Геодезическая, уравнение Якоби

Гармоники высшие 292 Геодезическая, уравнение Якоби 235 —, устойчивая по первому приближению 237 [c.454]

Уравнение Якоби. Кривизна риманова многообразия тесно связана с поведением его геодезических. В частности, рассмотрим геодезическую, выходящую из какой-либо точки по какому-либо направлению, и немного изменим начальные условия, т. е. начальную точку и начальную скорость. Новые начальные условия определят новую геодезическую. Эта геодезическая вначале мало отличается от исходной. Для исследования отклонения полезно линеаризовать вблизи исходной геодезической дифференциальное уравнение геодезических. [c.274]

Получающееся при этом линейное дифференциальное уравнение второго порядка ( уравнение в вариациях для уравнения геодезических) называется уравнением Якоби, и его удобно записать через ковариантные производные и тензор кривизны. [c.274]

Неустойчивость положения равновесия при отрицательно определенной потенциальной энергии в неавтономном случае интуитивно достаточно ясна. Ее можно доказать сравнением с подходящей автономной системой. Б результате такого сравнения мы убеждаемся, что все решения уравнения Якоби для нормальных отклонений на многообразии отрицательной кривизны растут при движении вдоль геодезической не медленнее экспоненты прой- [c.276]

Точнее, характерный путь s можно определить как обратную величину показателя "к, характеризующего рост решений уравнения Якоби для нормальных отклонений от геодезической, проходимой со скоростью 1 [c.277]

Приведенные формулы позволяют вычислить кривизну по любому двумерному направлению. Вычисления показывают, что по большинству направлений кривизна отрицательна, но по некоторым — положительна. Рассмотрим, в частности, какое-либо течение жидкости, т. е. геодезическую нашей группы. Согласно уравнению Якоби, устойчивость этой геодезической определяется кривизнами по направлениям всевозможных двумерных плоскостей, проходящих через вектор скорости геодезической во всех ее точках. [c.305]

I 21 УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ ДЛЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ I 235 [c.235]

Уравнение Якоби для геодезической I [c.235]

УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ ДЛЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ I [c.237]

Форма, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, выражает собою тот факт, что траектория консервативной, склерономной, голо-номной системы является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид [c.841]

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде ). Здесь помогают эллиптические координаты Якоби Я. , Яг, Яд, которые суть три корня уравнения [c.232]

С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, а также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде. [c.435]

Геодезический поток па эллипсоиде (задача Якоби) [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, Х2, хз задан уравнением [c.78]

Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве задается уравнением [c.167]

Пучок геодезических на D определён функцией времени s D -i- И (равной расстоянию от некоторого начального фронта в D). Функция времени удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (V ) = 1 (если [c.235]

Подставляя эти значения в общие уравнения (1), получим уравнение геодезических линий и дуги этих кривых в форме, данной Якоби. Эти уравнения содержат ультраэллиптические интегралы. Вейерштрасс дал обращение этих интегралов, выразив и a в виде однозначных функций некоторого параметра. [c.490]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Основной труд Якоби по механике — его замечательные Лек ,пи по динамике , выполненные в 1842—1843 гг. п изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) после смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие класс ческой аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике. [c.212]

Рассмотрим в евклидовом К препятствие, ограниченное гладкой поверхностью. Экстремали, соединяюпще точку вне препятствия со всеми точками в обход препятствия, образуют на поверхности препятствия пучок (однопараметрическое семейство) геодезических. Функцией времени называется расстояние до фиксированного начального многообразия (например, точки) вдоль стационарного (не обязательно минимального) пути из отрезков геодезических и их касательных, рассматриваемое как (многозначная) функция конечной точки пространства (решение уравнения Гамильтона — Якоби). [c.464]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Замечание 2. В работе [49] замечена связь п-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция B. t) в уравнении х = —B. t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, B. t) = [c.168]

Уравнение Гамильтона-Якоби (у ) = 1, описывающее распространение в М возмущений с единичной скоростью, определяет в (М, К) гиперповерхность Я. Рассмотрим пучок геодезических на5М, ортогональных некоторой гиперповерхности в дМ каждая геодезическая параметризована расстоянием в до этой гиперповерхности. Рассмотрим все возможные продолжения функции в с дМ на М. Многообразие 1-струй всех продолжений во всех точках дМ является лежандровым подмногообразием в 7 (М,К). [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...