможность вычислить среднюю потенциальную энергию только таких систем частиц, потенциальная энергия /лг(Чь , 4n) взаимодействия которых является однородной функцией координат. Так, если степень однородности функции f/Ar(qi,..., Ялг) равна V, тО по теореме Эйлера об однородных функциях [c.202]

Так как ротатор имеет две степени свободы, то по теореме о равнораспределении средней кинетической энергии по степеням свободы классической статистики [c.246]

Закон равнораспределения энергии по степеням свободы можно сформулировать не для энергии одного моля газа, а для средней энергии одной молекулы. Каждая вращательная и поступательная степень свободы вносит в среднюю энергию молекулы вклад 7У2, а каждая колебательная степень свободы — вклад Т. Преимущество такой формулировки заключается в том, что ее можно применить не только к идеальному классическому газу, состоящему из молекул, но и к отдельным, не взаимодействующим друг с другом объектам со сложной внутренней структурой, рассматривая каждый такой объект как молекулу. Например, в 52 мы воспользуемся таким приемом для классического рассмотрения светового излучения, а в 53 мы применим его для классического рассмотрения теплоемкости кристаллов. [c.214]

Мы будем исходить из закона равнораспределения энергии по степеням свободы (см. 43). Согласно этому закону каждая колебательная степень свободы (каждая элементарная волна) вносит в среднюю энергию вклад, равный Т. Ввиду этого для получения p(v,7 ) надо найти число различных стоячих волн в единице объема с частотами в интервале от V до V + /г и умножить это число на Т. Допустим для простоты, что полость представляет собой куб с ребрами длины /, ориентированными вдоль координатных осей (ясно, что результат не может зависеть от формы полости). [c.247]

Таким образом, нахождение Wa,(T) свелось к определению средней энергии моды колебаний. Формула Рэлея — Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия кТ/2. У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна кТ. Это энергия, приходящаяся на одну моду колебаний. В (50.13) положим <е>=кТ, (50.14) [c.305]

Классическая статистическая механика дает для средней энергии линейного осциллятора при температуре Т значение г =кт, где к = = 1,38-10 Дж/К — постоянная Больцмана. Это частный случай закона классической статистики о равнораспределении, согласно которому в тепловом равновесии на каждую степень свободы в среднем приходится /2кТ кинетической энергии. Для осциллятора, совершающего колебания на собственной частоте, средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы, так что средняя энергия теплового возбуждения каждой колебательной степени свободы составляет кТ [c.428]

Как найти среднюю энергию теплового возбуждения осциллятора при температуре Г, если предположить, что его энергия может принимать только дискретные значения е = лео В каком случае результат совпадает с тем, что дает теорема о равнораспределении [c.433]

Если же к осцилляторам поля применить теорему о равнораспределении энергии в состоянии теплового равновесия, т. е. положить среднюю энергию, приходящуюся на одно нормальное колебание, равной кТ, то мы сразу придем к формуле Рэлея—Джинса [c.436]

Главный недостаток теории равнораспределения энергии по степеням свободы состоит в том, что эта теория не предусматривает наблюдаемого на опыте непрерывного изменения Т. с темп-рой. Основываясь на работах Планка, Эйнштейн (1907 г.) показал в своей теории Т., что на 1 степень свободы вибратора приходится на 1 моль в среднем энергии [c.467]

Итак, для среднего значения энергии осциллятора получилось совсем иное значение, чем при использовании закона классической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Подставляя (8. 39) в исходное выражение (8. 32), имеем [c.424]

Формулы (2.13) выражают так называемый закон равнораспределения энергии по степеням свободы, согласно которому на каждую степень свободы поступательного и вращательного движений молекул приходится одна и та же средняя кинетическая энергия, равная кТ. [c.34]

При столкновении две молекулы сближаются друг с другом на предельное расстояние й, определяемое условием равенства потенциальной энергии 0 и кинетической энергии относительного движения двух молекул, равной в среднем АкТ. (Так как у каждой из молекул на движение в данном направлении, например вдоль оси ох, приходится в среднем, одна и та же энергия, равная по закону равнораспределения энергии — Акт, то ясно, что [c.32]

Времена релаксации, рассчитанные по формуле (1.8) с использованием удельных сопротивлений, приведенных в табл. 1.2, даны в табл. 1.3. Мы видим, что при комнатных температурах т оказывается порядка 10 —10 с. Чтобы понять, является ли это разумным значением, полезнее рассмотреть среднюю длину свободного пробега -б = РдХ, где Уц — средняя скорость электронов. Длина / характеризует среднее расстояние, проходимое электроном между столкновениями. Во времена Друде было естественным оценивать Рд исходя из классического закона равнораспределения энергии по степеням свободы Ч2m vl = . квТ- Подставляя сюда известную массу электрона, находим, что Vo имеет порядок 10 см/с при комнатной температуре и, следовательно, длина свободного пробега составляет от 1 до 10 А. Так как это расстояние сравнимо с межатомным, результат вполне согласуется с предположением Друде о том, что столкновения объясняются соударениями электрона с большими тяжелыми ионами. [c.24]

Так как согласно классической теореме о равнораспределении на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем потенциальная энергия [c.76]

В соответствии с законом о равнораспределении энергии, на каждую степень свободы приходится кТ/2 кинетической энергии. У осциллятора средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы, так что [c.246]

Заметим, что стационарное значение для X, как мы показали, равно нулю. Для тех простых случаев, когда лагранжиан Ь равен разности кинетической и потенциальной энергий, это доказывает (с учетом последующего обоснования принципа (11.79)), что их средние значения совпадают. Это хорошо известное равнораспределение энергии для линейных задач. [c.379]

В итоге получаем следующее утверждение, называемое теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы классической равновесной системы на каждую трансляционную и каждую вращательную степени свободы приходится средняя кинетическая энергия 0/2, на каждую колебательную степень свободы — энер- [c.427]

Первый член в этой формуле — это классический закон Дюлонга и Пти (Р. Dulong, А. Petit, 1819), следующий из теоремы о равнораспределении средней энергии по степеням свободы (см. гл. 1 данного тома, задачу 44). Классический результат совершенно не чувствителен к механизму теплового движения, деталям функции dr(ui)/du> или выбору модели так как, начиная с некоторого Шщах, величина dr(uj)/du/ = О, то при в > Лштах МЫ В любом случае будем иметь под интефалом Пи>/0 <1, и = 3N. [c.200]

Формула Рэлея — Джинса. В 1900 г. Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей), а позднее и Джинс получили другое выражение для функции ф, используя теорему статистической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Рассматривая равновесное излучение, они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная kT (здесь k — постоянная Больцмана А=1,38 10"2з Дж/К). Число же электромагнитных кол анин (электромагнитных волн), приходящихся на интервал частот от со до o+d o в единице объема полости, равно (этот результат будет получен в [c.41]

Итак, при переходе от механического масштаба к более грубым сначала (шкала Т/< А <Ста) изменяется поведение скорости частицы (формула Эйнштейна (4.13)), в то время как для смещения еще справедливы динамические асимптотики (4.21), определяемые начальными условиями. Затем (шкала At Xг ), по мере достижения распределением по скоростям равновесия — распределения Максвелла (и дисперсией скорости постоянного значения, соответствующего равнораспределению кинетической энергии), начальные условия забываются , и уже средний квадрат смещения описывается формулой Эйнштейна (4.23). [c.47]

Пусть теперь создана некоторая простая конфигурация струны, соответствующая возбуждению одной или нескольких низших мод струны. Если мы ожидаем статистическое поведение системы, то ее термализация означала бы передачу энергии пз возбужденных мод во все остальные. Возбуждение новых мод должно происходить таким образом, чтобы энергии каждой пз них в среднем были близки по значениям (равнораспределение энергий по степеням свободы). Этп рассуждения очевидным образом перёпосятся на цепочку осцилляторов (1.1). Необходимо лишь, чтобы N было достаточно велико (в работе [110] N достигало 64). Взаимодействие мод (или осцилляторов) осуществляется благодаря наличию нелинейных членов в уравнениях (1.1), (1.2). Поэтому даже прп [c.124]

Из сравнения формул (2.87) и (2.86) видно, что классический средний квадрат смещения превышает средний квадрат смещения, связанный с квантовыми эффектами, коль скоро 1,6 7 >0,4 0d, или 7 >0d/4. (Заметим, что наше предположение о равнораспределении энергии по степеням свободы справедливо, кбнечно, только если 7 >0о.) Вычисление величины у в промежуточной области температур приводится в этой главе ниже. [c.59]

Если каждый ион рассматривать как классический осциллятор, колеблющийся в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то, в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы, он обладал бы энергией 8] = бкТ / 2, где к — постоянная Больцмана, а Г — абсолютная температура. Здесь учтено, что колеблющийся ион обладает средней кинетической и равной ей средней потенциальной энергией кТИ по каждой из трех степеней свободы. Поскольку энергия кристалла, состоящего из N атомов, V = = ЪМкТ, то его теплоемкость при постоянном объеме равна [c.91]

Теорели Больцмана о равнораспределении. В состоянии термодинамического равновесия ва каждую степень свободы частицы приходится кинетическая энергия, среднее значение которой [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...